基于F-K和Kirchhoff法的隧道襯砌雙層鋼筋偏移成像研究

黃嵐清 洪亮 張亮 肖育旗

摘? 要：針對隧道襯砌結構鋼筋數量缺失與布置間距不合理等質量問題，基于探地雷達正演模擬試驗，對隧道襯砌雙層正對鋼筋進行探測研究，分別采用F-K法和Kirchhoff法對鋼筋檢測圖像進行偏移歸位處理，探究鋼筋回波信號偏移歸位效果，比較兩種偏移方法的優劣。結果表明：理想無噪聲條件下，F-K法和Kirchhoff法能獲取相同的偏移速度，并使襯砌雙層鋼筋回波信號準確歸位，但由F-K偏移法得到的偏移圖像信息熵更小，偏移效果更精確。含噪聲情況下，F-K偏移法具有更強的抗噪性，能獲取穩定有效的偏移速度，偏移處理后鋼筋信號能量集中且易于識別。

關鍵詞：隧道襯砌；探地雷達；偏移成像；F-K偏移法；Kirchhoff偏移法

中圖分類號：TP39；TN957.52 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2023）15-0189-06

Research on Migration Imaging of Double-layer Reinforcement in Tunnel Lining Based on F-K and Kirchhoff Methods

HUANG Lanqing， HONG Liang， ZHANG Liang， XIAO Yuqi

（School of Civil Engineering， Hunan City University， Yiyang? 413000， China）

Abstract： In response to quality issues such as missing quantity and unreasonable spacing of reinforcements in the tunnel lining structure， based on the forward modeling test of Ground Penetrating Radar， the detection of double-layer facing reinforcement in the tunnel lining is studied. The F-K method and Kirchhoff method are used to migrate and return the reinforcement detection images， and the effect of reinforcement echo signal migration and return is explored. The advantages and disadvantages of the two migration methods are compared. The results show that the F-K method and Kirchhoff method can obtain the same migration speed and accurately locate the echo signal of the double-layer reinforcement in the lining under the ideal noiseless conditions. However， the information entropy of the migration image obtained by the F-K migration method is smaller， and the migration effect is more accurate. In the presence of noise， the F-K migration method has stronger noise resistance and can obtain stable and effective migration speed. After migration processing， the reinforcement signal energy is concentrated and easy to identify.

Keywords： tunnel lining; Ground Penetrating Radar; migration imaging; F-K migration method; Kirchhoff migration method

0? 引? 言

在經濟快速發展、科學實力和技術水平不斷提高的背景下，我國交通設施網在不斷完善，隧道工程建設也在快速發展，規模不斷擴大，隧道襯砌結構的質量檢測也隨之越來越重要。隧道襯砌檢測的內容主要包括襯砌結構的厚度、襯砌密實度、襯砌結構內部鋼筋分布是否滿足設計要求等。探地雷達由于有操作簡單、成果直觀、適應性強、分辨率高且為無損探測的特點，而被廣泛應用于隧道襯砌結構鋼筋分布、質量缺陷檢測中。采用探地雷達進行隧道襯砌探測與狀態分析對襯砌施工質量的把控有至關重要的作用。襯砌結構內鋼筋介電常數遠高于混凝土介電常數，電磁波遇到鋼筋會發生強烈反射，多層鋼筋引起的反射和繞射問題復雜，導致檢測人員難以對圖像進行準確的解釋和判斷。需探索不同條件下適用于鋼筋數量檢測與間距分析的方法，對鋼筋進行準確的位置還原與識別，發現結構中存在的鋼筋錯位等問題，及時檢測襯砌結構服役性能。

諸多學者對隧道襯砌鋼筋探地雷達檢測及其回波信號分析展開研究。陳偉等[1]采用探地雷達對隧道襯砌模型進行正演模擬，深入分析了不同介質對電磁波反射的影響，得出檢測結果中鋼筋分布等圖像特點；吳慶全等[2]在對工程實例的地質雷達鋼筋檢測研究中發現回波信號受鋼筋埋深、直徑以及分布情況等因素影響；舒志樂等[3]對雷達數據進行二維和三維的分析研究，發現鋼筋間距的不同會產生不同程度的干擾；尹濤等[4]通過FDTD數值模擬發現不同類型的襯砌缺陷的識別難度不同，雙層鋼筋網的屏蔽作用更強；楊宇等[5]通過對模擬實際混凝土結構中不同埋深的鋼筋的檢測及信號處理，提高了混凝土內部深淺埋鋼筋的可視化程度。探地雷達常用的偏移算法包括柯希霍夫（Kirchhoff）積分偏移法[6]、F-K偏移法[7，8]等。偏移處理的作用在于提高圖像的分辨率，從而恢復復雜結構的真實狀態和準確位置。黃玲[9]等對單層鋼筋及缺陷正演結果進行F-K偏移處理，很好地把鋼筋網的繞射波聚集歸位，有效地改善了圖像的成像效果；林志強等[10]提出基于圖像熵的探地雷達Kirchhoff偏移成像算法，較準確地估計出地下電磁波的傳播速度.

本文通過引入圖像熵的概念，動態估計可使F-K法和Kirchhoff法偏移成像效果最好的波速參數，并采用F-K法和Kirchhoff法對理想無噪及存在強干擾噪聲的襯砌雙層鋼筋正演圖像進行偏移成像處理，對兩種方法的鋼筋偏移歸位效果進行比較和判斷，從而為實際工程中襯砌鋼筋的偏移歸位處理及準確識別提供理論參考和依據。

1? 偏移方法和理論

1.1? kirchhoff偏移法

Kirchhoff偏移法在20世紀70年代被提出并逐步成熟，其始于繞射偏移原理并依據Kirchhoff積分公式來實現偏移成像，并借此發展為地震波動方程積分法。該偏移方法通過對探測波波動方程進行Kirchhoff積分求解，將地面路徑上接收到的地下物體某一點處探測波繞射信號匯集起來形成偏移圖像，在實際工程的探測中也得到了一定應用。

在介質均勻的條件下，探地雷達發射電磁波的電場分量E（x，y，z，t）滿足標量波動方程：

式中，v為波速。

式（1）的Kirchhoff積分解為：

其中，S表示包圍點（x0，y0，z0）的任意光滑閉曲面，r表示點（x0，y0，z0）到曲面S上任意點的距離，k = ω / v稱為波數，ω表示電磁波的角頻率，? / ?n表示沿S的外法線方向的方向導數。

由于在探地雷達探測過程中，波場僅存在于地面以下的半空間中，所以選取閉曲面由無限大的地平面S0和一個半徑無窮大的半球面構成。由電磁波的傳播規律可知，無窮大半球面上的波函數為零，因此對式（2）進行推導可得：

其中，E - = E（x，y，z，t - r / v）。

式（3）說明P點t時刻的波場值是由前一時刻t - r / v地面上的場源激發的，這符合電磁波“向前”傳播的規律，而探地雷達記錄的數據是地下目標反射至地面的波場函數值，探地雷達偏移成像的目的是利用記錄的數據反演出目標在地下的真實位置，這要依靠波“倒退”的規律。事實證明，波“倒退”也符合惠更斯—菲涅爾原理，也可以用Kirchhoff偏移積分來描述，只是需要將時間“逆轉”，于是有：

其中，E + = E（x，y，z，t + r / v）。

利用探地雷達的反射成像原理，偏移速度取真實速度的1/2，并利用在地平面（z = 0）處記錄的數據在t = 0時進行成像，可得：

Kirchhoff偏移法具有精確成像、快速計算、適應性強、處理靈活、效率高等特點，能夠解決橫向速度劇烈變化帶來的偏移成像不精確的技術難點，極大地提高了回波成像的分辨率和信噪比，并且積分法能夠適應變化的觀測系統和起伏的地表，因此積分法能夠適應復雜結構的偏移成像。

1.2? 頻率波數（F-K）偏移法

設二維信號或圖像f （x，z = 0，t）的傅里葉變換為F（kx，z = 0，w），則：

式中：x表示水平坐標，z表示垂直坐標，向下為正，t表示時間.在頻率波數域內，深度z的波場可表示為：

F（kx，z，w）=F（lx，0，w）eik，z（7）

設二維信號f （x，z，t）{ f （x，t）在z方向的延拓}為F（kx，z，w）關于kx，w的二維傅里葉逆變換，則：

然后，根據頻散關系式：

將式（9）代入式（8），令t = 0，經過推導可得：

根據式（10），可以對探地雷達圖像進行頻率波數偏移成像分析。

2? 圖像信息熵評價

信息熵用以描述事件或集合的不確定性或無序性，圖像信息熵則反映了圖像平均信息量的大小。若被分析對象越是規則有序，所包含的有用信息量越大，對應的信息熵值就越小；若被分析對象越雜亂無序，則所具備的有用信息量就越小，對應的信息熵值就越大。信息熵測度是反映被分析對象規則性水平的一個重要度量。

在地質雷達回波圖像熵值的度量中，當偏移成像信息越集中，則圖像信息熵測度值越小，反之，若接收圖像中多次波或繞射波越多，則圖像熵值越大。在偏移歸位處理中，恰當的偏移速度是偏移成像能否成功的關鍵。當選取的偏移速度過小，則雙曲線收斂不完全，反映在對應的圖像熵值偏大；當偏移速度過大，此時會出現偏移過聚焦問題，繞射波反向沿更淺處延伸，圖像信息熵值也會偏大，合適的偏移速度會使圖像中反射界面繞射波盡可能地收斂，表現在回波圖像的信息熵處于較低值。

地質雷達圖像信息可表示為：

式中，aij表示地質雷達圖像第i行第j道采樣數據的樣本值。圖像信息熵值定義為：

上式中，E_t表示所有采樣點的總能量值；Pij表示單個信號點能量占總能量的比值；D表示圖像信息熵值。

3? 隧道襯砌鋼筋正演模擬圖像偏移處理分析

3.1? 理想不含噪聲正演計算圖像

采用GPRMAX軟件程序建立隧道襯砌結構探測正演計算模型，襯砌結構存在兩層正對鋼筋，以模擬實際工程中隧道襯砌結構內鋼筋的探測與識別。模型尺寸為長×寬= 2.00 m × 0.95 m，空氣層厚度為0.05 m，天線步距為0.01 m，天線收發距為0.1 m，信號道數為192，天線中心頻率為900 MHz，混凝土的介電常數為6.0，鋼筋直徑0.04 m，橫向間距0.14 m，排距為0.1 m。上層鋼筋埋深為0.7 m，上層鋼筋埋深0.8 m，每排鋼筋數量均為10根，如表1所示。正演建模及計算結果如圖1所示。

由圖可知，由于鋼筋與混凝土的電性差異大，雷達波在傳播過程中遇到鋼筋發生強烈的電磁反射，鋼筋回波信號呈開口向下的雙曲線弧形（月牙狀），其頂部為鋼筋所在位置，淺層鋼筋的雙曲線反射較為強烈，但同時也會削弱下層鋼筋的反射，導致下層鋼筋的反射信號變弱，不易分辨。首先對正演計算圖像進行靜校正處理，以去除直達波。由于正演模型襯砌混凝土介電常數為εr = 6，根據介電常數法，電磁波在襯砌混凝土中傳播速度估計值為? cm/ns。基于該偏移速度值，設定偏移速度區間為[9.25 cm/ns，15.25 cm/ns]，速度掃描間隔為0.2 cm/ns。分別采用F-K法和Kirchhoff法對鋼筋正演探測圖像進行偏移校正處理，并計算每個速度值對應的鋼筋偏移圖像信息熵值，結果如圖2和圖3所示。

由圖可知，兩種偏移方法的速度-信息熵曲線都非常規則，有明顯的變化規律，并且兩種方法的速度-信息熵曲線中均存在極小信息熵值，信息熵的極小值對應的偏移速度均為Vbest = 12.45 cm/ns，表明相對于其他速度值，采用該最佳速度值對鋼筋正演圖像進行偏移成像處理，鋼筋回波信號能得到最大程度歸位和收斂。基于該最佳偏移速度值，分別采用F-K法和Kirchhoff法對鋼筋探測正演圖像進行偏移歸位處理，結果如圖4所示。

經偏移處理后，鋼筋兩側繞射信號得到有效歸位，偏移圖像鋼筋信號的形狀與其真實形狀接近，位置也得到還原，圖像分辨率較高，鋼筋回波信號清晰可見，能量較為聚焦。經計算，F-K法襯砌鋼筋偏移圖像信息熵值為9.31，而Kirchhoff法對應的鋼筋偏移圖像信息熵值為9.60，由F-K法得到的鋼筋偏移圖像信息熵較小。相對于Kirchhoff法，經F-K法偏移處理后，鋼筋回波信號分布更為集中，繞射信號收斂更為完全，表明在理想的無噪聲環境下，F-K偏移法對襯砌雙層鋼筋的偏移成像效果優于Kirchhoff法。

3.2? 含噪聲正演計算圖像

同樣建立襯砌結構雙層鋼筋正演探測幾何模型，模型大小、鋼筋及背景介質情況與上述理想不含噪聲情況下的襯砌鋼筋檢測模型一致，并開展模型探測正演計算。在正演圖像中加入強度為45 dBW的高斯白噪聲，幾何模型及加噪后的正演計算圖像如圖5所示。對比圖5和圖1可知，在其他參數一致的條件下，由于圖像受噪聲影響，正演計算圖像中鋼筋回波信號更為模糊，雙曲線尾部交叉點難以辨別。

對含噪的正演計算圖像進行去直達波處理，由于襯砌混凝土介電常數不變，因此電磁波在襯砌中的傳播速度估計值同樣為v2 = 12.25 cm/ns，設定速度掃描區間為[9.25 cm/ns，15.25 cm/ns]。基于該速度區間，分別采用F-K法和Kirchhoff法對去直達波后的襯砌鋼筋探測圖像進行成像處理，結果如圖6、圖7所示。

對比圖6和圖7可知，F-K偏移法速度-圖像信息熵曲線最小信息熵為11.28，最小信息熵對應的偏移速度為12.45 cm/ns；Kirchhoff偏移法速度-圖像信息熵曲線最小信息熵為11.31，對應的最佳偏移速度為13.05 cm/ns；與理想無噪聲情況下經偏移處理后得到的速度-信息熵曲線相比較，F_K偏移法速度-信息熵曲線仍然非常規則，規律明顯，辨識度高，存在極小信息熵值，可采用該準確的偏移速度值進行偏移成像處理；而Kirchhoff偏移法速度-信息熵曲線較為凌亂，圖像信息熵值無明顯變化規律，難以獲取準確有效的偏移速度值，從而影響襯砌鋼筋回波信號偏移成像歸位。

由圖8可知，F-K法偏移處理后，圖像信息熵值略小于由克希霍夫法偏移處理得到的圖像信息熵，表明F-K法對含噪圖像仍然具有很好的偏移歸位效果，較克希霍夫偏移法具有一定的抗噪性，且F-K法處理后，含噪圖像分辨率較高，鋼筋反射信號清晰可見，能量較為聚焦，而克希霍夫法偏移后，由于其較差的抗噪性，圖像鋼筋反射回波易被噪聲干擾信號所掩蓋，經偏移處理后的圖像模糊，較難識別和辨認，無法準確還原鋼筋位置。

4? 結? 論

基于探地雷達電磁波基本理論和GPRMAX正演數值方法，分別采用F-K法與Kirchhoff法對隧道襯砌雙層鋼筋探測正演圖像進行偏移成像處理，通過分析含噪及理想不含噪條件下雙層鋼筋的偏移歸位情況，并運用圖像熵理論對偏移效果進行定量計算和評價，比較兩種偏移方法的實際運用效果。相對于Kirchhoff偏移法，F-K偏移法獲取的偏移速度-信息熵曲線更規則，計算得到的偏移速度更為準確合理，偏移處理后鋼筋信號更聚焦、能量更為集中，兩側繞射波收斂則更完全，并且F-K偏移法對含高強度噪聲的鋼筋檢測圖像也具有很好的歸位效果，較克希霍夫偏移法具有一定的抗噪性。F-K偏移壓制了多次波和繞射波，有利于鋼筋位置的還原和識別，提高了圖像解釋精度。因此，在隧道襯砌雙層鋼筋的偏移成像處理與識別中，F-K法具有優越性和較好的適用性。

參考文獻：

[1] 陳偉，常軍，鞏文龍.探地雷達在隧道襯砌缺陷檢測中的應用 [J].蘇州科技大學學報：工程技術版，2020，33（3）：54-61+71.

[2] 吳慶全，楊子龍，羅偉斌.基于GprMax正演模擬及工程實例的地質雷達鋼筋探測研究 [J].礦產與地質，2017，31（3）：652-656.

[3] 舒志樂，胥晏，黃強，等.隧道襯砌空洞模型試驗與有限元正演模擬 [J].現代電子技術，2022，45（11）：18-23.

[4] 尹濤，王瑞燕，高鵬，等.基于探地雷達技術的隧道二襯缺陷探測研究 [J].地下空間與工程學報，2018，14（S1）：220-226.

[5] 楊宇，凌同華，廖艷程.混凝土構件深淺埋鋼筋模擬檢測試驗與偏移分析 [J].土木建筑與環境工程，2018，40（6）：139-145.

[6] 鄧世坤.克希霍夫積分偏移法在探地雷達圖象處理中的應用 [J].地球科學，1993（3）：303-309+368.

[7] 李文超，王緒本，鄧薇.探地雷達FDTD正演模擬及F-K偏移處理 [J].勘察科學技術，2007（3）：33-36.

[8] 修志杰，陳潔，方廣有，等.基于F-K偏移及最小熵技術的探地雷達成像法 [J].電子與信息學報，2007（4）：827-830.

[9] 黃玲，曾昭發，王者江，等.鋼筋混凝土缺陷的探地雷達檢測模擬與成像效果 [J].物探與化探，2007（2）：181-185+180.

[10] 林志強，王磊，樊斌斌.基于圖像熵的探地雷達Kirchhoff偏移成像算法 [J].火力與指揮控制，2020，45（12）：97-100.