洛倫茲減搖穩定平臺二自由度內模控制

劉 強，劉志國，李 衡

（北京石油化工學院精密電磁裝備與先進測量技術研究所，北京 102617）

1 引言

洛倫茲減搖穩定平臺［1］采用無接觸摩擦的洛倫茲磁軸承［2-3］代替傳統的兩軸伺服機構，實現俯仰軸和橫滾軸兩自由度偏轉機動，對載荷的姿態晃動進行大角度減搖，在機載視頻監控儀、艦載雷達天線、車載錄像設備等軍事及民用領域擁有廣闊的應用前景。然而，洛倫茲減搖穩定平臺雖通過洛倫茲磁軸承實現徑向懸浮偏轉，但其在軸向支撐上采用機械接觸的球面滾珠軸承和支撐體組件，仍存在一定摩擦力干擾，且由于滾珠軸承存在加工制造誤差、機械磨損、潤滑油泄漏和外界溫度變化，摩擦力存在非線性變化［4］。由于洛倫茲減搖穩定平臺的工作特性，平臺徑向偏轉角速度經常過零，在低速啟動時，摩擦力作為主要干擾，會引發平臺抖振現象。因此，基于摩擦干擾模型的精確建模和采用合理的控制策略是進一步提高平臺控制精度的關鍵。目前有關摩擦模型和干擾補償控制的研究較為廣泛，文獻［5］將Stribeck摩擦模型應用于艦炮伺服系統，通過仿真實驗較好地描述出摩擦環節的影響。文獻［7］通過仿真深入分析對比了現有庫倫摩擦模型、Stribeck模型、LuGre模型［6］等主流摩擦模型，證明了LuGre模型具有更好的貼合性。文獻［8］將LuGre模型引入車輛輪胎原地轉向阻力矩的分析中，為重型車輛液壓助力轉向系統的匹配設計奠定了理論基礎。

洛倫茲減搖穩定平臺作為一種新型主動減搖裝置，相關的模型研究較少，因此，在平臺偏轉動力學建模中引入了LuGre摩擦模型。同時，考慮到二自由度內模控制方法具有魯棒性強、參數整定簡單、動態跟蹤和擾動抑制能力可獨立調節等優點［9-10］，適用于解決繞組自感效應引起系統時滯的問題，并滿足平臺自身快響應、抗干擾的工作需求。基于二自由度內模控制思想，設計了平臺偏轉系統二自由度內模控制器，并進行了MATLAB/Simulink仿真，基于仿真結果，分析驗證了該二自由度內模控制策略的可行性。

2 洛倫茲減搖穩定平臺動力學建模

洛倫茲減搖穩定平臺結構示意圖，如圖1所示。主要包括球形動子（承受載體載荷、執行偏轉動作）、洛倫茲磁軸承（驅動動子偏轉）、角速率陀螺儀（測量動子偏轉角速率）和球面滾珠軸承（軸向支撐、輔助動子偏轉）。當外界擾動引起載荷姿態晃動時，角速率陀螺通過角度零位對準運算實時監測平臺瞬時姿態角，并將位置信號傳遞至系統控制器。控制器根據平臺目標位置計算洛倫茲磁軸承繞組電流大小和方向，并將其加載至正交放置于靜態永磁磁場中的成對繞組內，轉換成安培力Fi驅動動子沿x、y方向偏轉，實現載荷減搖。

圖1 洛倫茲減搖穩定平臺結構示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the Structure of the Lorentz Anti-Roll Stabilized Platform

洛倫茲磁軸承產生電磁力依據安培力定律，磁軸承內通電繞組產生的偏轉力矩可表示為：

式中：Mx、My—磁軸承在x、y方向的偏轉力矩；n—繞組匝數；B—氣隙磁感應強度；L—單層單匝繞組線圈的有效長度；lm—轉動力臂長度；ix、iy—x、y方向繞組電流。

在考慮摩擦干擾的情況下，根據牛頓第二定律，平臺動子的轉動方程可表示為：

式中：α、β—動子繞x、y軸方向偏轉角度；

Jx、Jy—動子赤道轉動慣量。

對式（2）進行拉普拉斯變換可得：

式中：τ—控制系統延時；Tf—摩擦干擾力矩。

摩擦力矩Tf的LuGre模型，如式（4）所示。

式中：z—鬃毛形變量；θ—動子偏轉角度；σ0—鬃毛剛度系數，Tc和庫倫摩擦力矩；Ts—最大靜摩擦力矩；ws—臨界Stribeck 速度；σ1—鬃毛阻尼系數；σ2—粘性摩擦系數。其中，Tc、Ts、ws、σ2、σ0和σ1等參數均可通過摩擦力矩辨識試驗得到。

3 控制器設計

二自由度內模控制器繼承了內模控制的對偶穩定、理想控制器和零穩態誤差等特性，同時相比傳統的單自由度內模控制，具有兩個可調參數，可以通過調節兩個可調參數λ1和λ2，分別調整系統動態性能和抗干擾能力。設計的平臺偏轉系統的二自由度內模控制器，以x方向繞組為例，如圖2所示。

圖2 二自由度內模控制系統及其等效變換圖Fig.2 Two-Degree-of-Freedom Internal Model Control System and its Equivalent Transformation Diagram

如圖2所示的二自由度內模控制系統輸出Y（s）可表示為：

式中：Gp（s）—實際被控對象；Gm（s）—被控對象的數學模型；Q1（s）、

Q2（s）—二自由度的內模控制器，且滿足下式關系：

式中：F1（s）、F2（s）—低通濾波器。

當內部模型精確時，式（5）可寫成：

可知當內部模型Gm（s）準確描述被控對象Gp（s）時，則由Q1（s）決定系統輸入的跟隨性能，Q2（s）決定系統干擾的抑制性能。控制系統經等效變換后有：

式中：C1（s）、C2（s）—設定值濾波器、控制器。

此時系統輸出可表示為：

以控制動子繞y軸偏轉的x方向線圈為例，對延時環節e-τs做一階帕德近似。

被控對象傳遞函數Gp（s）可表示為：

選取低通濾波器：

式中：λ1、λ2—可調濾波器時間常數。

聯立式（8）、式（9）、式（11）、式（12）可求出設定值濾波器C1（s）和控制器C2（s）：

同理，可求y方向線圈的二自由度內模控制器。二自由度內模控制系統參數設置，如表1所示。

表1 偏轉系統參數Tab.1 Deflection System Parameters

4 仿真分析

4.1 摩擦干擾力矩仿真分析

基于MATLAB/SIMULINK平臺搭建LuGre模型仿真模塊，得到摩擦力矩曲線，如圖3所示。由摩擦力矩曲線可以看出，在摩擦干擾作用下，平臺內部摩擦力矩隨偏轉角速度的增長，呈現先減小后增大的非線性走向。未補償摩擦干擾的角速度跟隨曲線，如圖4所示。可以看出在摩擦力干擾作用下，平臺的偏轉角速度曲線在過零時存在0.2s的死區，與平臺啟動抖振等實際現象相符。

圖3 摩擦力矩曲線Fig.3 Curve of Friction Torque

圖4 未補償摩擦干擾的偏轉角速度曲線Fig.4 Curve of Deflection Angular Velocity Without Compensation of Friction

4.2 動態性能仿真分析

給定x方向洛倫茲磁軸承一個角度偏轉信號：在0.5s時刻，令動子從初始零位正向偏轉2°，3.5s時刻恢復至0°。二自由度內模控制真結果，如圖5所示。其中，a、b、c曲線分別對應設定值濾波器參數λ1為0.018、0.022和0.0105的情況（控制器參數λ2均設置為0.029）。圖5仿真結果表明，二自由度內模控制能較好的滿足控制系統的動態性能需求，其中，b曲線響應速度最快，但超調量較大，約為20%；c曲線無超調，但響應時間較慢。相比b和c曲線，a曲線響應速度較快僅為0.1s，且超調量較小，說明λ1取0.018時能更好地符合平臺控制需求。

圖5 響應速度仿真圖Fig.5 Simulation Diagram of Response Speed

4.3 抗干擾能力仿真分析

對平臺控制系統施加一個頻率為1Hz的角度擾動：在2s時刻開始作用的2sin（2πt）°正弦信號。二自由度內模控制系統的抗干擾能力，如圖6所示。其中，其中，a、d、e曲線分別對應控制器參數λ2為0.029、0.035和0.04的情況（設定值濾波器參數λ1均設置為0.018）。由圖6仿真結果表明，在2sin（2πt）°的干擾信號作用下，a曲線將2°擾動量衰減為2×10-3°，干擾殘余量為原干擾的0.1%，約為d曲線（λ2為0.035）的71%和e曲線（λ2為0.04）的58%，具有更強的抗干擾能力。綜合上述二自由度內模控制仿真結果可知，通過分別設置設定值濾波器參數λ1和控制器參數λ2，可實現平臺偏轉控制系統的動態性能和抗干擾能力獨立調節。

圖6 抗干擾能力仿真圖Fig.6 Simulation Diagram of Anti-Interference Ability

5 結論

（1）為準確描述洛倫茲減搖穩定平臺非線性摩擦特性，在建模過程中引入LuGre摩擦模型，為平臺的摩擦參數辨識和控制器設計奠定了基礎。（2）基于內模控制思想，設計了平臺的二自由度內模控制方案。通過調整控制器參數λ1和λ2，可實現對控制系統動態性能和抗干擾能力的獨立調節。（3）這里提出的二自由度內模控制方案，經參數整定后，控制系統響應速度約為0.1s，擾動量衰減為原來的0.1%，能較好的滿足洛倫茲減搖穩定平臺的控制需求，對實際工程應用具有理論指導意義。