利用本地頻率線性分量的電力系統(tǒng)功率缺額估計方法

秦穎婕，李文博，伍雙喜，李佳朋，譚嫣，李宇駿

（1. 廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力調(diào)度控制中心，廣州 510060；2. 西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，西安 710049）

0 引言

近年來，新能源發(fā)電以其清潔、可再生等優(yōu)勢得到了大力發(fā)展，隨著電力電子換流器型電源（converter-interfaced generators，CIGs）占比的提升，電網(wǎng)的慣量水平不斷下降，頻率穩(wěn)定問題日漸突出［1-3］。換流器型電源具有控制靈活、響應(yīng)迅速的優(yōu)點，利用這一特點可以快速調(diào)整換流器型電源的出力，減少系統(tǒng)中功率缺額，從而降低系統(tǒng)頻率偏移、提升系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性［4-6］。為實現(xiàn)這種控制結(jié)構(gòu)，需要開展系統(tǒng)功率缺額的快速估計。系統(tǒng)功率缺額可以通過系統(tǒng)總慣量乘以慣量中心（center of inertia，COI）頻率變化率獲得，在系統(tǒng)總慣量已知的情況下，系統(tǒng)功率缺額估計依賴于COI頻率變化率（rate of change of frequency，ROCOF）的快速計算。

COI 頻率可以通過許多方法獲得，主要分為兩類：單機(jī)等值模型法和多機(jī)模型法。傳統(tǒng)的單機(jī)等值模型將原始多機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行單機(jī)等值聚合，僅用平均頻率近似描述系統(tǒng)的動態(tài)過程。文獻(xiàn)［7］對各發(fā)電機(jī)頻率按其慣性常數(shù)做加權(quán)平均，提出了系統(tǒng)平均頻率模型（average system frequency，ASF）。文獻(xiàn)［8］將ASF 模型擴(kuò)展至含頻率控制的風(fēng)力機(jī)組，并計及了負(fù)荷的頻率與電壓特性。為簡化分析，文獻(xiàn)［9］將系統(tǒng)內(nèi)所有發(fā)電機(jī)調(diào)速器等值為單臺調(diào)速器特性，提出了系統(tǒng)頻率響應(yīng)模型（system frequency response，SFR），并導(dǎo)出了系統(tǒng)頻率的解析表達(dá)式?；赟FR 模型，文獻(xiàn)［10］提出了自適應(yīng)低頻減載方法，實現(xiàn)了功率缺額的快速估算與功率缺額在所有切負(fù)荷輪次間的合理分配。文獻(xiàn)［11］進(jìn)一步考慮了系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)備用容量、負(fù)荷頻率特性等因素的影響，提出了改進(jìn)的SFR 模型，提高了系統(tǒng)功率缺額的計算精度。文獻(xiàn)［12］考慮風(fēng)機(jī)參與調(diào)頻，推導(dǎo)了風(fēng)機(jī)運(yùn)行在減載和最大功率跟蹤方式下系統(tǒng)的單機(jī)等值頻率模型。采用單機(jī)等值模型法估算系統(tǒng)功率缺額時，認(rèn)為任意母線測量頻率可近似替代系統(tǒng)頻率，這一假設(shè)忽略了系統(tǒng)暫態(tài)過程中多機(jī)間轉(zhuǎn)子的搖擺，可能使功率缺額估算不準(zhǔn)確，甚至?xí)?dǎo)致預(yù)測不平衡功率方向的錯誤。

多機(jī)模型法考慮了發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子間的相對搖擺和頻率在空間中的分布特性，現(xiàn)在已經(jīng)成為研究這一問題的主流方法。文獻(xiàn)［13］采用慣量中心坐標(biāo)建立模型，通過多機(jī)系統(tǒng)的仿真軌線獲得關(guān)鍵系頻率特性參數(shù)，彌補(bǔ)了單機(jī)等值模型法的局限性。文獻(xiàn)［14-15］利用廣域測量測得的發(fā)電機(jī)相關(guān)電氣量數(shù)據(jù)，使功率缺額的估算不依賴于數(shù)值仿真。文獻(xiàn)［16-17］通過廣域測量系統(tǒng)測得系統(tǒng)中少部分特定母線的頻率，再通過這些信息估計COI頻率。文獻(xiàn)［18］考慮了風(fēng)機(jī)的虛擬慣量對COI頻率的影響，進(jìn)一步提升了功率缺額估計的精度和魯棒性。但是，此類方法不僅需要通信，而且廣域測量數(shù)據(jù)不一定能保證系統(tǒng)完全能觀，會導(dǎo)致估計的功率缺額不準(zhǔn)確。為了克服這些問題，國內(nèi)外學(xué)者開始探索通過本地頻率快速估計慣量中心頻率，文獻(xiàn)［19］指出本地頻率在其拐點處與COI頻率近似相等，然而這一性質(zhì)只在兩機(jī)系統(tǒng)中得到證明。類似地，文獻(xiàn)［20］提出了基于本地頻率偏移面積的功率缺額估算方法。前一種方法需要等待兩個頻率拐點，后一種方法需要較長的時間窗才能滿足精度要求，這兩種方法耗時較長，因此并不適合系統(tǒng)功率缺額的快速估計。

本文聚焦于基于本地測量信息的COI頻率估算方法。首先，證明了在系統(tǒng)受擾初期，本地頻率變化量的線性分量與COI 頻率變化量相等這一性質(zhì)。然后，基于最小二乘擬合提取本地頻率變化量線性分量實現(xiàn)了快速的功率缺額估計。最后，在新英格蘭39節(jié)點測試系統(tǒng)上驗證了所提方法的有效性。

1 多機(jī)系統(tǒng)線性化模型

1.1 COI頻率與系統(tǒng)不平衡功率

在一個有n臺發(fā)電機(jī)的電力系統(tǒng)中，描述每臺發(fā)電機(jī)動態(tài)行為的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程可以表示為：

式中：Hi為第i臺發(fā)電機(jī)的慣量時間常數(shù)；ωi為第i臺發(fā)電機(jī)的角速度；ωB為系統(tǒng)的基準(zhǔn)頻率；δi為第i臺發(fā)電機(jī)的功角；Pmi和Pei分別為第i臺發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率和電磁功率標(biāo)幺值；n為發(fā)電機(jī)數(shù)量。在標(biāo)幺制下，角速度與頻率的大小相等，下文中將用發(fā)電機(jī)頻率代指角速度。為了便于描述多機(jī)系統(tǒng)在受擾后的動態(tài)行為，常在慣量中心坐標(biāo)下進(jìn)行建模分析。將系統(tǒng)內(nèi)所有發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程中的第一式相加，可得COI搖擺方程為：

式中：HCOI為系統(tǒng)總慣量；ωCOI為慣量中心頻率，其定義為：

在系統(tǒng)受擾初期，可以認(rèn)為調(diào)速器還未啟動，發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率不發(fā)生變化。因此，將式（2）改寫為如下形式。

式中：ΔωCOI為COI 頻率變化量；Pd為系統(tǒng)功率缺額。將式（3）左右兩邊同時從0~t時刻進(jìn)行積分，可得：

式中：Δωi為第i臺發(fā)電機(jī)的頻率偏差。式（4）表明，COI 頻率變化量與系統(tǒng)不平衡功率及系統(tǒng)總慣量有關(guān)，且在系統(tǒng)受擾初期呈線性變化。

1.2 多機(jī)系統(tǒng)線性化模型

本文主要關(guān)注系統(tǒng)受擾初期的動態(tài)行為。首先，將所有負(fù)荷等效為阻抗，并入節(jié)點導(dǎo)納矩陣中，使用Kron 節(jié)點消除技術(shù)消除網(wǎng)絡(luò)中除去發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢節(jié)點外的所有節(jié)點［21-22］，消除后的節(jié)點導(dǎo)納矩陣記為Y。對于發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢節(jié)點，其節(jié)點注入功率與節(jié)點注入電流及節(jié)點電壓之間的關(guān)系為：

各節(jié)點注入電流可由節(jié)點電壓方程計算。

式中Y=。

將式（6）取共軛后代入式（5）可得：

式中：下標(biāo)i、j為發(fā)電機(jī)的序號；Yij為導(dǎo)納矩陣Y第i行j列的元素；Qei為發(fā)電機(jī)i注入電網(wǎng)的無功功率。電壓向量用極坐標(biāo)形式表示為：

式中：Ei和δi分別為發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢電壓的有效值與相角，并且該電壓相角等于發(fā)電機(jī)功角。將導(dǎo)納矩陣中的元素用直角坐標(biāo)的形式表示。

則式（5）可以寫為：

對式（10）使用歐拉公式，并進(jìn)行虛實部分離，則在擾動發(fā)生前，系統(tǒng)中各臺發(fā)電機(jī)的電磁功率可以由式（11）給出。

式中：Ei、Ej分別為第i臺、第j臺發(fā)電機(jī)的內(nèi)電勢；Gij和Bij分別為發(fā)電機(jī)i、j之間的轉(zhuǎn)移電導(dǎo)和轉(zhuǎn)移電納；δij為發(fā)電機(jī)i、j的功角差。通過泰勒展開將上式線性化，可得：

式中：δij（0）為發(fā)電機(jī)i、j的功角差初始值；Δδij為發(fā)電機(jī)i、j功角差的變化量。根據(jù)式 （12），可得每臺發(fā)電機(jī)的電磁功率變化量為：

式中：

式中：Pei（0）為電磁功率的初值，在穩(wěn)態(tài)時該值等于發(fā)電機(jī)的機(jī)械功率。

聯(lián)立式（1）和式（13）可得：

記為：

式（15）中矩陣A（0）含有2n個特征根。一般來說，如果忽略發(fā)電機(jī)阻尼，系統(tǒng)正常運(yùn)行時矩陣A（0）有兩個零根、n-1 對共軛復(fù)根［23］。其中一個零根是由式（16）引起的。

另一個零根則是由忽略系統(tǒng)阻尼引起的。通過選取一臺機(jī)作為參考，可以消去這兩個零根，不妨假設(shè)第n臺機(jī)為參考機(jī)。將式（15）的前n-1行與第n行相減，構(gòu)造新的狀態(tài)向量，式（15）可化為2n-1階微分方程，并消去其中一個零根，化簡后的微分方程如式（17）所示。

式中：

將式（17）第n行到第2n-2 行與第2n-1 行相減，構(gòu)造新的狀態(tài)向量，式（17）可化為2n-2 階微分方程，消去另外一個零根，化簡后的微分方程如下。

式中 ：A的表達(dá)式如式（18B）所示；x=[Δδ1n…。

2 基于本地頻率的功率缺額快速估計方法

系統(tǒng)發(fā)生線路故障、發(fā)電機(jī)脫網(wǎng)等事故時，會產(chǎn)生功率缺額?？焖俟浪愎β嗜鳖~可以評估事故規(guī)模，并指導(dǎo)頻率穩(wěn)定控制。現(xiàn)有功率缺額估算方法大都依賴通信以獲取系統(tǒng)慣量中心頻率，存在通信延時且可靠性較低。針對這一問題，本節(jié)提出了基于本地頻率信息的系統(tǒng)功率缺額估算方法。

2.1 本地頻率線性分量性質(zhì)

在系統(tǒng)受擾后，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變使得發(fā)電機(jī)的電磁功率產(chǎn)生突變并與機(jī)械功率產(chǎn)生偏差，即Pe（i0）≠Pm（i0）。因此，式（18）可以重寫為：

對式（19）求一階導(dǎo)使得原微分方程齊次化。

由于發(fā)電機(jī)的功角和轉(zhuǎn)速均不能突變，因此x的初值為零?；谑剑?9），x?的初值為：

為了求解微分方程初值問題式（20）、（21），構(gòu)造如下的線性變換。

式中：XR∈C2(n-1)×2(n-1)為由矩陣A的所有右特征向量構(gòu)成的矩陣。基于式（22）和（20），可得：

式中：λ1，λ2， ???，λ2n-2為矩陣A的特征值。由于狀態(tài)變量z中各分量解耦，式（23）中含有2n-2 個獨立的一階線性微分方程，易得式（23）的解為：

基于式（22）和（23），原方程的解為：

矩陣A有n-1 對共軛復(fù)根，對應(yīng)著系統(tǒng)的n-1個機(jī)電模式。根據(jù)式（25），各發(fā)電機(jī)頻率變化量與參考機(jī)頻率變化量之差均可表示為n-1 個機(jī)電模式的線性組合。

式中：c2，k為第k個振蕩模式的振蕩頻率；c1，ik和c3，ik分別為第k個振蕩模式在Δωin中正、余弦分量的幅值。

將式（26）中第i個方程乘以Hi，然后再將這n-1個方程相加可得：

式（27）左右兩端同時除以HCOI，并將式（4）代入，則第n臺機(jī)的頻率變化量為：

類似地，選擇不同的發(fā)電機(jī)作為參考機(jī)，每臺發(fā)電機(jī)的頻率變化量都可以被表示為：

式中：c4，ik和c5，ik分別為第k個振蕩模式在Δωi中的幅值和相位。由式（29）和式（4）可知，本地頻率變化量的線性分量與COI頻率變化量相等。

根據(jù)前文所述，在電力系統(tǒng)中，本地頻率變化量的線性分量與擾動后一段時間內(nèi)的COI頻率變化量相等。基于這一性質(zhì)，通過提取任意本地頻率的線性分量，可以快速獲取COI頻率變化率并實現(xiàn)系統(tǒng)功率缺額估計。

2.2 基于最小二乘擬合的系統(tǒng)功率缺額估計方法

通過最小二乘擬合，可以提取任意本地測量頻率的線性分量。具體來講，需要構(gòu)造一個擬合函數(shù)p(x)，作為定義在點集X={x1，x2， ???，xm}上列表函數(shù)f(x)的近似表達(dá)式，并使得擬合函數(shù)與原列表函數(shù)的誤差在某種意義上達(dá)到最小。最小二乘擬合技術(shù)以誤差二范數(shù)平方為衡量指標(biāo)，用這種方式求得的擬合函數(shù)在每個點上與原列表函數(shù)的距離di=p(xi)-f(xi)的平方和最小。

令｛（t1，y1），（t2，y2），···，（tm，ym）｝為采樣得到的本地頻率變化量的時間序列。由式（29）可知，本地頻率變化量的線性分量可通過求解以下優(yōu)化問題獲得。

式 中 ：t=[t1，t2， ???，tm]T，y=[y1，y2， ???，ym]T為采樣序列，k，ai，bi，ci，i∈{1，2...n-1}為決策變量。式（30）是一個非線性優(yōu)化問題，可以使用梯度下降算法進(jìn)行求解。梯度下降是迭代法的一種，可以用于求解非線性最小二乘擬合問題，其主要思想是沿著函數(shù)梯度下降的方向進(jìn)行搜索，經(jīng)過多步迭代后收斂到函數(shù)最小值附近，因其簡單、求解效率高等優(yōu)點，已成為求解無約束優(yōu)化問題時最常采用的方法之一。

根據(jù)式（4），在系統(tǒng)慣量已知的情況下，系統(tǒng)的功率缺額估計由下式給出。

式中?為由式（30）得到的COI頻率變化率。

3 算例分析

為了驗證所發(fā)現(xiàn)特性的正確性和所提系統(tǒng)功率缺額估計方法的有效性，在新英格蘭39 節(jié)點系統(tǒng)上進(jìn)行了測試。該系統(tǒng)額定頻率為60 Hz，容量基準(zhǔn)值為100 MVA，總裝機(jī)容量為7 367 MW，總有功負(fù)荷為6 254.2 MW，負(fù)荷模型分別采用恒阻抗與恒功率模型。系統(tǒng)拓?fù)淙鐖D1 所示。測試系統(tǒng)的詳細(xì)參數(shù)可參見文獻(xiàn)［24-25］。

圖1 新英格蘭39節(jié)點系統(tǒng)拓?fù)涫疽鈭DFig.1 Sketch diagram of New England 39-bus system

首先，負(fù)荷模型采用恒阻抗模型。圖2 為0 時刻時節(jié)點21 處發(fā)生負(fù)荷突增，系統(tǒng)產(chǎn)生3.6 p. u.有功功率缺額時各發(fā)電機(jī)的頻率響應(yīng)。從圖1 可以看出，在擾動發(fā)生后1 s 內(nèi)，COI 頻率呈線性下降，每臺發(fā)電機(jī)的頻率均在COI頻率附近振蕩。

圖2 負(fù)荷突增后測試系統(tǒng)頻率響應(yīng)Fig.2 Frequency response of the test system following a sudden load increase

本文所提的快速功率缺額估計中，時間序列的采樣頻率為1 kHz，時間窗長為0.8 s。7 號發(fā)電機(jī)的動態(tài)響應(yīng)如圖3 所示。從圖中可以看出通過擬合得到的本地頻率（黑色虛線）非常接近實際本地頻率（綠色實線），通過求解式（30）提取的本地頻率的線性分量（橙色虛線）幾乎與COI 頻率（紅色實線）相等。

圖3 負(fù)荷突增時7號發(fā)電機(jī)頻率響應(yīng)Fig.3 Frequency response of SG7 following a sudden load increase

除此之外，文獻(xiàn)［19］通過本地頻率每兩個相鄰拐點的連線來近似COI 頻率曲線，其估計結(jié)果（紫色實線）如圖3 所示。采用該方法估算的COI 頻率與實際COI頻率的偏差較大。如果連接之后的相鄰拐點，甚至?xí)a(chǎn)生錯誤的結(jié)果。

表1展示了節(jié)點24處負(fù)荷有功功率突增時，系統(tǒng)功率缺額估計結(jié)果。

表1 節(jié)點24負(fù)荷突增時的系統(tǒng)功率缺額估計結(jié)果Tab.1 System power deficit estimation result following a sudden load increase at bus No.24

如表1 所示，不同發(fā)電機(jī)節(jié)點估算的功率缺額與真實值的誤差基本在10%以內(nèi)。估計誤差的產(chǎn)生原因主要包括兩個方面：1）分析模型中線性化引入的誤差；2）忽略受擾初期機(jī)械功率變化引入的誤差。值得注意的是，進(jìn)行功率缺額估計的主要目的是為快速調(diào)節(jié)新能源出力提供依據(jù)，減小功率缺額，從而降低頻率偏移，現(xiàn)有方法均不能精準(zhǔn)補(bǔ)償功率缺額，但可以顯著改善頻率暫態(tài)特性。應(yīng)用于旨在為新能源調(diào)頻提供參考的快速不平衡功率估計時，估計誤差在可接受范圍內(nèi)。

負(fù)荷采用恒功率模型時，所提算法仍然能較為精確地估計有功功率缺額。圖4、圖5 分別為負(fù)荷采用恒功率及恒阻抗建模、節(jié)點15 處負(fù)荷有功突增導(dǎo)致系統(tǒng)中產(chǎn)生 3.0 p.u. 有功缺額時，9 號發(fā)電機(jī)的頻率響應(yīng)和擬合結(jié)果，該場景下所提算法誤差僅為約+6.24%和+5.51%。從圖4 和圖5 的對比中可以看出，所提算法對不同的負(fù)荷建模有較好的適應(yīng)性。

圖4 負(fù)荷突增時9號發(fā)電機(jī)頻率響應(yīng)（恒功率負(fù)荷）Fig.4 Frequency dynamic of SG9 following a sudden load increase （constant power load）

圖5 負(fù)荷突增時9號發(fā)電機(jī)頻率響應(yīng)（恒阻抗負(fù)荷）Fig.5 Frequency response of SG9 following a sudden load increase （constant impedance load）

圖6、圖7 分別為負(fù)荷采用不同模型，節(jié)點15處負(fù)荷突增導(dǎo)致系統(tǒng)中產(chǎn)生 5.0 p.u. 有功功率缺額時9 號發(fā)電機(jī)的頻率響應(yīng)和擬合結(jié)果。兩種情況下，所提方法的不平衡功率估計誤差分別為+1.38%和+4.45%，從擬合結(jié)果可以看出，該方法對不平衡功率大小有較好的適應(yīng)性。

圖6 負(fù)荷突增時9號發(fā)電機(jī)頻率響應(yīng)（恒功率負(fù)荷）Fig.6 Frequency response of SG9 following a sudden load increase （constant power load）

圖7 負(fù)荷突增時9號發(fā)電機(jī)頻率響應(yīng)（恒阻抗負(fù)荷）Fig.7 Frequency dynamic of SG9 following a sudden load increase （constant impedance load）

表2為負(fù)荷采用恒功率模型、節(jié)點15處負(fù)荷突增并產(chǎn)生-3.887 p. u. 實際有功缺額時由各發(fā)電機(jī)頻率估計所得的有功功率缺額估計結(jié)果，此場景下不同發(fā)電機(jī)處估計的功率缺額與真實值的誤差仍然在10%以內(nèi)。如表1—2 所示，由各發(fā)電機(jī)頻率估計所得的功率缺額與實際值的平均誤差為-4.51%，該方法具有很高的應(yīng)用價值。

表2 節(jié)點15負(fù)荷突增時的系統(tǒng)功率缺額估計結(jié)果Tab.2 Estimation result of system power deficit following a sudden load increase at bus No.15

此外，當(dāng)系統(tǒng)功率過剩時，所提方法仍能較好的估計出過剩功率的大小。圖8所示為0時刻節(jié)點15處負(fù)荷突降，系統(tǒng)中產(chǎn)生2.9 p.u. 有功過剩時所有發(fā)電機(jī)的頻率響應(yīng)。從圖8 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)中存在功率過剩時，在擾動后1 s內(nèi)COI頻率基本呈線性上升，每臺發(fā)電機(jī)的頻率均在COI頻率附近振蕩。

圖8 負(fù)荷突降后測試系統(tǒng)頻率響應(yīng)Fig.8 Frequency response of the test system following a sudden load decrease

該場景下6號發(fā)電機(jī)的頻率響應(yīng)如圖9所示。

圖9 負(fù)荷突降時6號發(fā)電機(jī)頻率響應(yīng)Fig.9 Frequency response of SG6 following a sudden load decrease

從圖9 可以看出，擬合曲線與本地頻率曲線基本重合；6 號發(fā)電機(jī)頻率曲線中提取出的線性分量斜率為1.782×10-3p.u./s，與慣量中心頻率變化率十分接近。所提方法也適用于系統(tǒng)中存在功率過剩時的不平衡功率估計。

4 結(jié)語

本文首先證明了在系統(tǒng)受擾初期所有發(fā)電機(jī)頻率變化量的線性分量與COI頻率變化量相等。利用這一性質(zhì)，提出了一種基于本地頻率的系統(tǒng)功率缺額估計方法。

該算法利用最小二乘擬合提取本地頻率的線性分量，實現(xiàn)了無需實時通信的快速系統(tǒng)功率缺額估計，有利于充分利用CIGs 的快速功率調(diào)節(jié)能力，提高系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性。最后在新英格蘭39 節(jié)點測試系統(tǒng)上證明了該方法的有效性。