融通運算一致性 培養學生核心素養
——以“一個數除以分數”為例

文/洪淑媛

引 言

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，教師要立足學生的核心素養發展，集中體現數學課程的育人價值。核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現。運算能力是小學階段核心素養的主要表現。《課程標準》在“數與代數”領域中提出“體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和初步的推理意識”。五、六年級的“教學提示”中還指出：數的運算教學應注重對整數、小數和分數四則運算的統籌,要進一步感悟運算的一致性，從整體上理解和掌握運算的算理和算法，認識計算方法的共性和差異?！墩n程標準》中所提到的“運算的一致性”是指教師要深入理解數的運算本質，使學生建立數的運算知識體系，打破零散的、點狀的知識碎片，溝通整數、小數、分數在加、減、乘、除運算中的內部聯系，構建系統的認知結構，感悟運算的一致性[1]。

馬云鵬、吳正憲老師在《深度學習：走向核心素養》一書中提道：目前的教學中整數的四則運算是指運算體現了“一致性”，所有運算都是基于“計數單位”展開的[2]。由此可見，小學階段整數、小數、分數的加、減、乘、除運算的本質都是相同計數單位的運算。教師在進行計算教學時，應該緊緊抓住計數單位這個核心概念，構建以計數單位為抓手的加、減、乘、除運算的整體結構，讓學生在學習活動中不斷感悟數的運算的一致性，加深對數的運算本質的理解。下面筆者以“一個數除以分數”一課為例展開論述。

一、研讀教材，找準認知起點，尋找知識間的共性

“一個數除以分數”是人教版六年級（上冊）“分數除法”單元的內容，這一課是在學生學習了“整數除法”“分數的意義”“分數乘法”與“分數除以整數”等基礎上進行的，也是學生接下來學習分數乘除混合運算、比和比例的重要基礎。分數除法的計算法則是“除以一個不為零的數等于乘以這個數的倒數”。這一計算方法很簡單，但筆者在大量教學實踐中發現，多數學生在學完分數除法后還會出現各種類型的計算錯誤，如：（只改變運算符號）；（被除數倒數）；（乘法也倒數）。究其原因，在于多數學生只記住了分數除法的計算方法，對于為什么要“乘以一個數的倒數”的算理并不理解。對此，教師可以回到教材再次研讀，思考為什么分數除法的算理特別難理解，學生的認知障礙到底在哪里。教師可以從教材中的例題1 開始分析。

教材例題2 用速度模型呈現“一個數除以分數”，本課包括“整數÷分數”“分數÷分數”。其中“整數÷分數”是借助線段圖呈現算理，但是大部分學生感到晦澀難懂；“分數÷分數”則沒有出現算理圖，這給學生理解算理帶來了很大的困難。從數的意義來考慮，整數、分數、小數都是記錄不同數位上計數單位的個數，加、減、乘、除法計算的本質又都是計數單位的運算，因此可以抓住計數單位這個核心概念，打通分數除法與整數、小數除法的隔斷，融通運算的一致性。

二、主動遷移，抓住核心概念，領會數學整體性

教學片段（一）：復習導入，提出問題

出示口算題組：

師：大家口算得這么快，有什么計算秘訣嗎？

生：8 個十除以2 個十，計數單位相同，就是8÷2=4；6 個百除以3 個百，計數單位相同，就是6÷3=2；1.6 是16 個0.1 除以2 個0.1，計數單位相同，就是16÷2=8。

師：也就是說，計數單位相同時，整數除法和小數除法都可以直接用計數單位個數相除，這樣可以提高我們的計算速度。那大家思考一下，分數除法和整數、小數除法有沒有關系？

以上教學片段的設計，意在讓學生通過復習舊知，喚醒已有的學習經驗，建立整數除法、小數除法之間的聯系，為學生主動遷移到分數除法打好知識基礎。

教學片段（二）：主動遷移，自主探究

生1：可以把分數轉化成小數，0.32÷0.16=2。

生4：剛才整數和小數除法中，計數單位相同，我們直接把計數單位的個數相除，這道題計數單位都是，我們把分子相除就可以。

師：你們真是會思考的孩子，能學以致用。把整數、小數除法計算的道理遷移到分數除法中，可以使計算更快、更方便。現在請大家做一組題目，大家有信心接受挑戰嗎？

以上片段的設計，意在讓學生通過主動遷移舊知，用已有的學習經驗解決新問題，在主動遷移中降低學習難度。后面的題組練習，能夠讓學生聚焦同分母分數相除，鞏固算法，體會算理。

教學片段（三）：類比推理，理解算理

師：剛才大家的計算都完成得很好，現在再看看這一題，你還會計算嗎?（出示：）先觀察這道題目的特點，說說這道題和剛才做的題目有什么不一樣，先跟同桌交流一下你的困惑。

生1：這題兩個分數的分母不相同，也就是說計數單位不同，不能用剛才的辦法來計算。

師：有沒有辦法能解決這個問題？

生2：分母不同，我們可以通分讓分母變得相同。

師：是的，我們可以通分。大家試著用這位同學的辦法做做看。

以上教學片段的設計，意在讓學生通過觀察對比發現本題兩個分數的分母不同，利用原有的通分、同分母分數除法的遷移，把新問題轉化成學過的問題來解決，培養學生推理能力。

教學片段（四）：觀察思考，推導算法

師：觀察剛才做過的幾道題：

思考：觀察上面的兩組算式，想一想，這些算式是怎么轉換的，看看能否說清楚每一步在算什么。

生1：前面的幾步都看得懂，最后一步沒有看明白。

生2：最后一步其實就是分數乘法導過來的。分數乘法是分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，我們反過來可以把分子乘分子，分母乘分母的算式拆開，變成兩個分數相乘。

生3：這兩組算式看到最后一步，我發現被除數還是一樣不變，除數變成了它的倒數，再把被除數和除數的倒數相乘。

師：大家聽明白了嗎？想一想，最開始我們用分子相除的方法已經算出了分數除法的得數，現在怎么還要用把分數除法變換成被除數乘以除數的倒數的辦法呢？

生4：分數除法有時候需要通分。如果遇到分母大一點的話，通分起來就比較麻煩，而用分數乘法比分數除法簡單多了。

以上教學片段的設計，意在讓學生在觀察思考中溝通算理和算法的關系，算式前面是通分，用計數單位理解算理，后面則是由分數乘法的反向運算推導出分數除法的算法，有效融通算理和算法。

三、對話歷史，滲透數學文化，感悟數學思想

教學片段（五）：追溯歷史，滲透數學文化

師：同學們，現在老師想請你們用字母把上面分數除法的推導過程表示出來，大家動手試試。

師：其實早在我國古代《九章算術》中，就已經將分數除法概括為“經分”，魏晉時期數學家劉徽在為“經分”做注釋時，將這種方法又重新命名為“散分法”。后來劉徽在注釋《九章算術》的時候又提出了“顛倒法”，即用被除數乘以除數的倒數，因為“顛倒法”計算起來更為簡單、快捷，因此沿用至今，而“散分法”卻被淡忘。通過剛才的計算推導，我們發現，“散分法”其實是“顛倒法”的算理，“顛倒法”是“散分法”的“升級版”，它是統一計數單位后，計數單位個數的運算，更進一步融通了四則運算用計數單位運算的一致性。

以上教學片段的設計，意在向學生滲透古代數學家的數學思想，讓學生感受中國古代數學文化的博大精深，同時深化學生對分數除法算理的理解。

四、溝通聯系，構建認知結構，體會運算本質

教學片段（六）：打通隔斷，融通算理

師：我們一起來回顧一下分數除法和整數、小數除法的計算在哪些地方是相通的？在哪些地方有區別？

生：它們的相同點是整數、小數、分數除法都是可以用計數單位的個數來計算的，可以用等分計數單位，也可以用幾個計數單位包含幾個計數單位，都是計數單位個數的除法計算。它們的不同是有的是整數，有的是小數，有的是分數。

以上教學片段的設計，意在讓學生回顧四則運算，縱向梳理知識間的聯系，讓整個四則運算形成一個整體的、系統的知識網，從而理解運算本質的一致性。

結 語

綜合分析，本節課深入研讀教材，找準學生認知障礙，讀懂學生的學習難點，整體把握數的運算本質，巧妙引導學生的知識遷移，以計數單位貫通分數除法教學，突破教學難點；抓住知識間的內在聯系，構建知識網，從點狀知識走向結構認知，培養學生的運算能力，并能通過運算促進學生推理能力的發展。這樣的運算能力也有助于學生形成用數學思維思考問題的品質，真正落實學生數學學科核心素養的培養。