一種多軸向耦合隨機激勵下缺口試件振動疲勞壽命預測方法

駱政波,范 鑫,劉 峰,陳懷海,鄭榮慧

(1.國營蕪湖機械廠安徽省航空設備測控與逆向工程實驗室,安徽 蕪湖 241007;2.南京航空航天大學 航空學院機械結構力學及控制國家重點實驗室,南京 210016)

在航空、航天、交通運輸以及機械工程等諸多領域中,結構在服役過程中經常處于振動環境中。結構長期在振動載荷作用下激發的動態響應可能會誘導其出現振動疲勞現象[1]。振動疲勞和常規靜態疲勞的本質區別在于結構的動態應力響應是否被激發。振動疲勞失效是許多工程結構常見的失效形式,且結構發生的疲勞失效大多為多軸疲勞失效[2-3]。此外,實際振動環境通常是多軸向的,不同軸向振動載荷之間可能存在各種耦合關系,這樣的耦合關系可能導致結構動態應力響應的耦合,從而對結構疲勞壽命產生影響。因此,多軸向耦合隨機激勵下結構的振動疲勞損傷機理值得深入研究。

金屬結構在隨機載荷下的疲勞壽命估計一直是科學界的一個難題,尤其是當載荷是多軸隨機載荷[4-6]。從宏觀層面上看,多軸疲勞準則方法可以分為時域準則和頻域準則。時域多軸疲勞準則需得到結構部件局部應力分量時域歷程,并結合多軸雨流計數法[7-8]和疲勞損傷累積準則[9-10]對其進行處理以估計結構部件的疲勞壽命。但是,為了獲得可靠的統計結果,這種時域處理程序將變得十分耗時,這對工程應用是不利的。為了實現結構部件的疲勞壽命預測,頻域多軸疲勞準則只需要在頻域里處理局部應力應變功率譜密度函數,這不僅可以節省計算時間,還可以提供準確可靠的統計結果。頻域多軸疲勞準則主要分為等效應力準則[11]、臨界平面準則[12-13]和應力不變量準則[14-16],這三類準則在一些方面各有優缺點。

如果結構部件中存在幾何不連續性(如缺口、圓角和孔洞等),則在隨機疲勞載荷作用下,缺口附近會存在應力集中現象。這種現象會在局部區域產生非常高的應力梯度,從而產生更高的疲勞裂紋擴展驅動力。因此,缺口結構部件的疲勞損傷估計比光滑結構部件更為復雜。目前,缺口疲勞分析方法主要有名義應力法[17-18]、局部應力應變法[19-20]、應力場強法[21-22]和臨界距離理論[23-25]。由于臨界距離理論綜合考慮了缺口根部應力梯度對疲勞裂紋萌生的影響,且具有計算過程簡單和所需材料參數較少的優點,在工程領域受到廣泛的認可和運用。

本文對具有U型缺口的LY12CZ鋁合金試件進行了雙軸向隨機振動疲勞試驗,并研究了兩個振動軸向上載荷譜之間的相干性和相位差對缺口試件疲勞壽命的影響規律。此外,在Carpinteri-Spagnoli頻域準則和修正臨界距離理論的基礎上,提出了一種多軸缺口疲勞壽命預測模型。該多軸缺口疲勞壽命預測模型既能考慮多軸隨機載荷的非比例性對疲勞損傷的影響,又能考慮到應力梯度對缺口根部疲勞裂紋萌生的影響。同時,在臨界距離理論的基礎上引入了權重系數,量化缺口根部不同位置處應力對疲勞損傷參量的權重貢獻,更加明確臨界距離理論在計算缺口積分時的物理意義,從而提高缺口試件疲勞壽命的預測精度。

1 多軸缺口疲勞壽命預測模型

1.1 多軸向隨機振動下結構動力學響應分析

為了模擬真實的振動環境,工程中一般采用振動臺來實施結構部件的振動環境試驗。在三軸向隨機振動試驗中,振動臺提供的加速度基礎激勵可以用頻域里的加速度PSD矩陣來描述

(1)

式中:矩陣對角項Gjj(f)(j:x,y,z)為各振動軸向加速度的自譜密度函數;矩陣非對角項Gjk(f)(j:x,y,z;k:x,y,z;j≠k)為各振動軸向加速度之間的互譜密度函數,并滿足以下關系式

(2)

根據隨機振動理論,結構的應力響應PSD矩陣可由加速度PSD矩陣和結構的應力頻響函數矩陣計算得到

(3)

式中,上標‘T’為矩陣轉置。Hσ(f)為結構的應力頻響函數矩陣,Hσ(f)的一般形式可以表示為:

(4)

結合式(3)和式(4),可以將結構的應力響應PSD矩陣展開為:

(5)

由上式可以看出,各振動軸向上載荷譜之間的相干性和相位差可能會對應力分量之間的比例關系產生影響。

1.2 Carpinteri-Spagnoli頻域準則

從分類來說,Carpinteri-Spagnoli頻域準則[12]屬于基于臨界平面的多軸疲勞準則。

假設金屬結構受到多軸隨機載荷的作用,在PXYZ固定坐標系下結構中點P處應力向量的一般形式可表示為sxyz(t)=[s1,s2,s3,s4,s5,s6]T=[σx,σy,σz,τyz,τxz,τxy]T。應力向量sxyz(t)的單邊應力PSD矩陣可以表示如下:

(6)

為了確定臨界平面的位置,需要圍繞固定坐標系PXYZ的坐標軸進行五次單軸依次旋轉。前三次單軸依次旋轉(即歐拉角φ,θ和ψ)可以定義一個旋轉坐標系PX′Y′Z′,如圖1所示。在旋轉坐標系PX′Y′Z′下結構中點P處應力向量為sx′y′z′(t)=[s1′,s2′,s3′,s4′,s5′,s6′]T。可以計算得到應力向量sx′y′z′(t)的單邊應力PSD矩陣

圖1 通過歐拉角φ,θ和ψ定義的旋轉坐標系PX′Y′Z′Fig.1 Rotation coordinate system PX′Y′Z′ defined by Euler angles φ,θ and ψ

Gx′y′z′(w)=CGσ(w)CT

(7)

式(7)中的旋轉矩陣C=C(φ,θ,ψ)可以表示為

(8)

式中,cψ=cosψ,sψ=sinψ,cθ=cosθ,sθ=sinθ,cφ=cosφ和sφ=sinφ。

當改變歐拉角φ,θ(0≤φ≤2π,0≤θ≤π)時,在觀測時間T內Z′方向上經歷的正應力s3′(t)的極值期望值可以根據Daveport公式[26]計算得到

(9)

(10)

(11)

(12)

通過改變歐拉角ψ(0≤ψ≤2π),切應力s6′的最大方差值可以根據下式計算

(13)

圖2 通過歐拉角δ和γ定義的旋轉坐標系PuvwFig.2 Rotation coordinate system defined by Euler angles δ and γ

(14)

(15)

式中,cγ=cosγ,sγ=sinγ,cδ=cosδ和sδ=sinδ。

臨界平面的法線方向w可以通過偏離角δ(順時針旋轉)進行確定

(16)

而u軸和v軸通過方向角γ(繞w軸逆時針旋轉)進行確定,其中u軸定義的是切應力s6″方差值達到最大值的方向

(17)

臨界平面上P點處的等效單邊應力PSD函數可以通過以下的線性組合表達式計算得到

(18)

式中,σaf和τaf分別為材料的彎曲疲勞極限和扭轉疲勞極限。

對于單軸隨機疲勞載荷,可以運用Tovo-Benasciutti公式[27]計算單位時間內的疲勞損傷強度

(19)

式中,Γ(·)為伽馬函數;α2為帶寬系數;vp為峰值穿越率;b為權重系數。b可以通過以下擬合公式計算得到

(20)

1.3 Carpinteri-Spagnoli頻域準則拓展到多軸缺口疲勞

基于Neuber等[28-29]在19世紀50年代做出的開創性貢獻,Bellett等[30]系統性地提出了臨界距離理論。臨界距離理論是基于兩個基本假設提出的,一個基本假設是認為缺口附近服從線彈性應力場分布,另一個假設是認為缺口結構的疲勞損傷取決于缺口附近的應力場梯度分布。

根據臨界距離理論,當缺口根部的有效應力Δσeff等于材料的單軸疲勞極限σaf時,缺口結構部件就處于疲勞極限狀態。臨界距離理論的計算示意圖如圖3所示。

(a) 點法

在實際運用過程中,臨界距離理論可以具體表現為點法、線法、面法:

(21)

(22)

(23)

式中:Δσ1為缺口尖端前的最大主應力幅值分布;L為材料特征長度。L可以由以下關系式計算得到[31]

(24)

式中:ΔKth為應力集中系數門檻值;σaf為材料彎曲疲勞極限。

臨界距離理論雖然考慮了缺口根部應力場梯度分布對疲勞損傷的影響,但是并未考慮權重影響,即不同位置處應力對疲勞損傷的權重貢獻是不同的。因此,本文在缺口計算中引入權函數概念,認為權函數φ(r)代表缺口根部不同距離處應力對疲勞損傷的權重貢獻應該是不同的。權函數φ(r)的具體表達式為[32]

φ(r)=e-(kt-1)r

(25)

式中,kt為缺口件的應力集中系數。

修正臨界距離理論的表達式為

(26)

(27)

面法:

(28)

在本節中,將Carpinteri-Spagnoli頻域準則和修正臨界距離理論的點法和線法相結合,實現缺口結構部件在多軸向耦合隨機激勵下的疲勞壽命預測。該法主要分為三步:第一步是確定缺口結構部件的疲勞裂紋初始點;第二步是確定疲勞裂紋路徑的方向;第三步是結合修正臨界距離理論的點法和線法,運用Carpinteri-Spagnoli頻域準則計算該點處的疲勞損傷值。

以圖4所示的結構部件缺口來具體說明。假設疲勞裂紋初始點H是具有von Mises應力最大均方根值的節點,而疲勞裂紋路徑是一條從裂紋初始點H發出且沿著缺口法線方向的直線。根據修正臨界距離理論的點法,距離疲勞裂紋初始點L/2的疲勞臨界點處疲勞損傷的修正值(運用Carpinteri-Spagnoli頻域準則乘以權重系數)作為缺口結構部件的疲勞損傷值;根據修正臨界距離理論的線法,在距離疲勞裂紋初始點[0,2L]區間范圍內進行積分得到疲勞損傷的修正值(運用Carpinteri-Spagnoli頻域準則乘以權重系數在區間范圍內積分)作為缺口結構部件的疲勞損傷值。缺口結構部件的疲勞損傷具體計算公式如下

(a) 點法

(29)

(30)

式中,E[Dp]是在P點處運用Carpinteri-Spagnoli頻域準則計算得到的疲勞損傷值。

最后,缺口結構部件的疲勞壽命可以根據以下公式計算得到

(31)

2 試驗研究

2.1 試驗件及試驗裝置

缺口試驗件所用的材料是LY12CZ鋁合金,取自直徑為12 mm的棒材。LY12CZ鋁合金的機械性能參數和疲勞性能參數分別如表1和表2所示。

表1 LY12CZ鋁合金和45鋼的機械參數Tab.1 Mechanical parameters of LY12CZ aluminum alloy and 45 steel

表2 LY12CZ鋁合金的疲勞參數[33]Tab.2 Fatigue parameters of LY12CZ aluminum alloy[33]

考慮到三軸向振動臺的臺面尺寸限制和試驗量級限制,在試驗件設計過程中采用有限元軟件對試驗件的尺寸、缺口位置和缺口深度進行了優化設計。最終確定試驗件的幾何尺寸如圖5所示。采用數控線切割加工工藝對試驗件進行加工,保證了試驗件的尺寸加工精度和表面光潔度,從而降低試驗數據的分散性。由圖5可知,試驗件的缺口深度為2.25 mm,缺口半徑為1 mm,缺口試驗件的彎曲應力集中系數kt,b=1.65和扭轉應力集中系數kt,t=1.38。

圖5 LY12CZ鋁合金試驗件Fig.5 Test specimen made from LY12CZ aluminum alloy

試驗裝置由一個T型緊固部件和兩個橫向薄板(尺寸相同)組成。其中,橫向薄板使用的材料為LY12CZ鋁合金,而T型緊固部件使用的材料是45鋼,它們的機械性能參數見表1。

試驗裝置和缺口試驗件通過四個螺栓緊固聯結形成一個整體試驗結構,再通過夾具和底板安裝在振動臺面上,如圖6所示。經過有限元軟件優化設計,使得缺口試驗結構的第一階彎曲模態頻率和第一階扭轉模態頻率相差非常小,便于后續在雙軸向隨機振動疲勞試驗中研究兩個振動軸向上載荷譜之間的耦合關系對缺口試驗件疲勞壽命的影響規律。

圖6 試驗結構安裝示意圖Fig.6 Installation diagram of the test structure

2.2 模態試驗

為了確定加速度PSD矩陣的頻帶范圍和獲得缺口試驗結構的模態參數,需要對安裝在振動臺面上的缺口試驗結構進行模態試驗。在本文中,采用錘擊法對該結構進行模態試驗,模態試驗結果如表3所示。

表3 試驗結構的模態試驗結果Tab.3 Modal test results of the test structure

2.3 雙軸向隨機振動疲勞試驗

缺口試驗結構通過夾具和底板安裝在G-6080-3HT-20型三軸向電動式振動臺上。采用三軸向振動臺對缺口試驗結構實施雙軸向隨機振動疲勞試驗。在雙軸向隨機振動疲勞試驗中,由參考加速度PSD矩陣(如圖7所示)生成的加速度時域信號同時施加在三軸向振動臺的Y和Z軸上。

圖7 加速度PSD矩陣Fig.7 Acceleration PSD matrix

安裝在振動臺面中心位置的三軸向加速度傳感器可以對振動臺面輸出的加速度時域信號進行實時采集,并和三軸向振動控制儀相結合,實現對振動試驗系統的閉環控制(如圖8所示)。而分別安裝在缺口試驗件末端和T型緊固件末端的三軸向加速度傳感器可以實時監測加速度動態響應,以便實時監測缺口試驗結構的前兩階模態頻率。在本文中,缺口試驗件的振動疲勞壽命定義為結構模態頻率下降5%所花的時間。

2.4 疲勞試驗結果

在本文中,對缺口試驗結構共進行了十二組雙軸向隨機振動疲勞試驗。缺口試驗件在不同振動工況下的疲勞壽命如表4所示。

表4 試驗件在各工況下的振動疲勞壽命Tab.4 Vibration fatigue life of test specimens under different load conditions

由表4可知,在雙軸向隨機振動疲勞試驗中,Y軸和Z軸兩個振動軸向上載荷譜之間的相干性和相位差對缺口試驗件疲勞壽命有非常顯著的影響。

3 多軸缺口疲勞壽命預測模型驗證

3.1 有限元仿真分析

缺口試驗結構的有限元模型如圖9所示,該結構由59 112個六面體網格單元和1 860個五面體網格單元組成,總共有64 664個節點。在網格劃分過程中對缺口試驗件的缺口進行局部加密,缺口區域內最小的單元尺寸設置為0.03 mm。

圖9 試驗結構有限元模型Fig.9 Finite element model of the test structure

在本文中,采用有限元軟件PATRNA/NASTRAN 2010對缺口試驗結構進行有限元仿真分析。通過模態分析可以得到缺口試驗結構的前兩階模態振型如圖10所示。通過圖10和表2中數值和試驗模態結果的對比可以發現:缺口試驗結構的彎曲和扭轉模態頻率的相對誤差分別是0.4%和0.9%。從而驗證了缺口試驗結構有限元模型建模的準確性。

(a) 第一階模態(f1=80.8 Hz)

3.2 疲勞壽命預測結果

在本節中,運用Carpinteri-Spagnoli頻域準則和修正臨界距離理論的點法和線法相結合的多軸缺口疲勞壽命預測模型對缺口試驗件在多軸向耦合隨機激勵下的疲勞壽命進行預測。

計算疲勞壽命Tcal和試驗疲勞壽命Texp之間的對比如圖11所示。在圖11中,實線表示Tcal=Texp,而虛線和粗實線分別表示Tcal/Texp=0.5-2和Tcal/Texp=0.33-3。

(a) 點法

由圖11可以看出:對于修正臨界距離理論的點法,63%預測疲勞壽命落在試驗疲勞壽命的2倍誤差帶內,而91%預測疲勞壽命落在試驗疲勞壽命的3倍誤差帶內;對于修正臨界距離理論的線法,86%預測疲勞壽命落在試驗疲勞壽命的2倍誤差帶內,而100%預測疲勞壽命落在試驗疲勞壽命的3倍誤差帶內。

3.3 討論和分析

在本節中,對Y軸和Z軸兩個振動軸向上載荷譜之間的相干性和相位差對缺口試件疲勞壽命產生顯著影響的原因進行理論解釋。

當缺口試驗結構的彎曲模態頻率和扭轉模態頻率相差非常小時,缺口試件中疲勞臨界點處彎曲正應力和扭轉切應力的主共振頻帶范圍是重疊的。這樣,當Y軸和Z軸兩個振動軸向上載荷譜之間的相干性和相位差發生變化時,彎曲正應力和扭轉切應力之間的比例關系會受到很大影響,從而缺口試驗件的疲勞壽命也會受到很大影響;且彎曲正應力和扭轉切應力之間的比例關系越強,缺口試驗件的疲勞壽命也越長。

由表4和表5中對應工況可以看出,Y軸和Z軸兩個振動軸向上載荷譜之間的相干性和相位差對彎曲正應力和扭轉切應力之間的比例關系確實產生了較大影響;且載荷信號之間的相關性(載荷譜之間不同的相干性和相位差組合會產生不同的載荷相關性)愈強,彎曲正應力和扭轉切應力之間的比例關系亦愈強,缺口試驗件的疲勞壽命亦愈長。相干性相干性相干性相干性從而驗證了前面的理論解釋。

表5 各種載荷工況下應力分量之間的比例關系相干性Tab.5 Proportional relationships between stress components under different load conditions

有一種特例情況需要說明如下:通過比較表4中1號、4號、7號載荷工況和8號、11號載荷工況,發現當Y軸和Z軸兩個振動軸向上載荷譜之間的相位差等于90°時,載荷譜之間的相干性對缺口試驗件的疲勞壽命幾乎沒有影響。這是因為當兩個振動軸向上載荷譜之間的相位差等于90°時,無論載荷譜之間的相干性怎么變化,Y軸和Z軸兩個振動軸向上生成的隨機加速度時域信號都是完全不相關的。這樣,響應應力分量之間的比例關系就不受影響(由表5中1號、4號、7號載荷工況和8號、11號載荷工況可以直觀看出,響應正應力和響應切應力是完全不成比例的),因此缺口試驗件的疲勞壽命也不受影響。

4 結 論

本文基于Carpinteri-Spagnoli頻域準則和修正臨界距離理論提出了一種多軸缺口振動疲勞壽命預測模型。該多軸缺口疲勞壽命預測模型能同時考慮多軸隨機載荷的非比例性對疲勞損傷的影響和應力梯度對缺口區域疲勞裂紋萌生的影響。此外,在臨界距離理論的基礎上引入了權重系數,量化缺口根部不同位置處應力對疲勞損傷參量的權重貢獻,更加明確臨界距離理論在計算缺口積分時的物理意義。

對LY12CZ鋁合金缺口試驗件實施了雙軸向隨機振動疲勞試驗,研究了兩個振動軸向上載荷譜之間的耦合關系對試驗件疲勞壽命的影響,并從理論角度解釋了其中原因。同時,運用提出的多軸缺口振動疲勞壽命預測模型對缺口試件在多軸向耦合隨機激勵下的疲勞壽命進行預測,結果表明該方法具有較好的預測精度,絕大部分結果都在3倍誤差帶內。

雖然本文提出的多軸缺口振動疲勞壽命預測模型對平面應力狀態下的疲勞壽命預測具有較高精度。但是,對于更復雜的三向應力狀態下的疲勞壽命預測精度,有待將來更多試驗數據的驗證。