基于數字孿生技術的金屬裂紋擴展預測研究

雷顯席， 周 虹， 楊 光

（上海工程技術大學航空運輸學院， 上海 201620）

0 引 言

金屬在加工與使用期間，其自身結構表面或者內部產生的裂紋，將導致工程事故的發生，從而造成重大的經濟損失，甚至人員傷亡。 所以，在結構受到一些復雜應力影響的同時，能夠及時檢測服役工件對使用零件造成安全因素至關重要。 飛機機身壁板結構的廣布疲勞損傷（Wide-spread Fatigue Damage， WFD）是飛機結構重要的失效形式之一，嚴重威脅著飛機服役的安全性和可靠性。 如：1988 年阿羅哈航空公司一架波音737 型客機，增壓艙縱向蒙皮搭接結構處的鉚釘孔發生了不可檢出的多部位損傷裂紋，這些裂紋在飛機飛行過程中相互連通，從而導致事故發生，嚴重威脅著飛機和乘客安全［1］。 由于在檢測裂紋中存在很多精準問題，并且還不可提前預知，因而存在許多不可預防的問題。 如果裂紋損傷未能及時被發現，則可能因裂紋不受控擴展導致機身結構破壞、延長試驗周期。 因此，在飛機結構疲勞試驗中實現早期裂紋的精確檢測十分關鍵［2］。 隨著數字孿生技術的發展，可以實現以代理模型來預測現實金屬中存在裂紋擴展的方法，并以實時數據不斷提高代理模型預測裂紋的精度。

1991 年，數字孿生技術被首次提出， 2010 年美國宇航局的約翰·維克斯引入了一個新術語——數字孿生。 數字孿生是指用數字化信息表示現實存在的物理世界，同時能夠與物理世界同步映射，以及模擬運行系統的整個生命周期［3］。 數字孿生技術發展之中具有越來越多的可研究性，數字孿生最大的作用就是幫助制造業簡化流程效率，提升運作精確度，提前演練發現問題等。 本文主要以金屬材料裂紋來預測壽命為應用背景，探討飛機結構數字孿生的概念、內涵與關鍵技術。

在工程問題的研究過程中，隨著各種仿真軟件功能的不斷增強增多，應用領域不斷擴大，處理的對象也越來越復雜。 對問題進行離散化是一種常見且有效的數值逼近方法，但經過離散化處理后的系統階數通常都非常大，給計算機的存儲、數值運算、系統控制設計帶來了很大的困難，為此降階模型技術應運而生。

模型降階的作用是降低數值模型（ODEs）的階數，從而實現從高階降階到一個低階模型，這樣更有利于數字孿生中對代理模型的預測速度，并加速模型的求解速度。 基于機器學習的模型降階方法，具有很大的發展潛力。 如今分類化的機器學習算法流行于預測系統的概率性驗證，使得基于數字孿生技術再加入機器學習算法，對評估被測物體壽命進行概率分析，從而實現了數字孿生高保真的重要性。

近年來，深度神經網絡（Deep Neural Networks，DNNs）已成功應用于語音識別、計算機視覺及圖像分析等領域，伴隨著深度學習領域的逐步發展［4］，各種深度學習方法也逐漸應用于數字孿生預測領域的降階環節。 如：長短期記憶網絡、卷積神經網絡（Convolutional Neural Net-work，CNN）等都展現出較大的應用潛力。在基于降階的數字孿生高效建模技術方面，簡化模型法、基于投影的方法和數據擬合方法都發揮著重要作用。 未來需要重點研究如何從積累的大量數據中提取有用信息，實現降階模型的自適應更新［5］。

1 基于數字孿生技術的金屬裂紋擴展預測

本文選取金屬鋁板單元作為研究對象，采用多類傳感器對現實實物工況關鍵部位進行載荷數據、幾何參數等實時數據獲取，構建特征點的應變數據與裂紋初始部位的應力關系，將得到的載荷數據、飛行參數與結構應力輸入到ABAQUS 有限元軟件中進行參數化建模，利用ABAQUS 軟件二次開發自研程序，分析建模腳本；調用參數化建模程序建立不同長度裂紋與所受不同載荷的幾何模型；使用腳本接口，通過內核腳本可以實現前處理建模和后處理分析計算結果。用ABAQUS 二次開發建模，建立機翼關鍵部位斷裂力學仿真模型，機翼與裂紋模型、賦予材料特性、裝配裂紋與局部關鍵部位、施加載荷、采用擴展有限元功能并劃分網格，根據采集到的結構受力載荷與飛機機翼裂紋參數，輸入進斷裂力學仿真模型，求得不同外部環境參數下，裂紋的斷裂力學參數，并建立斷裂模型的應力強度因子數據庫。 確定數字孿生數據庫的輸入層，將輸入層的數據預處理參數［X1、X2、X3，…，Xn］ 輸入進隱藏層，也就是LSTM 網絡。 裂紋采用深度學習中長短期記憶網絡（LSTM），提取出裂紋擴展路徑歷史特征逐層訓練，將上一層隱藏層LSTM 神經元的輸出作為下一層隱藏層LSTM 神經元的輸入，并預測出下一時間步長的裂紋擴展路徑，將LSTM 網絡中處理的應力因子強度作為輸出層，得到載荷參數和模型中每一尖端應力強度因子。 最后，從在線數據中提取數據來更新降階模型。 通過參數自更新算法，讓LSTM 網絡系統更好的適應系統狀態的非預期變化，從而實現數字孿生體自適應動態降階模型的建立。基于數字孿生金屬裂紋擴展預測流程如圖1 所示。

圖1 基于數字孿生金屬裂紋擴展預測實現流程Fig. 1 Flow chart of realization of metal crack growth prediction based on digital twin

2 金屬裂紋擴展過程動態仿真

2.1 裂紋動態擴展演化過程理論

本文采用擴展有限元理論，通過水平集函數適時定位裂紋位置，根據應力計算結果并采用J積分，求得裂尖的應力強度因子。 得到應力強度因子后，通過最大周向應力準則，求得下一步的裂紋擴展方向角。

水平集方法（level set method）是一種計算界面運動和跟蹤斷裂演化路徑的有效數值方法［6］。 其原理是將隨時間變化的物質界面定義為函數φ（x，t） 的0 等值線（面），在時刻t求出φ（x，t） 的值，計算出等值面的位置，即可確定物質界面的位置，將t演化為裂紋擴展步數。 裂紋水平集函數為φ（x），是裂紋曲線L的符號距離函數，即φ（x） 的值是點x到曲線的最短距離，其表達形式如下：

求解應力強度因子是判斷裂紋下一步擴展方向的關鍵，本文實驗應用Rice 提出的J積分法計算應力強度因子。 由于實驗是二維裂紋擴展，即KⅢ＝0，用J積分方法可以推出應力強度因子的值，其關系式為

應力強度因子的解析解為：

其中，β為裂紋角；σ為載荷；α為初始裂紋長度的一半，斷裂角θ與裂紋角β關系為

本文預測金屬裂紋是以最大周向應力準則作為理論依據，即裂紋是從裂尖開始，沿著最大周向應力的方向擴展。 通過經典斷裂力學理論得知，裂紋下一步擴展的方向角為

將帕里斯公式的兩端采取積分變形，以此推出選取的金屬材料裂紋擴展模型的壽命預測。

得到不同時間步中裂紋尖端應力強度因子的變化。 在帕里斯公式中，積分的上下限分別為最終與初始的裂紋長度。 其中，金屬鋁塊在帕里斯公式中的m一般在0.2～0.5 之間取值。 經過壽命計算公式可知應力與壽命預測之間的關系，得到在恒定應力下，隨著初始裂紋長度的增加，金屬鋁塊被測材料的壽命會越小。 裂紋擴展過程中的應力云圖如圖2 所所示。

圖2 裂紋擴展過程Fig. 2 Crack propagation process

本文對金屬頂端施加等時間序列的靜力特性載荷，每0.05 個時間單位施加一次，共施加20 次，

基于建立的鋁塊幾何模型，靜力通用載荷施加為9 GPa。 如圖3 所示，直接施加等時間相隔序列為0.05 s的靜力通用載荷20 次的載荷循環次數，此時ABAQUS 后處理中的時間步數即為載荷循環次數。

2.2 裂紋動態擴展參數化建模

2.2.1 裂紋擴展建模實驗與數值分析

基于擴展有限元思想，以金屬鋁塊裂紋動態擴展機理為理論，利用ABAQUS 仿真軟件的二次開發技術，能更好的驅動FEM 與XFEM 兩種方法互相作用。 二次開發進行擴展有限元，具有極好的精確分析結果優勢，可將忽略不計的裂紋擴展過程中不連續場，都獨立在網格邊界處。

本文采用二次開發python 腳本編制后的程序，建立金屬板斷裂模型與計算，取長（L） 與高（H） 均為6 m，寬（W）為1 m 的金屬板模型；材料施加的靜力載荷為9 MPa，金屬板模型底端豎向約束，并通過Python 腳本程序進行了靜態裂紋和動態擴展裂紋的數值模擬。 python 腳本參數見表1。

2.2.2 裂紋擴展二次開發參數化建模

快速預測結構的損傷狀態，是數字孿生技術對壽命管理的關鍵要素。 在對結構化的數字孿生預測中，一些復雜幾何建模以及一些疲勞參數的設置，需要用二次開發得到的數字孿生數據庫來建立代理模型，然后采用降階技術得到最終的降階代理模型代替物理仿真進行預測。

如圖4 所示，鋁塊在被載荷施加后裂紋會隨著時間變化而拉伸。

圖4 Abaqus 鋁塊裂紋仿真圖Fig. 4 Abaqus aluminum block crack simulation diagram

二次開發過程是一種對仿真模型的循環優化，將模型導入，來提取數據結果；根據外部數據處理得到新的參數輸入結果，來更新模型的一種后處理過程。 二次開發步驟如下：

（1）獲得金屬裂紋長度與金屬板頂部載荷，作為用戶選擇輸入參數。

（2）根據應力應變信息、時間步長、邊界條件、是否自動提交分析、材料參數等調用庫作為輸入參數。

（3）根據參數輸入進行提交分析，得到初始的應力強度因子，并不斷的進行單元循環。

（4）根據增加單元數與積分點循環提取裂紋尖端的信息，計算對交互積分的貢獻值，來判斷是否是最后一個單元或者最后一個積分點，并得到新的應力強度因子。

（5）判斷是否自動提交分析，然后獲取目標數據、匯總處理，最后生成模型文件。

ABAQUS 高精度仿真軟件的二次開發主要是依據Python 腳本語言實現各個庫的調用作為參數設置建模的工具，使之建立鋁板有限元模型。 此外，還可以更改一些參數，比如鋁板幾何模型、復雜材料以及載荷輸入屬性等，不斷進行裂紋單元循環，判斷是否自動提交分析，然后獲取目標數據、匯總處理，最后生成模型文件。

如圖5 所示，選取9 個裂紋節點進行分析，可以看出初始裂紋長度與金屬裂紋尖端應力強度因子大小的關系。

圖5 應力強度因子與初始裂紋長度在不同靜力載荷施加下的關系曲線Fig. 5 Curve of the stress intensity factor vs. the initial crack length under different static loads

3 基于深度學習的裂紋擴展代理模型建立

3.1 長短期記憶網絡（LSTM）原理

深度學習的長短期記憶（Long Short Term Memory，LSTM）的網絡結構，主要解決RNN 僅可獲取較近的序列信息問題。

LSTM 網絡結構如圖6 所示，輸入門用來控制輸入i′(t) 進入量的多少，并判斷是否進入門的門控設備。 輸入門和輸入值的計算公式為：

圖6 LSTM 網絡結構圖Fig. 6 LSTM network structure diagram

式中：i′(t) 是當前t時刻的輸入值，W1、W2為單位1、2 之間的權重。

輸出門是控制某一時間狀態值（m（t）） 的門控設備，用以調整參數對外輸出值的多少，其計算公式為：

遺忘門接收一個長期記憶Ct-1，將上一個模塊傳過來的數據進行篩選，決定是否保留或遺忘。 其數學原理為：將接收的長期記憶Ct-1乘遺忘因子ft；ft是由短期記憶隱層處理狀態的ht-1和模型輸入事件Xt決定，其計算公式為

LSTM 神經元的計算過程可以用數學式表示為：

3.2 建立基于LSTM 裂紋擴展代理模型

LSTM 網絡作為可解決非線性及復雜網絡事件具有代表性的深度學習算法，本文將非深度學習算法（BP 神經網絡）對裂紋數據集得到的預測性能與深度學習算法（LSTM 網絡）進行對比。 將ABAQUS二次開發接口得到的兩輸入變量初始裂紋長度（0.4 ∶0.2 ∶2）與施加載荷（5e5 ∶1e4 ∶9.9e5 ∪1e6 ∶1e5 ∶5e6）的999 個樣本，劃分為初始裂紋長度（0.4 ∶0.2 ∶1.8）與施加載荷（5e5 ∶1e4 ∶9.9e5∪1e6 ∶1e5 ∶5e6）的888 個訓練樣本與初始裂紋長度（1.8 ∶0.2 ∶2）與施加載荷（5e5 ∶1e49 ∶9.9e5∪1e6∶1e5 ∶5e6）的111 個測試樣本。 BP 神經網絡與LSTM 網絡的預測結果如圖7、圖8 所示：

圖7 BP 網絡預測結果Fig. 7 BP network prediction results

圖8 LSTM 網絡預測結果Fig. 8 LSTM network prediction results

由此可見，LSTM 在預測時間序列數據方面表現出良好的效果，并可應用于裂紋擴展預測。 因此，本文提出了一種基于神經網絡結構LSTM 的鋁板裂紋預測模型。 該模型使用不同載荷與初始裂紋長度輸入下的應力強度因子作為使用數據進行訓練。 經過訓練和預測后，模型精度與傳統非深度學習BP神經網絡相比誤差最小。 因此，將LSTM 應用于裂紋擴展預測，可以顯著降低預測誤差，使需求響應系統更加高效。

如圖9 所示，利用LSTM 得到的樣本數據擬合效果及回歸預測均良好。

圖9 LSTM 網絡樣本回歸分析圖Fig. 9 LSTM network sample regression analysis diagram

但是，在數字孿生長期數據加載過程中，LSTM擴展后的關系范圍有限，并且無法并行計算，所以需要引入一種動態自適應，修正LSTM 學習參數系統，使之隨著數字孿生體數據增多從而實現動態降階。

3.3 裂紋擴展預測的數字孿生體降階自適應修正

實現基于數字孿生技術進行故障診斷，一般會應用在線階段產生的新樣本點，依據參數優化算法重構代理模型，從而實現數字孿生體的自適應動態降階功能。 其中包括基于智能空間搜索策略的自適應相應面代理模型構造方法［7］與高效全局優化方法（EGO）［8］，在誤差較大處增加樣本點，并更新代理模型。EGO 方法是利用近似函數來構造一種有效的全局優化算法。 EGO 法以隨機過程模型作為一個對線性回歸的修改，解決回歸的一些缺點。 觀察模型為

采用的參數加權距離公式為

使用加權距離函數， 可以求出x（i） 與x（j） 處點誤差之間的相關性：

對于復雜結構斷裂力學仿真中，難以產生大量數據來構建降階代理模型，在線學習中產生的新數據需要有足夠精度來重構降階代理模型。

4 預測結果與分析

本文選取均方誤差（MSE）、平均絕對誤差百分比（MAPE）、決定系數（R2）作為預測模型性能評估指標。

MSE值用于衡量期望值與真實值的誤差，若MSE值接近于0，則期望值更接近于實際值。 其表達式為

MAPE值不僅考慮期望值與真實值的誤差，而且設計誤差的占比，其公式為

決定系數R2是評價回歸模型擬合優良的標準，其值在（0，1） 之間變化，函數值越接近1，則模型擬合效果越好。R2的計算公式為

不同模型預測性能的效果對比結果見表2。

表2 不同模型預測性能結果對比Tab. 2 Comparison of prediction performance effects between different models

由表2 可見，基于MATLAB 軟件仿真結果顯示，LSTM 比BP 精度更高，3 個預測評價指標值相對較好，為進一步實現金屬裂紋擴展預測的數字孿生體自適應動態降階建立了良好的基礎。

表3 給出了各神經網絡參數最優組合結果，其中LSTM 網絡最優組合的參數分別設置為：神經元數為20，隱含層數分別為1 ∶1 ∶10，篩選神經元概率為0.3，迭代次數分別為2 500 次時，預測達到最佳收斂從而結束。

表3 神經網絡模型參數設置Tab. 3 Neural network model parameter settings

5 結束語

針對金屬作為某元件會產生裂紋從而影響結構安全性問題，提出了一種基于數字孿生技術的金屬裂紋擴展預測的方法。 利用ABAQUS 軟件二次開發接口構建裂紋參數的輸入和輸出映射關系得到數據，將得到的數據集進行訓練網絡，通過深度學習LSTM 對數字孿生體進行降階，同時根據誤差指標作為預測模型性能評估指標值，結果表明深度學習LSTM 網絡算法的預測精度達到不錯的效果。

本文僅選擇常用金屬材料鋁塊進行研究，在鋁塊元件含裂紋復雜結構中的精確仿真技術和傳感與嵌入式形成多線程獲取數據技術，來實現多尺度、多保真的模擬仿真系統。

進一步的研究工作，將在被監測物體應用環節形成的大量數據中提取必要信息，進行降階模擬結果的自適應改進，逐步提高數字孿生體的高保真性能，解決對數字孿生體代替實物高性能預測問題。