多頻激勵作用下懸索時滯減振控制研究

夏 慧,彭 劍,2,李祿欣,孫洪鑫,2,禹見達,2,邵宏利

(1.湖南科技大學 土木工程學院,湖南 湘潭 411201;2.湖南科技大學 結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室,湖南 湘潭 411201)

懸索作為大跨度空間結構的一種重要形式,被廣泛應用于建筑工程(體育館),橋梁工程(懸索橋),電力電訊工程(輸電線),航空航天(繩系衛星)等領域。在實際工程中,懸索受到的外部荷載較為復雜,可能存在多個激勵共同作用,作為非線性系統,在多頻激勵作用下會表現出更為復雜的動力學行為[1]。研究人員針對Duffing[2-3]、Vander Pol[4]、Duffing-van der Pol[5-6]等經典系統在多頻激勵作用下的非線性動力學行為進行了研究,發現多頻外激勵改變了單頻激勵條件下系統的振動狀態,使系統的主共振曲線產生了偏移。趙珧冰等[7]基于溫度變化對拉索張拉力和垂度的影響,研究了懸索聯合共振的響應特性及其受溫度變化影響。孫測世等[8]針對分布與端部激勵下懸索瞬時相頻特性開展了對比研究。

另一方面,懸索因其本身質量輕,柔性大,阻尼小等特點,在多頻激勵的作用下容易產生大幅度的振動[9-11],造成結構的疲勞破壞,從而導致工程災害的發生。因此懸索的振動控制問題一直備受研究者關注[12-14]。從Olgac等[15-16]提出動力結構主動時滯減振新技術,研究人員對時滯反饋控制進行了大量的研究。趙艷影等[17]研究了時滯非線性動力吸振器的減振機理。王在華等[18]對相關時滯動力系統的穩定性和分叉內容進行了系統闡述。邵素娟等[19]研究了具有時滯反饋控制的非線性主動懸架系統的穩定性。彭劍等[20]采用時滯反饋控制對懸索在單一激勵作用下動力學行為進行了研究。

綜上所述,懸索作為一類典型的運動方程同時包含平方和立方非線性的柔性結構,當其受到多頻激勵時,容易發生各種形式的聯合共振,然而現有研究較少。因此,本文關注多頻激勵作用下懸索的時滯反饋控制問題?；贖amilton變分原理,建立多頻激勵下受控懸索系統的非線性振動控制模型。利用多尺度法求解受控懸索系統發生聯合共振時的響應方程。通過數值算例分析了受控懸索的非線性行為,以及控制系統參數對共振響應的影響。

1 數學模型

如圖1所示,建立坐標系O-xy,懸索的兩端懸掛在O-xy坐標面內的同一水平線的兩個支座上,坐標原點O位于懸索的一側,同時用虛線和實線分別表示懸索的靜態和動態構型。u(x,t)和v(x,t)分別表示沿x和y方向的位移分量。假設沿懸索索長方向的截面積保持不變,懸索始終保持在彈性變形范圍內,同時忽略彎曲剛度、扭轉剛度以及剪切剛度的影響。

圖1 受控懸索系統的簡化模型Fig.1 Simplified model of a controlled suspended cable system

基于Hamilton變分原理,可以得到多頻激勵下受控懸索系統的非線性動力學方程[20]

(1)

式中:點為對時間t求導,撇為對坐標x求導;l為懸索的跨徑;m為懸索單位長度的質量;E為懸索的彈性模量;A為懸索橫截面面積;H為懸索初始張力的水平分量;c為單位長度的阻尼系數;uc為右端移動支承的縱向位移。為了便于參數分析,假定懸索的初始靜態構型為拋物線[21]:y(x)=4b[x/l-(x/l)2],其中b為懸索的垂度。外部激勵由兩部分組成(m=1,2),Kmn、Ωm和θm分別為激勵的幅值,頻率和相位。g為重力加速度,引入無量綱參數

(2)

經過無量綱化,方程(1)轉化為以下形式

(3)

為了書寫方便,字母的上標已略去。

假設懸索是由正對稱和反對稱模態組成的多自由度系統,可利用Galerkin法將式(3)離散成無窮維方程,此時面內運動的位移函數表示為

(4)

式中:qn(t)為廣義坐標函數;φn(x)為振型函數。

將式(4)代入式(3)中,可得離散后的無窮維方程為

(5)

其中,

(6)

2 超/亞諧波聯合共振

由于懸索同時包含平方和立方非線性,非線性共振現象豐富,如主共振;1/2、1/3階次諧波共振;2階、3階超諧波共振等。當其受到多頻激勵時,會發生多種形式的聯合共振或組合共振,本文考慮系統同時發生超諧波共振和亞諧波共振,利用多尺度法求解系統的幅頻響應方程,并且判斷穩態解的穩定性。

根據多尺度法,調整阻尼項,非線性項及外激勵項的系數,即μn=O(ε2),Λnijk=O(ε2),gl=O(ε2),Γnij=O(ε),設式(5)解的形式如下:

qn(t;ε)=qn0(T0,T1,T2)+εqn1(T0,T1,T2)+

ε2qn2(T0,T1,T2)+O(ε2)

(7)

其中,Ti=εit,(i=0,1,2),ε(0<ε≤1)為小參數。

將式(7)代入式(5),并令兩端εi的系數相等,得到:

(8)

(9)

glc1D0qn0(t-τ)-glc2qn0D0qn0(t-τ)

(10)

式(8)的解可表示為以下形式

(11)

其中,cc為前面各項的共軛復數以及

將式(11)代入式(9)中,消去久期項,可知D1An=0,由此可得qn1的表達式。將所得結果代入式(10)中,同理消去久期項可知qn2的表達式。

本文分析超諧波共振和亞諧波共振聯合共振的情況,設:

3Ω1=ω1+ε2σ1,Ω2=3ω1+ε2σ2

(12)

其中,σ1和σ2為調諧參數。則式(10)的可解性條件為

iglc1Ane-iωnτ=0

(13)

式中:δn1為克羅內克δ函數;上標橫線表示共軛項。其他參數如下

pm=

smk=

(14)

令:

(15)

其中,an和βn為T2的實函數。

在實際工程中,懸索的前兩階模態(一階正/反對稱模態)較易激發,也更易測試。因此,為簡便起見,本文考慮單模態模型(一階正/反對稱模態)[22]。將式(15)代入式(13),分離實虛部,當n=1時,可得:

(16a)

(16b)

(17)

即σ2=3σ1=3σ時才存在穩態運動,此時Ω2=9Ω1?？傻梅€態運動方程:

μea1-2p1sin(γ+3θ1)-

(18a)

(18b)

其中,

(19)

3 算例分析

本節對多頻激勵下受控懸索聯合共振響應開展數值分析。懸索的各項物理參數分別為[23]:跨度L=200 m,截面面積A=7.069×10-2m2,彈性模量E=200 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,阻尼比μn=0.005。懸索的非線性振動特性與其垂跨比的大小相關,本文取垂跨比為適中值0.015。

令方程組(18)中的θ1=θ2=0,可以得到懸索在超諧波與亞諧波聯合共振情況下的幅頻響應曲線和對應的調諧相位曲線,如圖2～圖6所示。實線和虛線分別表示穩定解和不穩定解。幅頻響應曲線都向左彎曲,表現出軟彈簧特性。在多頻激勵作用下系統同時展現出超諧波共振和亞諧波共振響應的特性,但又與單一的超諧波和亞諧波共振特性不同,其共振區間、響應幅值及其相位等均發生了改變。其中,A和D兩枝類似于懸索發生超諧波共振響應時的幅頻響應曲線,B和C兩枝類似于懸索發生亞諧波共振響應時的幅頻響應曲線。在多頻激勵作用下系統的穩態解個數也發生改變,其解存在以下可能性:一個穩定的非平凡解;三個非平凡解,其中一個是不穩定的;五個非平凡解,其中兩個是不穩定的;七個非平凡解,其中三個是不穩定的。

(a) 幅頻響應曲線

由圖2可知,當gl=0.000 1,τ=0.15時,σ取不同值,分枝B和分枝C可能彼此相交,也可能不相交,而當σ值適當大時,所有分枝皆不相交,即曲線不閉合。隨著控制增益的增大,如圖3所示,在gl=0.000 2,τ=0.15時,分枝B向下移動并形成一個循環,環的下部是穩定的,而上部是不穩定的。進一步提高控制增益,如圖4所示,在gl=0.000 3,τ=0.15時,懸索仍表現出一定的軟彈簧特性,但在頻率響應曲線上存在一定的間隙,超諧波共振型曲線分成兩條,特別地,分支A是封閉的并且大部分是單值的,只有小范圍內存在多值。由圖2～圖4可以看到,給定時滯τ=0.15時,隨著控制增益減小,分枝D的穩定和不穩定解的相位變得相當接近。此外,由圖2、圖5、圖6可以發現,當gl=0.000 1時,時滯值從τ=0.15增大到τ=0.25,分枝B上移,分枝C下移,兩個分枝之間的距離逐漸減小。

(a) 幅頻響應曲線

(a) 幅頻響應曲線

(a) 幅頻響應曲線

綜上所述,通過調節控制增益和時滯值的大小可以改變共振范圍、響應幅值及其相位。且控制增益和時滯值對相位的影響較大。當多頻激勵下的振動行為較為復雜時,可以通過頻率響應曲線和調諧相位曲線來區分所有解。

4 結 論

本文主要通過多尺度法和具體的算例研究了多頻激勵作用下受控懸索的非線性振動特性,可以得到以下結論:

(1) 受控懸索表現出軟彈簧特性,在多頻激勵作用下表現出復雜的非線性,超諧波和亞諧波聯合共振作用下最多可以達到七個解。分枝B和分枝C之間的距離隨著時滯值增大而慢慢變小,同時可以發現,隨著控制增益減小,分枝D的穩定和不穩定解的相位變得相當接近。

(2) 通過調節控制增益和時滯值的大小可以改變懸索的共振范圍、響應幅值及其相位。當多頻激勵下的振動行為較為復雜時,可以通過頻率響應曲線和調諧相位曲線來區分所有解。