彈體侵徹超高性能混凝土反彈效應理論初探*

朱 擎，李述濤，陳葉青，馬 上

（軍事科學院國防工程研究院，北京 100036）

超高性能混凝土（ultra-high performance concrete, UHPC）具備超高的強度、良好的韌性和優越的耐久性能，近年來在防護工程中得以廣泛應用，使用超高性能混凝土建造的遮彈結構可以顯著減少鉆地武器的侵徹深度，有效抵御戰斗部爆炸時的破壞效應[1-4]?，F代戰爭使用的具有精確制導能力的鉆地武器，如美軍GBU 和JADM 系列導彈，其彈體形狀均為長桿狀彈身和尖卵形彈頭[5]。以往試驗發現，長桿狀卵形頭侵徹彈在侵徹超高性能混凝土后，尤其是侵徹深度較小，彈尾未完全進入靶體的情況下，易出現彈體反彈現象，即彈體在侵徹結束后產生與侵徹方向相反的速度，彈出靶體。

張文華等[3]針對超高性能混凝土材料開展了一系列縮比彈侵徹試驗和數值模擬研究，試驗中有部分彈體在侵徹后完全彈出侵徹坑外，數值計算給出的彈體速度和位移時程曲線也可以看出，彈體具有一定反彈速度，在達到最大侵徹深度后有明顯的反向運動趨勢；程月華等[6]在對裝甲鋼/超高性能混凝土復合靶開展抗侵徹性能研究時同樣發現，彈體侵徹過程速度時程曲線在侵徹結束后保持了恒定的反向速度，表明彈體侵徹結束后具有反彈現象。以往研究結果表明，彈體侵徹超高性能混凝土存在彈體反彈現象，但由于反彈速度較小且不易測量，以上文獻中并未對反彈現象進行深入研究。與侵徹著靶速度相比，反彈速度很小但不容忽略，因為反彈速度有可能使侵徹彈反彈至侵徹坑外。目前從國內外的文獻中，未發現以上彈體反彈效應研究的公開報道。

研究彈體反彈效應對工程防護和武器毀傷都有十分重要的意義。在工程防護角度，應增強彈體侵徹過程中的反彈效應，有可能在戰斗部延時引信未觸發的情況下，使鉆地彈反彈至較淺深度或遮彈結構外部爆炸，可以最大程度減小戰斗部爆炸的破壞效應；在武器毀傷角度，應盡可能減弱彈體反彈效應，使戰斗部在較大侵徹深度爆炸，充分發揮鉆地武器的破壞效應。因此彈體和遮彈結構設計均需考慮彈體侵徹后的反彈效應。

針對彈體侵徹超高性能混凝土后的反彈效應，本文分析彈體在侵徹和反彈過程中的受力狀態，基于空腔膨脹理論提出反彈效應產生的基本假設，以彈體彈性勢能和應力波傳播兩種理論為基礎，推導得到兩種反彈速度的解析解；通過數值模擬復現彈體反彈現象，驗證理論模型的合理性，量化分析解析解中各參數對反彈效應的影響。

1 彈體受力狀態分析

彈體侵徹速度對靶體破壞效應的影響非常顯著[7]，彈體侵徹半無限混凝土介質時，受力狀態隨侵徹速度和侵徹深度發生變化，可將彈體侵徹過程分為4 個階段。圖1 給出了彈體侵徹半無限混凝土介質時4 個階段的受力狀態。

圖1 彈體侵徹階段受力狀態Fig.1 Force state of projectile body in each stage of penetration

開坑侵徹階段：彈體以初速vi侵徹混凝土介質，靶體發生塑性流動變形，彈頭部分開始對靶體產生塑性擴孔，侵徹阻力隨著彈頭擴孔深度增大而上升。

隧道侵徹階段：開坑階段結束后，彈體在靶體中繼續侵徹，形成直徑不小于彈徑的侵徹隧道，彈體速度在侵徹阻力Fs作用下不斷下降，侵徹阻力穩定且隨速度下降而減小，彈靶接觸部分發生持續塑性擴孔侵徹。

反彈加速度階段：侵徹過程中，彈體在侵徹阻力的作用下產生一定的形變，因此在侵徹結束的瞬間，彈體累積的變形勢能開始釋放，彈頭與侵徹坑底部交界處為彈體彈性勢能釋放提供支撐力，回彈支撐力使彈體具有一定的反向加速度，當彈頭脫離侵徹坑底部時，加速階段結束，反彈速度達到最大。由此可見，彈體反彈的直接原因是彈靶交界面回彈力對彈體的作用。

反彈減速階段：彈體完全脫離侵徹坑底部后，沿侵徹隧道反向運動，在此過程中會受到壁面摩擦力和其他阻力f作用，反向運動速度不斷降低直至為零或從侵徹坑內彈出。

綜合以上分析可知，彈體在侵徹過程中積累的變形勢能釋放造成彈體反彈?；炷敛牧显谇謴剡^程中發生了塑性流動或是更加劇烈的狀態變化，侵徹后靶體可釋放的應變勢能較少；而彈體中金屬材料的韌性與混凝土材料相比較強，整個侵徹過程中均會積累可釋放的變形勢能，是導致彈體反彈的主因。下面嘗試對侵徹過程積累的變形勢能進行定量分析，研究彈體反彈機理和量化形式。

2 彈體侵徹半無限介質的侵徹阻力

2.1 基于動態空腔膨脹理論的侵徹阻力模型

Forrestal 等[8-10]針對應變硬化的彈塑性材料提出了動態球形空腔膨脹模型，給出了不可壓縮情況下的徑向應力無量綱表達式。Chen 等[11-12]根據空腔膨脹理論進一步推導出剛性彈侵徹過程中侵徹阻力表達式：

式中：d為彈體直徑；σy為靶材屈服強度；ρc為靶材密度；A和B為靶材的無量綱參數；v為彈體侵徹過程中的瞬時速度；N1和N2為與彈體頭部形狀和摩擦系數有關的無量綱系數，當忽略彈靶表面摩擦時（μm=0），N1=1。侵徹阻力由兩部分組成，其一為材料準靜態阻力部分（材料動強度項）AσyN1，其二為動態阻力部分（慣性項）Bρcv2N2。

2.2 侵徹阻力分析

式(1)給出的侵徹阻力由材料動強度項AσyN1和慣性項Bρcv2N2兩部分組成。對于以上兩項表達式在侵徹阻力中的作用，國內外學者做了大量研究和討論。Batra 等[13]在半球形剛性彈侵徹剛塑性靶板的數值模擬中發現，侵徹阻力中慣性項Bρcv2N2相比于材料動強度項AσyN1幾乎可以忽略；Forrestal 等[14-15]和Frew 等[16]通過試驗發現，當彈體撞擊速度小于600 m/s 時，侵徹阻力都呈現常阻力特征，即慣性項可以忽略；Rosenberg 等[17]研究了常阻力適用情況，給出了不同情況下常阻力適用的速度閾值條件。根據以上研究可知，彈體在800 m/s 以下的速度侵徹混凝土材料，慣性項影響非常小，侵徹阻力可等效為常阻力。陳小偉等[18]通過試驗發現，只采用材料動強度項來表征常侵徹阻力與真實侵徹阻力還有一定差異，根據實際試驗數據，給出了修正后的常侵徹阻力表達式：

圖2 中給出了實際侵徹阻力時程曲線、準靜態阻力Fs（只考慮材料動強度項）和等效常阻力Fc的示意圖[11]。從圖中可以看出，修正后的等效常阻力Fc與時間軸圍成的面積（沖量）與侵徹阻力時程曲線與時間軸圍成的面積近似相等，滿足等沖量準則，Fc比Fs稍大，數學表達式中可以看出二者相差因子π/4。

圖2 侵徹過程中彈體侵徹阻力時程曲線Fig.2 Time history curve of projectile penetration resistance during penetration

2.3 超高性能混凝土材料的侵徹阻力

超高性能混凝土（ultra-high performance concrete, UHPC）通過摻加高效減水劑實現極低的水泥比，摻加活性礦物提高密實度，并在高溫環境下養護成型。成型后的UHPC 材料單軸抗壓強度一般都超過120 MPa，下面針對超高性能混凝土材料的侵徹阻力進行討論。

根據式(1) 給出的侵徹阻力表達式，侵徹阻力與空腔膨脹理論中材料無量綱參數A和B有關。Forrestal 等[19]認為無量綱參數B主要依賴于靶體的可壓縮性，混凝土材料一般取B=1.0。材料動強度項AσyN1取決于混凝土材料的抗剪強度，AσyN1=Sfc，S為經驗常數，fc為混凝土無約束抗壓強度。Chen[20]給出了S與fc之間的經驗關系（S=82.6fc-0.544或S=72fc-0.5），但是對于大直徑彈體和普通強度混凝土（fc＜100 MPa），該經驗關系式并不能很好描述材料動強度項。Rosenberg 等[21-22]則針對侵徹混凝土常阻力的情況進行了研究，在考慮彈體尺寸效應的情況下，給出了侵徹常應力Rt和混凝土抗壓強度fc之間的經驗關系和常阻力表達式：

式中：D0為測量混凝土軸心抗壓強度的標準試件直徑，Dp為彈體直徑，fc?為考慮彈體尺寸效應后的混凝土換算強度，Rt為混凝土常侵徹應力。以往大量試驗數據表明該經驗關系對混凝土強度低于200 MPa 的情況均有較好的預測效果[21-22]。由此通過Rt可近似確定彈體侵徹超高性能混凝土過程中的材料動強度項AσyN1。

3 彈體反彈的理論模型

根據第1 節受力狀態分析可知，彈體反彈主要是由彈體變形勢能釋放造成的。本文針對彈體應變勢能單獨釋放造成彈體反彈的機理進行研究，將侵徹結束后的彈靶界面等效為不發生軸向位移的剛性邊界，下面從彈體自身變形角度出發，建立一維彈性桿彈性勢能模型和一維彈性波理論模型，求解反彈速度。

3.1 一維彈性桿彈性勢能模型

一般侵徹彈具有較大長徑比且由高強高模量金屬材料制成，可將其視作一維彈性桿，s、L、m、E、ρp分別為彈性桿的截面積、長度、質量、彈性模量和密度。為簡化分析過程，對該理論模型作出以下假設：

(1) 超高性能混凝土靶是半無限靶體，彈體具有足夠侵徹空間；

(2) 將彈體侵徹過程看作一個頭部受常侵徹阻力的一維彈性桿，只發生軸向彈性變形；

(3) 彈體侵徹過程中的侵徹阻力等效為常阻力形式：Fc=AσyN1d2。

圖3 給出了一維彈性桿彈性勢能模型示意圖。以桿自由端為原點，侵徹方向為x軸正方向建立坐標系，對彈性桿進行剛體運動分析[23]，彈性桿加速度a=-Fc/M，根據達朗貝爾原理，彈性桿沿軸向每一微元都受到與加速度方向相反的慣性力dFn作用，通過慣性力dFn的分布可求得桿軸向壓應力分布：

圖3 一維桿彈性勢能模型Fig.3 One-dimensional rod elastic potential energy model

式(9)表明彈體反彈速度大小主要取決于兩方面，一是靶體材料動強度項（表征靶體抗侵徹能力），二是彈體密度和剛度。靶體屈服強度越大，彈體密度和彈性模量越低，反彈效應越明顯。

3.2 一維彈性波模型

圖4 給出了一維彈性波模型示意圖，對模型作以下幾點假設：

圖4 一維彈性波模型Fig.4 One-dimensional elastic wave model

(1) 彈體在侵徹過程中看作一維彈性桿，桿中只傳播彈性波；

(2) 應力邊界假設—將彈體尾端視作自由邊界，邊界條件σ = 0；侵徹端看作穩定的侵徹應力邊界，該邊界反射后的波后應力幅值為侵徹應力σc。可根據式(1)給出的侵徹阻力確定：

圖5 給出了侵徹過程中彈性桿中彈性波的波系圖和相容關系，彈性桿初始狀態為桿中各質點速度為侵徹初速vi，應力為零，對應圖5(b) 中的狀態0；彈性桿頭部開始侵徹時，侵徹端產生左行的壓縮波，其波后應力達到侵徹應力的邊界條件σc，質點速度下降，對應圖5(b)中的狀態1；當彈性波到達尾部自由面反射右行拉伸波，右行波的波后應力達到自由面應力狀態σ=0，速度下降，對應圖5(b)中的狀態2；當右行波到達侵徹端再次發生反射，反射的左行波的波后應力達到侵徹應力邊界條件σc，速度下降，即達到狀態3；當左行波到達自由面再次發射，波后再次達到自由面邊界條件，即狀態4。依此類推，彈性波在自由面和侵徹端往復反射，波的多次反射作用使得桿中質點速度不斷下降，如圖5(b)所示。

圖5 彈性桿中彈性波波系圖及其相容關系Fig.5 The pattern of elastic wave system in elastic rod and its compatibility relation

由式(10)給出的侵徹端應力邊界條件可知，在彈性波往復反射作用過程中，侵徹端應力幅值σc會隨侵徹速度下降而降低，如圖5(b)所示。假設應力邊界幅值變化不會在彈性桿中產生新的波，僅使得每次侵徹端反射波后應力值下降。當彈性桿右端（侵徹端）速度下降為零時，彈性波在侵徹端發生最后一次反射，波后質點速度降為零，應力為σc=AσyN1。

圖6 給出了自由面最后一次反射的相容關系，當侵徹端最后一次反射波到達自由端時發生最后一次自由面反射，反射波波后介質應力降為零，而速度變為負值，表示波后介質出現了與侵徹方向相反的反彈速度vr，當右行波到達侵徹端時，彈靶界面在此刻分離，侵徹端應力降為零，不再發生波的反射，整個彈性桿具有反彈速度vr，整體變為零應力狀態。

圖6 彈體左端面最后一次反射的相容關系示意圖Fig.6 Schematic diagram of the compatibility relation of the last reflection of the left face of the projectile body

由左端自由面最后一次反射的相容關系式可確定反彈速度：

式(13)的形式與彈性勢能模型給出的結果相似（二者差異的原因在第5 節進行分析），反彈速度大小同樣取決于兩方面，一是靶體材料動強度項（表征靶體抗侵徹能力），二是彈體密度和剛度。靶體屈服強度越大，彈體密度和彈性模量越低，彈體反彈效應越明顯。

4 數值模擬驗證

4.1 數值模型及參數驗證

為了保證數值計算模型和相關材料參數的可靠性，本節對文獻[24]中兩個試驗工況進行數值計算，將數值計算結果與文獻中試驗數據進行對比。

文獻[24]針對超高性能混凝土開展了一系列動態力學試驗，標定了各類超高性能混凝土K&C 模型參數。文獻[24]同時對超高性能混凝土開展了部分侵徹試驗，試驗工況為直徑28 mm 的彈體分別以405 和616 m/s 的速度侵徹600 mm×600 mm×400 mm 超高性能混凝土靶。圖7 給出了侵徹彈與靶體數值計算模型，模型采用了1/4 建模，彈體和靶體均采用Lagrange 實體單元進行離散，靶體底面設置法向位移約束。

圖7 文獻[24]中侵徹試驗的數值計算模型Fig.7 Numerical calculation model of penetration test in reference [24]

理論模型將彈體假設為理想彈性體，因此采用彈性材料模擬彈體，彈體長30 mm，彈徑28 mm，彈頭曲徑比為3，彈體密度取7 850 kg/m3，彈性模量和泊松比分別為210 GPa 和0.3?；炷翉姸葹?75 MPa，采用K&C 模型和Tabulated_Compaction 狀態方程模擬超高性能混凝土，表1 給出了文獻[24]中的超高性能混凝土K&C 模型參數，通過定義失效拉應變和失效剪應變均為0.2 來控制混凝土單元失效。

表1 超高性能混凝土K&C 模型參數[24]Table 1 K&C model parameters fot the ultra-high performance concrete[24]

文獻[24]對數值模型的網格收斂性進行了分析，圖8 給出了網格收斂性分析結果，采用2～32 mm的網格進行數值計算，由圖可知3 mm 網格已滿足數值計算精度，因此在后續計算中彈體和彈靶主要接觸區域的網格尺寸均設置為3 mm。

圖8 文獻[24]中網格尺寸收斂性分析Fig.8 Analysis of unit size convergence in reference [24]

圖9(a)給出了彈體初速405 m/s 時，靶體表面成坑的試驗與數值計算結果，試驗測得靶體表面侵徹坑直徑為173.0 mm，通過有效塑性應變可知數值模擬的靶體表面塑性損傷區直徑為171.4 mm；圖9(b)給出了彈體初速616 m/s 時，靶體表面成坑的試驗與數值計算結果，試驗測得靶體表面侵徹坑直徑為308.0 mm，數值計算的靶體表面塑性損傷區直徑為300.0 mm。兩種侵徹初速下，侵徹坑直徑試驗和數值計算之間的誤差分別為0.9%和2.6%，說明數值計算結果與試驗具有較好的一致性。

圖9 侵徹坑直徑D 的試驗結果與數值計算結果對比Fig.9 Comparison of test results and numerical results of penetration pit diameter D

表2 給出了彈體初速為405 和616 m/s 時，侵徹深度的試驗和數值計算結果，試驗測得的侵徹深度分別為70 和120 mm，數值計算得到侵徹深度分別為69 和109 mm，兩種侵徹速度下的誤差分別1.43%和9.17%，表明數值計算結果與試驗結果吻合較好。

表2 侵徹深度的試驗與數值計算結果Table 2 Experimental and numerical results of penetration depth

圖10 給出了彈體速度時程曲線和反彈速度的理論解，由圖10(a)可知彈體在侵徹后0.3 ms 左右停止侵徹并發生反彈，圖10(b)給出了彈體時程曲線的局部放大圖，彈體在侵徹結束后經歷了反彈加速階段，隨后趨近于恒定的反彈速度，圖中給出了通過彈性勢能模型和應力波模型計算得到的反彈速度理論解。從速度時程曲線和理論解的對比中可以看出，數值計算結果與理論解吻合較好。

圖10 彈體速度時程曲線和反彈速度理論解Fig.10 Time history curves of projectile velocity and theoretical solutions to rebound velocity

4.2 理論模型合理性驗證

4.1 節根據文獻中提供的混凝土參數和侵徹試驗數據驗證了數值計算模型的可靠性，為了進一步驗證反彈效應理論模型的合理性，檢驗反彈速度與各參數之間的關系，本節基于4.1 節的數值計算模型，對長桿彈侵徹超高性能混凝土進行數值計算。圖11 給出了長桿彈侵徹超高性能混凝土有限元模型，采用1/4 對稱模型節約計算成本，彈體直徑為40 mm，彈長為260 mm，彈頭部分曲徑比為3，彈體侵徹速度分別取300、400、500、600、700 和800 m/s；超高性能混凝土尺寸為1 000 mm×1 000 mm×500 mm。彈體網格尺寸為3 mm，1/4 模型中彈尖與混凝土接觸點附近200 mm×200 mm 區域為網格加密區域，網格尺寸為3 mm，其余部分采用漸變網格劃分，網格尺寸為3～12 mm。

彈體材料設置兩組參數進行計算，設置一組彈性模量和密度為210 GPa 和7 850 kg/m3，另一組彈性模量和密度為105 GPa 和3 925 kg/m3，分別編號記為7850-210 和3925-105，兩組參數彈性模量和密度均為1/2 關系，計算結果可對比驗證彈體反彈速度與彈體彈性模量和密度的關系。超高性能混凝土材料與4.1 節相同，選用K&C 模型和Tabulated_Compaction 狀態方程，抗壓強度175 MPa，失效時的極限拉應變和極限剪應變為0.2[24]，具體參數見表1。靶體底部施加法向位移約束。

圖12 給出了3 925-105-700 工況（700 代表侵徹初速度為700 m/s，其余以此類推）速度和加速度時程曲線的數值計算結果，從速度時程曲線可以看出彈體在侵徹速度降低為零后會具有一段持續的反彈加速和減速過程，最終反彈速度恒定不變。根據式(4)給出侵徹端應力Rt和式(5)給出的常阻力表達式，計算得到等效常阻力Fc=1 294 kN，等效加速度ac=1.13×106m/s2。

圖12 3925-105-700 的速度與加速度時程曲線Fig.12 3925-105-700 velocity and acceleration time history curve

圖12(b)給出了理論計算和數值模擬得到的彈體加速度時程曲線，彈體加速度在侵徹開始后會迅速躍升到峰值，在0.1 ms 時刻達到峰值1.8×106m/s2，隨后開始震蕩下降，在0.6 ms 時刻降至零左右。數值模擬得到的加速度時程曲線整體呈現突躍脈沖形式，理論計算得到的等效加速度ac為一個單階梯脈沖，雖然二者峰值存在一定誤差，但沖量近似相等，與圖2 給出的曲線形式基本一致，證明了彈性勢能模型假設具有較好的合理性。

圖13 給出了彈體侵徹過程中速度方向應力云圖，可以看出彈體侵徹過程中軸向應力分布隨時間的變化和應力波傳播過程，侵徹未開始時，彈靶整體呈現0 應力狀態，如圖13(a)所示；0.05 ms 時，彈體開始侵徹，這是侵徹阻力導致的初始應力波開始在彈體軸向傳播，根據彈體材料波速，應力波于0.05 ms 時應正好傳播至彈尾，但是由于彈體內應力波不是理想的一維彈性波，圖13(b)中應力波已從彈頭傳播至彈尾，在自由端發生了反射，圖13(b)中彈體尾部應力明顯受到自由端反射拉伸波的影響；0.1 ms 時，彈體繼續侵徹混凝土，彈體內部應力波在彈頭侵徹端和彈尾自由端持續傳播，如圖13(c)所示；0.7 ms 時，彈體侵徹結束并發生反彈，彈體軸向應力釋放，內部應力均勻，如圖13(d)所示。通過以上數值模擬結果可知，侵徹過程中彈體內部應力波在彈頭侵徹端和彈尾自由端之間持續傳播，與一維彈性波模型一致。

4.3 反彈速度驗證

圖14 和圖15 分別給出了7850-210 和3925-105 兩種彈體在6 種侵徹初速下的速度時程曲線，從圖14(a)和圖15(a)中可以看出，彈體7850-210 隨著侵徹初速不同，在0.7～1.2 ms 之間速度減至零并反彈，彈體3925-105 隨著侵徹初速不同，在0.4～0.6 ms 之間減速至零并反彈?？傮w上看，質量輕、彈性模量小的彈體，侵徹持時較短 ，侵徹能力較弱。

圖14 彈體7850-210 速度時程曲線數值解和理論解的對比Fig.14 Comparison of velocity time history curves of numerical and theoretical solutions of missile 7850-210

圖15 彈體3925-105 速度時程曲線數值解和理論解的對比Fig.15 Comparison of velocity time history curves of numerical and theoretical solutions of missile 3925-105

從圖14(b)和圖15(b)的局部放大圖中，可以更加清晰地觀察到侵徹速度降為零之后的反彈速度曲線。彈體在侵徹結束后經歷了反彈加速階段，隨后逐漸趨近于恒定的反彈速度。總體來看質量輕、彈性模量小的彈體，反彈效應更加明顯。圖中紅色和藍色實線分別是根據式(9)和式(13)計算得到兩類彈體（7850-210 和3925-105）的反彈速度理論解（基于彈性勢能理論和應力波理論）。從理論解和數值計算結果對比情況中可以看出，兩類彈體的情況均吻合較好。

圖16 將數值計算結果以峰值離散點的形式給出，更能直觀地比較理論解與數值解的差異?？傮w來看，數值計算結果與理論預測值吻合較好。由于理論假設中將帶有侵徹初速的動態阻力項（慣性項）忽略，因此理論解中沒有侵徹初速項，反彈速度理論上與著靶速度無關，數值計算結果也可看出，兩種彈體反彈速度峰值在理論解附近上下浮動，分析數值計算結果與理論解之間誤差產生的原因，首先，數值模擬中侵徹阻力并不是常阻力，而是與速度和材料應變率效應呈一定正相關關系；其次，數值計算自身存在一定計算誤差，所以反彈初速計算結果與侵徹初速呈一定正相關關系并上下浮動，但反彈初速并未隨侵徹初速增加而明顯提高，理論解可以大致預估反彈速度大小。

圖16 反彈速度數值解和理論解與侵徹初速之間的關系Fig.16 The relationship between numerical and theoretical solutions of rebound velocity and initial penetration velocity

圖17 兩類彈體侵徹速度與反彈速度的對比Fig.17 Comparison of penetration velocity and rebound velocity of two types of projectile bodies

表3 給出了反彈速度的數值計算結果和理論預測值，當侵徹速度小于500 m/s 時，數值計算結果小于理論解，當侵徹速度高于500 m/s 時，數值計算結果與理論解較為接近。分析原因，當著靶速度較低時，侵徹過程主要處于開坑階段，侵徹阻力變化劇烈，不能形成穩定的侵徹應力邊界，與理論模型中的常阻力假設差異較大；當侵徹速度較高時，隧道侵徹階段為彈體侵徹的主要階段，這一階段侵徹阻力相對穩定，與常阻力假設吻合較好，滿足理論模型中的阻力假設。

表3 反彈速度的數值計算結果和理論預測值Table 3 The results of numerical calculation and theoretical prediction of the rebound velocity

綜上所述，反彈速度數值計算結果與理論預測值吻合較好，通過改變數值計算中的彈體密度ρp和彈性模量E，驗證了理論公式中反彈速度vr與彈體參數之間的關系，表明理論模型可以較好地解釋反彈現象并對反彈速度vr進行預測。

5 關于理論模型的討論

本文將彈體視作一維彈性桿，從彈性勢能累積和彈性波傳播兩個角度分別建立了反彈效應理論模型。彈性勢能模型認為彈體侵徹過程中積累的應變勢能全部釋放為彈體反彈的動能；一維應力波模型假設彈性波在侵徹端和尾部自由端之間傳播，彈性波在尾部自由端最后反射的波后速度為彈體反彈初速。兩個模型均是從一維軸向彈性響應的角度考慮反彈效應。

兩類模型的本質差別在于對反彈過程中侵徹端邊界條件的假設。彈性勢能模型認為彈體運動停止后，侵徹邊界即可變為剛性邊界，邊界處不再發生軸向位移，僅對彈性桿一端提供支撐，支撐力隨著彈性桿變形而變化；而一維彈性波模型認為侵徹端速度為零時，侵徹端依舊承受界面提供的材料動態阻力項（AσyN1），直至侵徹端回彈時消失。兩個理論模型侵徹端反力對彈體做功的差異導致反彈速度表達式有所不同，二者表達式相差一個常系數π/4。

兩個理論模型假設均與實際情況存在一定差別，主要有以下幾點：

(1) 侵徹過程中，彈體在發生軸向變形的同時，也會發生徑向變形；應力波沿軸向傳播的同時，也會在徑向上發生彌散；

(2) 開坑階段的真實侵徹阻力會隨速度變化而降低，理論模型中提出的是常阻力假設；侵徹阻力是造成彈體積累應變勢能的主要因素，因此理論計算得到的反彈速度與真實情況存在一定差異；

(3) 實際彈體侵徹時會發生塑性變形，彈體內部也存在塑性波傳播，理論模型僅考慮了彈性變形和彈性波傳播的情況；

(4) 靶體積累的變形勢能也會對彈體反彈提供貢獻，理論模型中認為超高性能混凝土為脆性材料，忽略了靶體變形勢能的釋放。

結合以上分析，當彈體長徑比較大，彈性變形極限較高，靶體脆性較強時，理論解計算精度較高；對于彈體長徑比較小且彈性變形極限較低，靶體蓄能能力較強的情況，有待進一步研究。

6 結 論

針對彈體侵徹超高性能混凝土后的反彈效應，分析了彈體侵徹和反彈過程中各階段受力狀態，將彈體簡化為一維彈性桿，基于空腔膨脹理論建立了彈性勢能模型和一維彈性波模型，推導得到兩種反彈速度的解析解；通過數值模擬還原了彈體反彈現象，將計算結果和理論解進行了對比分析，得出以下結論：

(1) 彈體反彈過程分為反彈加速度階段和反彈減速階段，彈體和靶體共同的變形勢能釋放導致彈體反彈；

(2) 推導得出了解析形式的反彈初速表達式，彈體反彈初速與靶材的無量綱參數、屈服強度和彈頭形狀因子成正比，與彈體密度和彈性模量成反比，與彈體侵徹初速無關；

(3) 通過數值計算得到的彈體過載時程曲線、軸向應力時程曲線等充分驗證了彈性勢能模型和一維彈性波模型理論假設的合理性；對于12 種不同彈體彈性模量、密度和侵徹速度的工況，數值計算結果與理論解吻合良好；

(4) 當彈體長徑比較大且彈性變形極限較高，且靶體脆性較強時，理論模型具有相對較高的計算精度。