指向數學“再創造”的具身認知活動

滕玲 （江蘇省連云港市猴嘴中心小學）

高階思維是一種積極主動地分析、評價的思維活動。在小學數學學科教學中，培育學生的高階思維，關鍵是要引導學生經歷數學知識的“再創造”。學生的數學知識再創造，不僅依靠學生的腦，而且依靠學生的眼、手等感官活動。具身認知，是引導學生進行數學“再創造”的重要方式。基于具身認知的數學“再創造”，應當指向學生高階思維的發展。具身認知，要求教師要充分發揮學生的多種感官功能，讓學生的多種感官協同活動，從而促進學生數學學習力的發展、數學核心素養的生成。

一、具身認知視域下數學“再創造”的內涵

所謂“再創造”，就是將要學習的知識自己生產出來。“再創造”應當是學生數學學習的最為重要的方式。根據荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾的觀點，“再創造”的過程就是讓學生將學習對象數學化的過程，它分為“橫向數學化”和“縱向數學化”。[1]所謂“橫向數學化”，也就是從生活、現實、對象到數學的一種提煉、抽象和概括；所謂“縱向數學化”，就是在數學學科世界中對相關的數學知識進行再重塑。

（一）從形真到神真：引導學生經歷“橫向數學化”

“橫向數學化”是一種從生活到數學的抽象。為此，教師要從學生的生活經驗開始，引導學生進行思考、探究。要將學習對象進行抽象和提煉、抽象和概括。這個過程也就是形式化、公理化的過程。同時，教師還要引導學生善于應用數學學科知識進行解釋、應用，將數學學科知識應用到生活實踐中去。換言之，在引導學生“再創造”學習過程中，教師一方面要引導學生經歷數學化過程；另一方面要催生學生進行生活化應用。如，教學“一一間隔”這一部分內容時，我借助于多媒體課件，呈現了學生生活中的諸種“一一間隔”排列現象，引導學生逐步地抽象、概括。一開始，學生僅僅關注了特征現象，如“某某物體比某某物體多一個”。隨著觀察、比較、操作等具身認知活動的深入，學生逐步抽象、概括出“兩端物體相同，兩端物體比中間物體多一個；兩端物體不同，兩種物體的個數相等”等。在此基礎上行，通過追問、成組的圈畫，能讓學生深刻認識到“特征背后的數理”，即“兩端物體相同，整組圈畫最后一定剩下一個”“兩端物體不同，可以進行整組圈畫”。由此，學生會用自己的方式進行概括，如符號概括等。橫向數學化能發展學生的抽象思維。

（二）從表層到本質：引導學生經歷“縱向數學化”

“縱向數學化”是一種對數學知識的進一步提煉、抽象和概括。縱向數學化，能讓學生的數學學習從表層走向深層、從現象走向本質。縱向數學化，要促進學生對相關學科知識的深度理解。如教學“解決問題的策略——轉化”這一部分內容時，學生遇到了這樣的問題：++……。有學生采用了“實算”的方法；有學生采用了“以小見大找規律”的策略等。但我認為，這兩種方法都是一種“表層方法”，是一種通過觀察得到的方法。如何引導學生的數學學習從表層走向本質？我在教學中引導學生畫圖，讓學生邊畫邊思、邊思邊畫。通過學生具身認知，促進學生的認知進階、思維進階。學生用正方形來表示整數“1”，然后依次表示在解決問題的過程中，抓住“分數”“分數算式”等的特點，引導學生逐步縱向數學化，讓學生建構“算式”的圖式模型。學生借助于數學模型有效地解決了數學問題，同時對問題的數學本質也有了深刻的感悟。縱向數學化，促進了學生的數學認知推進。

（三）從低階到高階：引導學生經歷“結構數學化”

結構數學化是一種基于學科系統的整體建構。它往往是在學生經歷了“橫向數學化”和“縱向數學化”的基礎上展開的。結構化是將數學學科知識整合起來，成為一個系統性、結構性的整體。瑞士教育心理學皮亞杰曾經這樣說，“全部的數學都可以按照結構的建構來考慮”，而這種建構始終是開放性、動態性、生成性的。皮亞杰認為，“數學就是用更強的結構來予以結構化”。[2]如在教學“角的度量”這一部分內容時，一方面，我依托學生的“認識厘米”的學習經驗，引導學生進行知識建構；另一方面，通過這一部分內容的教學，引導學生樹立一種“包含”的大觀念，即“測量對象中包含多少個測量單位”。循著這一結構化教學思路，就可以引導學生通過具身認知活動來認識“角的度量單位”“建構量角尺的雛形”，并讓學生把握作為測量角的大小的工具——“量角器”以及測量角的活動的本質。在此基礎上，引導學生學習其他相關數學與知識如“長方形的面積”“長方體的體積”“時分秒”等時，學生就能積極地實現知識遷移、方法遷移等。結構數學化有助于學生對整個的數學學科系統進行整體性建構。

具身認知視域下的數學與再創造，是一種手腦協同活動的再創造。借助于橫向數學化、縱向數學化和結構數學化，學生的思維能有效地爬坡。作為教師，要激發學生具身認知的興趣，調動學生的具身認知積極性，讓學生的具身認知喚醒、激發、生長學生的數學高階思維。

二、具身認知視域下的數學“再創造”的策略

基于具身認知的視域，教師在教學中要引導學生進行積極的再創造。為此，教師要將教材中處于壓縮形態的數學學科知識解壓縮，通過學生的再創造活動，恢復其誕生時候的鮮活狀態。[3]實踐證明，只有讓學生進行具身認知、充分地經歷數學學科知識的再創造，才能助推學生的數學學習，才能讓學生掌握數學學科知識的本質。

（一）先行組織，為學生數學“再創造”提供條件

學生的數學學習再創造，不同于人類探索知識時候的原始創造。在引導學生進行數學再創造的過程中，教師要創設平臺、提供條件，對學生的再創造進行助推。同時，通過提供條件、搭建平臺、給予支架，能提高學生數學再創造的效能。為此，教師要對相關的內容、素材、資源等進行發掘，要對相關的內容、資源、素材進行先行組織。通過先行組織，幫助學生搭建再創造的橋梁。如教學“梯形的面積”這一部分內容時，教師就可以應用“平行四邊形的面積”“三角形的面積”等相關活動經驗，搭建學生數學再創造的橋梁。如我在教學中首先引導學生復習“三角形的面積公式”“平行四邊形的面積公式”，回歸它們的推導過程，從而為學生創造梯形的面積公式奠定過程形態探究的基礎。在此基礎上，放手讓學生展開自主性、自能性的思考、探究。學生就主動調動自我的經驗進行積極的嘗試，并進而搜索頭腦中的相關的經驗線索、知識脈絡等。他們或畫圖推導，或操作推導。自行應用相關的方法如“倍拼法”“剪拼法”“分割法”等借助于具身認知活動，建構、創造出梯形的面積公式。如此，學生對新知舊知以及相關聯的將來學習的未知就能形成一種有生命力的知識結構，進而形成有活力的認知結構。

（二）原型啟發，對學生數學“再創造”形成啟示

具身認知視野下的再創造，應當是一種啟發、引導、點撥下的再創造。在學生的再創造過程中，教師不宜將數學再創造的方法直接告知、告訴，而應當借助于原型對學生進行啟發，讓學生獲得啟示，如知識原型、生活原型等。如，教學“畫平行線”這一部分內容時，很多教師往往苦口婆心地講解畫平行線的要領。學生盡管“記住”了所謂的“兩重合”等要點，但卻很容易遺忘。究其根本，是因為學生對“畫平行線”缺乏鮮活的操作表象。作為教師，不妨向學生展示推拉門、推拉窗戶的操作過程，幫助學生在頭腦中建立“生活原型”。然后，引導學生根據生活原型進行數學再創造：畫平行線關鍵是什么？（讓三角尺或者支持能平移）如何讓三角尺或直尺平移？（建立軌道）如何建立軌道？（讓三角尺或直尺與所平行的直線重合）。如此，學生就會借助于生活原型進行再創造，從而形成一種具身認知的樣態。實踐證明，生活原型能固化學生的數學認知，能推動學生的數學再創造。借助于生活原型等的經驗性認知，學生會找到新知與原型的關聯，找到問題解決的路徑，進而能有效建構新知。通過原型啟發，能有效發展學生的數學抽象、反思和創造能力。

（三）演繹修正，為學生數學“再創造”糾偏航向

學生的數學學習“再創造”，是一種積極的嘗試、探索過程。在這個過程中，學生難免會發生錯誤。作為教師，可以通過邏輯演繹，對自我的數學猜想、類比等證實或證偽。演繹修正，就是要為學生的數學“再創造”糾偏航向。教學中，教師要引導學生將自我的直覺思維與演繹思維等結合起來，引導學生進行合理性、合情性的猜測，對猜想等進行驗證、檢驗。如，在教學“3 的倍數的特征”時候，學生會自然地隱喻類比“2 的倍數的特征”“5 的倍數的特征”等相關內容，形成錯誤的猜想。面對學生的錯誤猜想，教師不必失措，而應當順著學生的思路，引導學生通過具身性的驗證實驗活動對自我進行否定，從而糾正學生的錯誤猜想、激發學生新的猜想。借助于百數表的深度觀察，借助于“計數器聽音判定”等相關的游戲活動，學生能提出新的猜想，并積極主動驗證自己的猜想。在此基礎上，教師可以引導學生演繹證明，將一個數分成若干個9、99、999 等以及各個數位上數字的和。我們知道，若干個9、99、999 等一定是3 的倍數。因此，決定一個數是否3 的倍數關鍵是看這個數減去若干個9、99、999 等后余下的數，也就是各個數位上數字之和。在具身性的操作、演繹性的修正活動中，學生對數學學科知識的認知達到本質。

“再創造”的方式方法很多。作為教師，要引導學生充分經歷數學化的過程。要創設條件、打造平臺、提供幫助，助推學生的數學再創造活動。通過數學“再創造”，提升學生的數學學習力，讓學生學會思考、學會建構、學會創造。實踐證明，“再創造”是學生數學學習的有效方式，能發展學生數學“核心素養”。

三、具身認知視域下的數學“再創造”的價值

學生的數學學習“再創造”對于學生的數學學習而言具有重要的意義和價值。在小學數學學科教學中，教師要引導學生觀察、比較、猜想、驗證、推理、嘗試等“身心一體”的活動。具身認知與學生的數學學習有著天然的關聯。作為教師，要通過學生的數學化活動，通過學生的具身認知活動，激發學生的學習興趣、深化學生的體驗、讓學生建立廣泛的認知聯結。

（一）“再創造”學習能激發學生“高興趣”

相比較于說教性的數學學習，“再創造學習”一種更高興趣的學習。再創造，讓學生真正成為數學學習的主體、主人。在數學“再創造”活動中，學生會積極主動地猜想、探究，將學習內容作為研究對象。如此，數學學習內容在學生的眼里、心中就會變得有趣起來。對于學生來說，他們學習的動力不應當僅僅來自外部的壓力，更應當來自自身的一種內在需要、興趣、欲望。“再創造”學習，就是給學生提供了更多的動腦、動手等的手腦協同認知的機會，點燃了學生的內在學習興趣、積極性、探索欲望等。如教學“長方體和正方體的認識”這一部分內容，如果教師僅僅讓學生觀察、歸納特征，整個學習就會顯得索然無味。如果教師引導學生具身認知，讓學生動手做一個“長方體模型”，才會激發學生學習興趣。學生就會積極主動地尋找、探尋結構性的小棒，進而會將這些小棒搭建成長方體。在這個過程中，學生自然會認識長方體的特征。這種對長方體特征的掌握，是學生的一種感受性、體驗性的認知，是深刻的、持久的。

（二）“再創造”學習能引發學生“深體驗”

“再創造”活動是一種手腦一體化的活動。既然是“手腦協同”“手腦一體”化的活動，就一定能深化學生的“學習體驗”。[4]在數學“再創造”活動中，教師將學生的外在壓力轉化為自身的內在需要，將單一的紙筆演算轉變為具身活動，就能讓學生獲得深度體驗。作為教師，要給予學生更多的動腦思考、動手實踐機會。如，教學“可能性”這一部分內容，如果僅僅指向結果，很多學生都會憑借自身的經驗、直覺直接得出相關的“結論”。而如果教師引導學生開展 “摸球”的具身認知實驗活動，就會深化學生的認知體驗，讓學生生發出諸多的感悟。如有的學生認為，每一次摸球，袋子中的每一個球被摸到的可能性是相等的；有的學生認為，為了讓每一個球被摸到的機會均等，每一次摸球時應當搖一搖袋子；有的學生認為，每一次摸球之后應當將被摸到的球放置到袋子中，等等。正是通過摸球的具身實踐，才能讓學生不僅對摸球的結果有了認知，而且對摸球的過程也產生了科學性的見解、主張。具身認知活動，讓學生對學習表現出強烈的探究興趣、探究愿望。

（三）“再創造”學習能促進學生“廣聯結”

具身認知視野下的數學“再創造”活動，能引導學生對之進行深度加工、多變處理、靈活應用。作為教師，要采用不同的方式進行聯結，將學生頭腦中相關數學學科知識串接成線、連線成面、勾面成體。要通過具身認知活動，引導學生對數學知識形成過程產生針對性、多層面的認知。要通過經驗豐富、擴展、深化，對學生進行經驗的改造、重組。如，教學“異分母分數加減法”這一部分內容時，我就有意識地喚醒、激活學生的“整數加減法”“小數加減法”等相關活動經驗，引導學生再創造“異分母加減法的法則”。在觀察、比較、演算、驗算的過程中，學生能積極主動地將“整數加減法”“小數加減法”“異分母分數加減法”等相關內容關聯起來，從而引導學生建構一種整體性、上位性的認知，即“只有計數單位相同才能直接相加減”。這樣的一種上位認知，就是學生的高觀點、大觀念，對于學生后續學習相關加減法知識具有重要的啟發、遷移作用。

具身認知視域下的“再創造”活動，能有效發展學生的高階思維。作為教師，要努力創設條件、打造平臺，讓學生成為數學學科知識的建構者、創造者，成為數學定理、法則的發現者、探索者。基于具身認知視域下的“再創造”活動，旨在通過學習方式、學習理念等的轉變，來培育學生的數學素養，從而改變傳統數學教學“說教化”“紙筆化”現狀，從而更好地彰顯數學學科的育人功能，體現數學學科教育的時代性。