職前數學教師對“負負得正”模型理解水平的調查研究

張芳銘 鞏子坤 江春蓮

【摘 要】調查職前數學教師對“負負得正”模型的理解水平，結果發現：細胞、相反數、向后轉模型是職前數學教師能較好理解的模型；職前數學教師對常見現實情境、符號含義單一的模型理解較好，對基于算法的模型的理解水平要好過基于算理的模型，數學素養存在提升空間.職前數學教師、在職數學教師和學生在相反數模型上存在一致性.基于調查結果提出“負負得正”教學建議：注重現實情境模型與“說理”相結合，使用多樣化的模型，不拘泥于教材.

【關鍵詞】職前數學教師；負負得正；數學模型；理解水平

1 問題緣起

模型是對客觀事物簡化、抽象的表征，對人們理解、研究客觀事物具有重要的作用.構建數學模型是將實際問題數學化，從而通過數學方法分析、解決問題.數學模型也是學生學習的重要載體，因此教師在教學中要對所使用的數學模型有充分的理解.

在初等數學中，有理數乘法運算占有重要的地位，而理解有理數乘法運算的關鍵是理解“負負得正”^［1］，但“負負得正”的證明多種多樣^［2-3］，教師不好把握，學生不好理解，模型是讓學生體會“負負得正”合理性的載體^［4］，因此模型的選擇尤為重要.人教版教材^［5］中，用負因子乘以正等差數列，得到的結果為負等差數列，再應用到一組負因子乘以負等差數列中，得到“負負得正”（圖1）.

浙教版教材^［6］中用相反數的性質，由“3×（-2）”和“3×2”的積互為相反數，推出“（-3）×（-2）”和“3×（-2）”的積互為相反數，得到“負負得正”.教師對教材中的模型，是否能完美使用？學生對教材中的模型，是否能完全理解？已有研究^［7-8］表明，教師教學時使用的模型對學生的理解沒有顯著性影響，學生要回答“負負得正”很容易，但要說明為什么“負負得正”卻有難度.這表明對于教材中的模型，教師講不透，學生理解不了，并不是最優選擇.

教材之外的“負負得正”模型也很豐富，如G·博萊特的“負債模型”，M·克萊因的“面積模型”，佟巍^［7］的“動手模型”等.龔烈烔^［9］發現，部分數學教師認為具有現實情景的“負負得正”模型不容易理解，因此在教學中盡量規避這類模型.鞏子坤^［10］的研究表明，教師和學生都喜歡的“負負得正”模型是歸納、數軸和相反數模型，其中數軸模型是具有現實背景的模型，這表明并非所有具有現實背景的“負負得正”模型都不易理解.哪種模型是貫通從學生到教師的“好模型”？已有研究多從在職數學教師和學生的視角入手，而忽略了職前數學教師.職前數學教師既是在職數學教師的前身，也是正在接受教育的師范生，考察職前數學教師對不同“負負得正”模型的理解水平，有利于進一步明晰“負負得正”教學的有效模型.

本研究采用問卷調查法，了解某師范大學應屆職前數學教師對“負負得正”模型的理解水平.主要解決以下研究問題：（1）職前數學教師對“負負得正”模型的理解水平如何？（2）職前數學教師對模型的理解與在職數學教師、學生相比，有何異同？（3）基于此調查研究，為“負負得正”教學提供建議.

2 研究方法

1.1 研究對象

被試為某高校數學師范專業的應屆生，他們都完成了教師教育課程與培訓，并且都有從事中小學數學教師工作的意愿.共發放問卷75份，有效問卷66份.

1.2 調查工具

以鞏子坤^［10］的“負負得正”有效教學模型為問卷基礎并進行優化，共包含10個模型，調查數據運用SPSS27.0軟件進行統計、分析.

1.3 數據收集與處理

為獲得客觀、真實的答案，采用集中調查、問卷匿名的方式，安排被試在同一時間和地點，在發放問卷之前闡述研究目的，保證在沒有外界干預的條件下完成問卷.

為分析被試對模型的理解水平，借鑒魯曉莉等人^［11］開發的數學建模素養評價中的結果性評價，結合李明振等人^［12］對數學建模過程的研究，將理解水平劃分為四個等級（如表1），并進行賦分.

3 研究結果

3.1 整體情況

職前數學教師對不同模型的理解水平頻（人）數、百分比以及平均分見表2.

通過表2，可以發現：職前數學教師對不同模型的理解水平按細胞、相反數、向后轉、給排水、分配律、紅利-債務（與歸納、電荷模型并列）、數軸、面積模型依次下降.

職前數學教師對細胞模型理解水平的平均分是2.71，是理解水平最高的模型.細胞模型中的“+”表示“生長”“正常細胞”，“-”表示“死亡”“癌細胞”，符號既表示細胞的兩種相反屬性，也表示兩種相對的動作，符合人們對“相反”的感覺，“生長正常細胞是好事”“殺死癌細胞是好事”也是容易理解的常識.因此可以解釋職前數學教師為什么對細胞模型的理解水平最高.

職前數學教師對面積模型理解水平的平均分是1.57，是理解水平最低的模型.通過面積關系說明“負負得正”，可以利用正方形EAGI（如圖2），其面積既可以表示為“10×10”，也可以表示為“（12-2）×（11-1）”，通過面積的等價性，說明“負負得正”.

與其他模型相比，面積模型具有抽象性，提高了理解難度.大部分職前數學教師在解答時不知所措，沒有發現面積之間的等量關系，在回答時僅用單個圖形面積的計算來說明“負負得正”，會出現“忽略圖形”（如圖3）和“長度出現負值”（如圖4）的情況，前者模仿示例，脫離圖形，丟失了面積模型的意義；后者則用負數作為長度的數值，表達不嚴謹.

3.2 對模型的分類

基于理解水平的得分，進一步探究模型之間的差異.由于理解水平得分的數據形態不滿足正態分布，因此采用弗萊德曼（Friedman）檢驗分析得分情況，結果表明十個模型的理解水平得分具有顯著差異（p<0.05）.成對比較分析顯示，職前數學教師在向后轉、相反數、細胞模型的理解水平上不存在顯著差異，記為Ⅰ類模型；在電荷、歸納和紅利-債務模型的理解水平上不存在顯著差異，記為Ⅱ類模型；在面積、數軸模型的理解水平上不存在顯著差異，記為Ⅲ類模型；在給排水模型的理解水平上與其余三類模型存在顯著差異，三類模型之間存在顯著差異.結合表2可知：“負負得正”模型按理解難度劃分，從易到難依次為：Ⅰ類模型、給排水模型、Ⅱ類模型、Ⅲ類模型.

4 討論與分析

4.1 易被理解與不易被理解的模型

（1）有常見現實情境、符號含義單一的模型易被理解；情境復雜、符號含義多元、涉及其他學科的模型不易被理解.細胞、向后轉模型是具有現實背景的模型，符號僅表示狀態和動作屬性，模型情境內容符合生活常識，因此容易被理解.紅利—債務、數軸模型盡管情境生活化，但符號含義太多，因此不易理解.電荷模型涉及物理知識，雖然情境簡單，但部分職前數學教師沒有明白電荷平衡的前提是正電荷與負電荷數相等（如圖5），取出一個負電荷，就會產生一個正電荷.這表明對其他學科知識的要求也會成為影響理解水平的因素.

（2）“時空”模型不易被理解，但合適的情境可以降低理解難度.“時”是指過去、現在和將來，“空”是指方向或性質相反的動作.紅利—債務、給排水和數軸模型均為這類模型.紅利—債務模型中常見符號含義理解錯誤，分不清符號表示的時間先后，以及收入還是支出（如圖6）；數軸模型中常見忽略符號的時間含義（如圖7），也會忽略將路程與數軸上的點建立聯系（如圖8）.

給排水模型是簡單的“時空”模型，“水池蓄、排水問題”在小學就已學習，所以職前數學教師對給排水模型的理解水平高于紅利-債務和數軸模型是可以理解的.陳曉明^［13］認為，這類模型實質上是通過有理數知識建模來解決實際問題的過程，對抽象思維要求能力較高，所以對初中生來說很復雜.現在來看，理解好這類模型對于職前數學教師來說也不簡單，甚至是有難度的.

（3）基于算法的模型易被理解，基于算理的模型不易被理解.相反數模型類比正整數加法和乘法的運算，是基于算法的模型，“-1與任意一個數的乘積等于該數的相反數”對于職前數學教師來說是易于理解和表達的^［14］.歸納、分配律模型是基于算理的模型，歸納模型暗含了運算的一致性，正數與負數相乘的運算在負數與負數相乘中仍然成立，大部分職前數學教師沒有體會到運算一致性，只用數學歸納法進行證明（如圖9）.分配律模型則是在“保持運算的持續性”的基礎上推出“負負得正”，具有形式推理的味道^［10］，但大部分職前數學教師并不理解這類模型，更不能進行推導.這反映出職前數學教師對有理數運算的算理理解不深刻，數學表達也不嚴謹.

4.2 分析與討論

結合已有研究，發現職前數學教師在“負負得正”模型的理解上與學生、在職數學教師存在一致性和差異性.

（1）職前數學教師和學生在細胞、相反數模型上存在一致性.鞏子坤^［10］發現，學生在學習“負負得正”時，喜歡歸納、細胞和相反數模型，但在說明“負負得正”時，卻極少使用歸納模型.陳思琪的調查發現，學生對于歸納模型實質上是靠“猜”而非算理上的理解，說明學生是“迫于”教材推薦才接受歸納模型，細胞、相反數模型是學生真正喜歡并能理解的模型.職前數學教師對歸納模型的理解也存在不足，而在細胞、相反數模型的理解上表現優異，說明這兩個模型是貫穿從學生到教師的好模型.

（2）職前數學教師和在職數學教師在歸納、數軸模型上存在差異性，在相反數模型上存在一致性.在職數學教師喜歡用歸納模型可能是受到教科書的影響，是否能真正理解歸納模型，仍是需要進一步討論的問題.優化后的數軸模型，難度較大，影響了職前數學教師對數軸模型的理解.相反數模型是在職數學教師常用的模型，也是職前數學教師理解水平較好的模型.

（3）職前數學教師與在職數學教師、學生在相反數、分配律模型上存在一致性，在數軸模型的上存在差異性.相反數模型是職前數學教師理解水平較好、在職數學教師和學生都喜歡的模型.分配律模型既不受在職數學教師和學生的喜歡，也沒有被職前數學教師充分理解，是不被接納的模型.原數軸模型受到在職數學教師和學生的喜歡，職前數學教師對同樣用到數軸但難度較低的向后轉模型理解也比較好，因此數軸本身在“負負得正”教學中是有價值的，但要控制難度.

5 結論與建議

5.1 結論

（1）職前數學教師對說明“負負得正”的不同模型的理解水平存在差異.細胞、相反數和向后轉模型，是職前數學教師理解水平最好的模型；給排水模型的理解難度高于前三個模型；歸納、電荷、紅利-債務、分配律模型的理解難度更大；數軸、面積模型最難理解.理解跨學科情境的模型和“時空”模型有一定難度.

（2）職前數學教師與在職數學教師、學生在“負負得正”的模型上存在一致性與差異性.職前數學教師、在職教師和學生在相反數模型上存在一致性；職前數學教師、在職數學教師以及學生在數軸模型上存在差異性，但數軸具有教學價值.職前數學教師和在職數學教師在歸納模型上存在差異性.

（3）職前數學教師對有理數算理的理解及數學學科素養有待提升.從歸納、分配律模型的解答來看，職前數學教師對算理的理解不深入，部分職前數學教師證明過程不嚴謹，數學表達存在不足.

5.2 建議

（1）“負負得正”教學應注重現實情境與“說理”的結合.

“負負得正”在初等數學中無法通過邏輯推理來證明^［10］，合適的現實情境模型有助于學生直觀體會“負負得正”的合理性.“負負得正”有著豐富的現實意義，說明“負負得正”的模型也可以具有多樣的現實情境.但只有現實情境的模型也不利于學生深入理解算理，因此有必要搭配“說理”的模型，幫助學生理解“負負得正”的合理性.

（2）教學中使用多樣化的“負負得正”模型，不拘泥于教材.

在教學中可以將相反數、向后轉和細胞模型結合使用，以向后轉模型為起點，感受“負負得正”，可以這樣引入：

師：同學們，在數軸上以0為原點，向右數值為正，向左數值為負，如圖10.假設數軸向左為西，向右為東，一個人站在原點，他可能朝向哪邊？

生：東或西.

師：沒錯.那我們可以怎樣表示這個人的站向呢？

生：向西用負數表示，向東用正數表示.

師：如果這個人要向后轉，我們應該怎樣表示呢？

生：乘以（-1），因為如果朝東，用正數表示，乘以（-1）是負數，就朝西.如果朝西，用負數表示，乘以（-1）是正數，就朝東了.

隨后通過細胞模型建立“（-）（-）=（+）”的符號觀念.可以這樣教學：

師：把細胞的生長定義為（+），細胞的死亡定義為（-），好的細胞定義為（+），癌細胞定義為（-）.長了一個正常細胞可以表示為（+）（+），因為這是好事，所以（+）（+）=（+），那長了一個癌細胞應該怎么表示呢？

生：（+）（-），因為是壞事，所以等于（-）.

師：死亡一個癌細胞應該怎么表示呢？

生：（-）（-），因為是好事，所以等于（+）.

最后通過相反數模型使學生的符號觀念與數字運算結合，可以這樣教學：

師：通過前兩個例子，相信同學們對“負負得正”有了直觀的認識.下面請同學們計算兩組式子，并找一下其中的特點.

3×3=_______;_______ -3×3=_______;

3×2=_______;_______ -3×2=_______;

3×1=_______;_______ -3×1=_______;

3×0=_______;_______ -3×0=_______.

生：兩數相乘，改變其中一個數的符號，積變為相反數.當然這兩個數不能都為0.

師：那我再把另一個數的符號也改變，結果會怎樣呢？

（-3）×（-1）=_______;

（-3）×（-2）=_______;

（-3）×（-2）=_______.

生：積又變為原來的相反數了，和第一次運算結果相同.

通過相反數的性質，得到“負負得正”.在教學中不必緊緊抓住不好理解的模型，只要教師能解釋好，學生能理解好，就是好模型.

參考文獻

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作者簡介 張芳銘（1999—），男，山東萊陽人，碩士研究生；主要從事數學教育理論與實踐研究.

鞏子坤（1966—），男，山東滕州人，教授，博士生導師；主要從事數學教育心理研究.

江春蓮（1971—），女，湖北武漢人，助理教授；主要從事數學考試評價、數學教育技術研究.