考點(diǎn)早知道,知識(shí)全掌握
——基于函數(shù)模塊的應(yīng)用

■江蘇省海門(mén)中學(xué) 陸莉婷

函數(shù)是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一條主線,成為歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一大重要知識(shí)點(diǎn)與考查點(diǎn)。函數(shù)模塊的考查,是基于基本初等函數(shù),借助函數(shù)的概念、定義域與值域,函數(shù)的表示與圖像,函數(shù)的基本性質(zhì),分段函數(shù)與抽象函數(shù),函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等各個(gè)方面,從不同知識(shí)點(diǎn)來(lái)切入與設(shè)置。下面結(jié)合2023年高考真題,就函數(shù)模塊的常見(jiàn)考點(diǎn)加以剖析,使同學(xué)們對(duì)高考考點(diǎn)早知道,函數(shù)知識(shí)全掌握。

一、函數(shù)的定義域或值域

例1(2023 年高考數(shù)學(xué)上海卷·5)已知f(x)=則f(x)的值域是____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過(guò)分段函數(shù)對(duì)自變量在不同情況下確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的取值情況,綜合歸納來(lái)確定函數(shù)的值域。注意分段函數(shù)場(chǎng)景下的函數(shù)值域是各自情況下的函數(shù)值域的并集。

解：當(dāng)x＞0時(shí),f(x)=2x＞20=1;

當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=1。

綜上可知,函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)。

點(diǎn)評(píng):求解函數(shù)的值域問(wèn)題,可根據(jù)函數(shù)的解析式,結(jié)合一些常見(jiàn)的值域求解方法來(lái)分析與處理。這里涉及分段函數(shù)的值域問(wèn)題,要注意分類(lèi)討論,并與集合的運(yùn)算加以聯(lián)系與綜合。

二、函數(shù)的圖像

例2(2023 年高考數(shù)學(xué)天津卷·4)函數(shù)f(x)的圖像如圖1所示,則f(x)的解析式可能為( )。

圖1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,借助函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定函數(shù)的奇偶性,由此排除一些不滿足條件的選項(xiàng);在此基礎(chǔ)上,借助函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),可得f(0)=5,又可以進(jìn)一步排除不滿足條件的選項(xiàng),從而達(dá)到目的。

解：由圖1可知,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)f(x)為定義域上的偶函數(shù),由此可以排除選項(xiàng)A、B;而f(0)=5,由此可以排除選項(xiàng)C。

故選D。

點(diǎn)評(píng):解決涉及函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用問(wèn)題,往往要從函數(shù)的圖像入手,抓住函數(shù)圖像的結(jié)構(gòu)特征,從圖像的對(duì)稱(chēng)性、圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)、圖像的增減變化趨勢(shì)等層面入手,進(jìn)行正確分析與判斷。往往可以借助特殊值思維、極限思維等加以滲透與應(yīng)用。

三、函數(shù)的基本性質(zhì)

例3(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是( )。

A.(-∞,-2] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,合理分拆題設(shè)中的復(fù)合函數(shù),從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性入手,巧妙結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式,進(jìn)而得以確定參數(shù)的取值范圍。

解：依題知,函數(shù)f(x)=2t在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增。結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)t=x(x-a)=在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減。結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),可知對(duì)稱(chēng)軸x=≥1,解得a≥2,即a的取值范圍是[2,+∞)。

故選D。

點(diǎn)評(píng):常見(jiàn)的函數(shù)的基本性質(zhì)主要包括奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等,問(wèn)題的設(shè)置,有時(shí)單一性質(zhì)直接考查,有時(shí)多個(gè)性質(zhì)綜合考查。而涉及復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題,也是考查中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn),要加以高度重視。

四、函數(shù)的零點(diǎn)

例4(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·15)已知函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω＞0)在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,由函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程,結(jié)合自變量的取值限制,余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定方程的解的取值問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合確定變量的取值情況,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍。

解：令f(x)=cosωx-1=0,則cosωx=1。因?yàn)閤∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ]。要使得函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω＞0)在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3 個(gè)零點(diǎn),則cosωx=1在ωx∈[0,2ωπ]上有且僅有3 個(gè)解,所以4π≤2ωπ＜6π,解得2≤ω＜3,即ω的取值范圍是[2,3)。

例5(2023 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文科·8)若函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )。

A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)

C.(-4,-1) D.(-3,0)

老三這時(shí)也看到了孔老一，連滾帶爬沖了過(guò)來(lái)，也不說(shuō)話，見(jiàn)面就跪：“哥，哥，咱爸過(guò)山去了。”說(shuō)罷便伏地嚎啕大哭說(shuō)罷便伏地號(hào)啕大哭。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過(guò)求導(dǎo),結(jié)合參數(shù)的取值情況加以分類(lèi)討論,并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值的確定,利用函數(shù)存在3 個(gè)零點(diǎn),構(gòu)建相應(yīng)的涉及極大值與極小值的不等式組,進(jìn)而得確定參數(shù)的取值范圍。

解：依題得f'(x)=3x2+a。

若a≥0,則f'(x)≥0,函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,故不存在3個(gè)零點(diǎn),不符合題意,舍去。

所以a的取值范圍是(-∞,-3)。

故選B。

點(diǎn)評(píng):涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題一直是高考中考查的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn),涉及零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定,零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷,參數(shù)的最值或取值范圍等問(wèn)題。特別對(duì)于以上函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程的根、函數(shù)的圖像的交點(diǎn)等相關(guān)問(wèn)題來(lái)化歸與轉(zhuǎn)化。

五、抽象函數(shù)問(wèn)題

例6(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·11)(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( )。

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系式,利用特殊值的賦值法處理來(lái)分別確定選項(xiàng)A、B、C 的真假;并結(jié)合關(guān)系式的特征,借助特殊函數(shù)的構(gòu)建來(lái)舉例說(shuō)明其是錯(cuò)誤的,由此判斷正確選項(xiàng)。

解：令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),解得f(0)=0,故選項(xiàng)A 正確;

令x=y=1,則f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),解得f(1)=0,故選項(xiàng)B正確;

令x=y=-1,則f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0,單令y=-1,則f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),即f(x)是偶函數(shù),故選項(xiàng)C正確;

綜上分析,故選ABC。

點(diǎn)評(píng):該題是抽象函數(shù)的判斷與應(yīng)用問(wèn)題,選項(xiàng)A、B、C 三者層層遞進(jìn),這也是問(wèn)題設(shè)置的一個(gè)合理安排,給考生一個(gè)思維過(guò)程與深入研究過(guò)程。而對(duì)于選項(xiàng)D 的判斷,還可以直接舉例:取常值常數(shù)f(x)=0,此時(shí)滿足條件,而此時(shí)函數(shù)f(x)不存在極小值點(diǎn),其是錯(cuò)誤的。

六、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例7(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·10)(多選題)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視。用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)Lp=20×,其中p0(p0＞0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值,p是實(shí)際聲壓。表1 為不同聲源的聲壓級(jí):

表1

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10 m 處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1、p2、p3,則( )。

A.p1≥p2B.p2＞10p3

C.p3=100p0D.p1≤100p2

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過(guò)創(chuàng)新定義聲壓級(jí)的對(duì)數(shù)關(guān)系式,結(jié)合相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息,通過(guò)作差法,并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算及不等式的性質(zhì)來(lái)分析與求解,逐個(gè)判斷相關(guān)選項(xiàng)的真假情況,進(jìn)而得以實(shí)際應(yīng)用。

綜上分析,故選ACD。

點(diǎn)評(píng):解決涉及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵在于正確閱讀理解并挖掘題目的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),結(jié)合函數(shù)、不等式等的應(yīng)用來(lái)分析。破解此類(lèi)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題要注意把握其中的基本問(wèn)題,同時(shí)要符合生活實(shí)際。

歷年高考對(duì)函數(shù)模塊知識(shí)的考查,往往都是以二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)為載體,借助運(yùn)算、解析式、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用等來(lái)合理設(shè)計(jì),巧妙交匯與整合一些相關(guān)知識(shí)點(diǎn),主要出現(xiàn)在選擇題或填空題中,難度屬于較易或中等。