軌道車輛牽引電機軸承的動力學建模與分析

方聰聰 ，關煜彬 ，周偉 ，高廣軍

(1.中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075；2.中南大學 軌道交通安全教育部重點實驗室，軌道交通安全關鍵技術國際合作聯合實驗室，軌道交通列車安全保障技術國家地方聯合工程研究中心，湖南 長沙 410075)

軌道車輛牽引電機軸承是重要的旋轉支承部件，通常采用圓柱滾子軸承及球軸承[1]。軌道交通行業需要滿足高速客運和重載貨運的需求，對牽引電機的功率有較大的要求，而軸承的性能對牽引電機的動態性能和運行可靠性有顯著影響。圓柱滾子軸承在高速運轉過程中存在動態載荷，導致內部元件間產生復雜的接觸、碰撞與沖擊，是滾道表面疲勞損傷、保持架破損與電機振動噪聲的重要來源。因此，為了保證牽引電機長期運行的穩定性和安全性，有必要深入理解牽引電機軸承運轉過程中內部元件的動力學特性。國內外學者對牽引電機軸承運轉特性，以及圓柱滾子軸承和球軸承在特定工況下的動力學特性，都做了大量研究。由于故障軸承所在的牽引電機及其相鄰部件具有復雜的故障特征，為簡化研究，LIU 等[2]構建軸承滾道表面為均勻的波紋，研究了電機軸承表面波紋度對牽引電機的影響。GUO等[3]研究了車輪形變對牽引電機使用壽命的影響，驅動端和非驅動端電機軸承的動態特性具有較大差異仍需進一步研究。WANG 等[4]在ABAQUS 中研究了高速列車電機軸承的熱特性，通過SIMPACK 考慮振動不平順的軸承動力學特性。已有研究通常用激勵函數來建立缺陷，WEN 等[5]用幾何約束關系構造缺陷，此缺陷大小無法隨運轉狀態發生變化，其考慮彈流潤滑理論建立了角接觸球軸承的完整多自由度動力學模型，結果表明球與保持架之間的往復碰撞受缺陷大小和軸承轉速的影響。對于滾子與滾道間存在的打滑現象，OKTAVIANA 等[6]基于角接觸球軸承，采用五自由度擬靜力模型研究了滾道打滑問題。彈性復合圓柱滾子軸承是一種新型滾動軸承，對于不同填充度的滾動體，YAO 等[7]重點分析了其阻尼的變化規律以及加載卸載2種工況下的節點位移規律，彈性復合圓柱滾子軸承的動態特性能有更深研究。LIU 等[8]提出了保持架兜孔側壁為斜面的新型圓柱滾子軸承，帶有新型保持架的軸承打滑率降低但高速穩定性沒有明顯提升，后續軸承高速運轉狀態需進行優化。SHI 等[9]的研究重點落在圓柱滾子軸承的振動分析上。ZHANG 等[10]建立了航空發動機主軸圓柱滾子軸承的有限元模型，討論了工作條件、結構參數和材料對保持架在啟停階段應力分布和安全特性的影響。SU 等[11]建立的動力學模型考慮了圓柱滾子軸承的表面紋理，發現徑向間隙影響著保持架的穩定性。綜合上述文獻，雖然在滾動軸承動力學理論方面國內外學者已經開展過廣泛研究，在滾子及滾道表面缺陷影響等方面取得了一定成果，但仍存在一些問題，主要表現在：軌道車輛牽引電機軸承的研究采用的多數商業軟件容易受到軟件自身算法的制約；由于模型的限制，對軌道車輛牽引電機軸承的動力學特性及影響因素方面的研究較少。本文基于拉格朗日多體動力學方法提出一種新的圓柱滾子軸承動力學模型，利用Harris經典理論對模型進行驗證，分析轉速、徑向載荷與徑向游隙對內圈動力學性能的影響，為牽引電機軸承的設計提供參考。

1 牽引電機軸承動力學建模

1.1 多體動力學理論

多體動力學建模的核心思想基于拉格朗日方法的廣義約束力與廣義坐標的結合，動態多體系統的運動方程[12]用于確定受約束動態系統的瞬態動態響應。對于受約束的多體系統，運動方程可表示為[12-13]：

式中：Φ為運動副的約束方程；Φq=?Φ/?q為相應的雅可比矩陣；q，和分別為包含廣義狀態位移、速度和加速度的向量；M為系統質量矩陣；Qe為廣義力矢量；λ為一個包含拉格朗日乘子的向量；t為時間。

加速度約束方程作為時間的函數，可以從式(1)的2階導數中得到：

把式(2)與式(3)結合起來，可以得到多體動力學方程，其形式為混合的代數微分方程組。然后，采用基于反饋控制理論的Baumgarte 穩定技術來抑制多體系統副的約束違反行為。最終，多體系統運動方程的穩定形式可以寫成[12]：

式中：γ為加速度約束方程；α與β分別是針對速度與位移違約的反饋控制參數，一般為正數，此研究中α與β取值為1 000，它們的取值范圍與積分方法、時間步長和初始條件(位置、質量等)有關[14]。

1.2 接觸力和摩擦力

滾子與滾道之間的接觸采用SAFAEIFAR 等[15]提出的接觸力模型，該模型能考慮接觸彈性體在擠壓過程中的能量損失，其表現在加載與卸載過程中，接觸力前后變化產生一個滯后環：

式中：K為接觸剛度參數，取決于材料性質和接觸體的曲率半徑；δ為2 個接觸體表面之間的局部相對形變量；n為量化力-形變量關系非線性程度的指數，在圓柱線接觸中n=10/9；cr為恢復系數。

接觸剛度值可以通過數值計算[16]，或由實驗測試獲得。在使用簡單幾何體時，從理論上定義為接觸體幾何體的函數。對于半徑分別為Ra和Rb的2個圓柱體a和b之間的接觸：

式中：Redb為等效半徑。如果觸點為外部(滾子與內滾道接觸)，則Ra和Rb之間采用加號；如果觸點為內部(滾子與外滾道接觸)，則Ra和Rb之間采用減號[17]。hr和hg是由公式(8)給出的材料參數：

式中：vmn和Emn分別為每個圓柱體的泊松比和楊氏模量，表示材料特性對圓柱體接觸的影響。

研究表明摩擦力在相對滑動速度較小時，會隨滑動速度產生變化，即靜動摩擦轉變過程中的“黏滑現象”。公式(9)與圖1給出了“黏滑”過程中摩擦力與速度之間的關系[18]，Fdd為動摩擦力，Fss為靜摩擦力，vdd為臨界動速度，vss為臨界靜速度。摩擦力模型是一個光滑函數，在不犧牲精度的前提下，可以近似計算出任意狀態的摩擦特性：

圖1 光滑庫侖摩擦力模型[18]Fig.1 Smooth Coulomb friction model[18]

式中：Cljd，A和Eljd分別為理論總結值，取Cljd=1.4，A=0.5，Eljd=-2.0；μss為靜摩擦因數；μdd為動摩擦因數；vljd為相對速度，用于判斷摩擦力方向。

1.3 軸承元件力學分析

軸承各元件相互間具有復雜的作用關系，本模型重點研究滾子和內外圈相互間的動力學特性，因此對軸承系統進行部分假設：外載荷方面只考慮方向豎直向下的徑向載荷附加于內圈，故可認為軸承內部元件只在平面進行運動，本文建立的動力學模型為平面模型；考慮滾子打滑，內圈賦予恒定轉速，外圈固定不動，滾子與保持架兩元件質心通過鉸接副連接，忽略其相互之間的作用力。

以牽引電機圓柱滾子軸承NU 216 作為分析對象，軸承參數在表1 列出。圖2 為牽引電機軸承NU 216 示意圖，ωm為保持架角速度，本文假設滾子與保持架以鉸接副連接，因此也可定義為滾子公轉角速度；ωi為滾子i自轉角速度；ω為內圈角速度；RO為外滾道半徑，RI為內滾道半徑，RR為滾子半徑，RM為節圓半徑；Fad為附加于內圈的豎直向下的徑向載荷；θ為內圈轉動角度；分別為內圈質心和外圈質心。

表1 牽引電機軸承NU 216參數Table 1 Traction motor bearing NU 216 parameters

圖2 牽引電機軸承NU 216示意圖Fig.2 Diagram of traction motor bearing NU 216

圖3 滾子受力示意圖Fig.3 Diagram of roller stress

滾子公轉線速度、滾子自轉線速度以及內圈線速度在滾子與內圈兩元件接觸處均為相同的切向方向，考慮內圈水平速度和豎直速度，故通過計算兩元件在接觸位置的切線方向速度差來判斷滾子與內圈之間的摩擦力方向。假設外圈固定不動，考慮滾子打滑效應，滾子與外圈之間的摩擦力可以分為滑動摩擦力和滾動摩擦力。因此，需要通過計算滾子自轉線速度與滾子公轉線速度二者差值，判斷滾子與外圈之間的摩擦力方向。

多體系統運動方程中的廣義力矢量需要轉化為2 個方向的分力和扭矩，采用向量點乘的方法，各元件受力可轉化為在廣義坐標系下水平方向和豎直方向的分力。其中，xro為滾子在廣義坐標系中水平方向坐標，yro為滾子在廣義坐標系中豎直方向坐標；xin為內圈在廣義坐標系中水平方向坐標，yin為內圈在廣義坐標系中豎直方向坐標。設扭矩逆時針方向為正方向。

滾子水平方向受力FXi：

滾子豎直方向受力FYi：

式中：Ji為滾子自轉轉動慣量；為滾子自轉角加速度。

式中：I為內圈轉動慣量；為內圈角加速度。

經過上述動態多體系統的運動方程和軸承各元件力學分析可以發現，求解滾子加速度忽略了滾子受到離心力和滾子受到公轉扭矩帶來的影響。公式(16)和圖4 給出了局部坐標系與廣義坐標系的轉化，u為滾子廣義坐標矢量，ui為滾子局部坐標矢量。對公式(16)求2 階導數得到公式(17)滾子的絕對加速度[19]，通過矩陣變化分別得到滾子水平和豎直加速度。其中，滾子的絕對加速度是由全局坐標系下滾子的徑向加速度ar，科氏加速度ac，切向加速度at和法向加速度an構成，如圖5 所示。滾子公轉運動時可以把滾子當做質點，徑向加速度ar指的是質點運動用極坐標系描述時，質點的加速度在極坐標系徑向方向的分量；科氏加速度ac是動參系的轉動與動點相對動參運動相互耦合引起的加速度；法向加速度an指的是質點運動用廣義坐標系描述時，質點的加速度在質點運動軌跡曲率半徑正向方向投影的分量，與切向加速度at相對；徑向加速度ar始終指向極點，而法向加速度an始終垂直于運動方向，即運動軌跡切線方向。

圖4 滾子局部坐標系下位置矢量示意圖Fig.4 Position vector in roller local coordinate system

圖5 滾子絕對加速度Fig.5 Diagram of absolute acceleration of roller

圖6 求解流程圖Fig.6 Flowchart of the computation procedure for the solution of the system

式中：αm為公轉角加速度；?為廣義坐標系X-Y與局部坐標系ξ-η之間的夾角；為滾子局部坐標系下位置矢量；為滾子局部坐標系下速度矢量；為滾子局部坐標系下線加速度矢量。

1.4 計算方法與流程

在進行仿真前，首先需要輸入變量初始值：起始時間、結束時間、計算時間步長，以及軸承各元件起始位置、初速度、質量和轉動慣量。輸入軸承各元件的質量和轉動慣量來構建系統質量矩陣M；根據小節1.3 提及的運動部件扭矩、水平分力和豎直分力的計算結果來構建廣義力矢量Qe；基于模型假設建立軸承鉸接副的約束方程Φ，鉸接副約束的雅可比矩陣Φq，多體動力學理論已定義處于右邊位置的加速度約束方程γ。因此，公式(4)動態多體系統運動方程可以轉變成線性動力學方程，經L-U分解法可解得內圈和保持架加速度，以及各滾子徑向加速度。

2 模型驗證

為驗證所建立模型的準確性，將Harris滾動軸承靜力學解析式的計算結果與本文結果進行對比。HARRIS 等[20]研究了徑向游隙為零圓柱滾子軸承載荷分布，且滾動軸承處于低轉速工況時各元件的動態效應并不顯著，為了驗證本文建立的軸承動力學模型可信度，基于以下工況開展驗證：徑向游隙Pc為62 μm，額定參考轉速ω為5 300 rpm，對內圈施加外載荷分別為140，160 和180 kN。從預測數據中得到滾子與內外滾道之間的接觸載荷分布狀態，并與靜態載荷公式計算而來的理論值相互比較，如圖7所示。

圖7 軸承載荷分布Fig.7 Diagram of bearing load distribution

式中：Fad為徑向載荷；z為滾子數目；Qmi為最大承載滾子載荷；Qβ為滾子與內滾道間的法向作用力；β為負荷作用線夾角；δro為滾子與內圈接觸處的總彈性變形量；Pc為徑向游隙；Ki為滾子與內圈接觸剛度；Ko為滾子與外圈接觸剛度。

由圖7可以看出，在相同外載荷下，滾子的仿真接觸分布曲線與理論接觸載荷分布曲線近似。通過表2對比，最大接觸力仿真結果與理論值近乎相等，誤差在1.2%左右。總體來看，二者結果吻合情況良好，驗證了本文所建立的軸承動力學模型的合理性，為后續的分析奠定了基礎。

表2 最大接觸力對比Table 2 Comparison of maximum contact force

3 工況與參數分析

牽引電機的重要組成部分之一是軸承，其可靠性會對列車多項運行性能造成直接影響。為了在后續設計過程中對牽引電機選擇軸承和軸承故障分析等提供參考，有必要提取出軸承動力學特性。因此，重點分析內圈轉速、徑向載荷和徑向游隙對軸承牽引電機軸承NU 216運動情況的影響。

3.1 轉速對內圈位移的影響

不同轉速下軸承的性能有所差異，因此本節討論轉速對內圈位移的影響，軸承穩定運轉后，分析內圈質心位移在不同內圈轉速下的變化規律。圖8 為不同轉速下內圈質心位移圖，徑向載荷Fad為3 000 N，徑向游隙Pc為62 μm，內圈轉速ω分別為1 000，3 000 和5 300 rpm。當轉速從1 000 rpm增加到5 300 rpm 時，內圈運動穩定性有明顯的提高，內圈質心位移運動范圍擴大且往復運動規律性提升。

圖8 不同轉速下內圈質心位移圖Fig.8 Displacement of inner ring centroid at different rotational speeds

出現上述內圈質心位移變化規律，原因是滾子在承載區受力不平穩，滾子在承載區處于變速運動，使得在承載區滾子與內圈的非連續碰撞一直存在。由于滾子與內外滾道的接觸載荷大小基本相同，在圖9展示了單個滾子與內滾道之間的接觸載荷分布曲線，分析軸承穩定運轉過程中滾子接觸載荷變化規律。左側滾子剛從非承載區進入承載區，承載區內滾子個數發生變化，整體受力不穩定、轉速波動也較大，滾子和內圈之間動平衡發生波動從而導致二者之間的相互作用力較大。低轉速下，內圈動態效應不明顯，滾子與內圈的非連續碰撞情況加劇，導致滾子和內圈之間的接觸載荷波動明顯，內圈質心軌跡比較混亂。隨著轉速增加，滾子離心力越大，滾子與外滾道接觸次數增多，相當于外圈的徑向撓度增大，等效為軸承徑向游隙相對增加，內圈動態效應愈發明顯，使得滾子與內圈的非連續碰撞情況得到緩解，導致滾子和內圈之間的接觸載荷變化趨向平緩。不同內圈轉速下，單個滾子和內圈之間的最大接觸載荷相等，內圈質心位移范圍擴大且軌跡愈發趨向穩定規律。圖10 展示了單個滾子與內滾道之間的切向力分布曲線，分析軸承穩定運轉過程中滾子切向力變化規律。低轉速下，在承載區滾子切向力處于正值，屬于促進滾子進行公轉，也會導致在此工況下內圈質心運動不斷變化。隨著轉速增加，滾子接觸載荷變化趨向平緩，滾子切向力在承載區正負值交替變化，有利于內圈運動的穩定，因此在高轉速下內圈質心軌跡變化程度減弱。

圖9 滾子接觸載荷分布曲線Fig.9 Curves of roller contact load distribution

圖10 滾子切向力分布曲線Fig.10 Curves of roller tangential force distribution

3.2 徑向載荷對內圈位移的影響

現有研究發現徑向載荷對軸承振動加速度、保持架質心渦動等軸承動力學特性有明顯影響，使其出現較大幅度的變化趨勢，因此本節討論的是徑向載荷對內圈位移的影響，分析軸承穩定運轉后，在不同徑向載荷下內圈質心位移變化規律。

徑向載荷增大導致軸承內圈徑向撓度越大，使承載區滾子的受力越來越大，滾道對滾子的阻力提高，降低了滾子的打滑率，使得滾子與內圈的非連續碰撞情況得到緩解，使得內圈整體在徑向平面內的運動受到限制。由圖11 可總結出，當徑向載荷為1 000 N 時，由于滾道對滾子的阻力不足，導致滾子在承載區時滾子角速度不穩定，造成滾子與內圈的非連續碰撞情況加劇，滾子接觸載荷波峰較多。隨著徑向載荷增至3 000 N，5 000 N甚至7 000 N 時，滾子角速度逐漸趨向穩定，滾子與內圈的非連續碰撞情況得到緩解，滾子接觸載荷變化平滑。圖12 也進一步說明，隨著徑向載荷的增大，內圈徑向加速度呈現增大的趨勢。整體而言，在徑向載荷變大下，滾子動態效應對接觸載荷變化影響不大，載荷增大使內圈質心位置下移。

圖11 不同載荷下滾子接觸載荷分布曲線Fig.11 Curves of roller contact load distribution under different loads

圖12 不同載荷下內圈徑向加速度頻譜圖Fig.12 Radial acceleration spectrum of inner ring under various loads

當內圈轉速為5 300 rpm，徑向游隙為62 μm，方向豎直向下作用于內圈的徑向載荷分別為1 000，3 000，5 000 和7 000 N 時，如圖13 所示，研究徑向載荷對內圈質心位移的影響。隨著徑向載荷增大，內圈質心位置沿徑向載荷方向下移，且運動范圍縮小。

圖13 不同載荷下內圈質心位移圖Fig.13 View of inner ring centroid displacement under different loads

3.3 徑向游隙對內圈穩定性的影響

軸承運轉的穩定性與徑向游隙有很大的相關性，合適的徑向游隙可以提高軸承的工作性能。因此，研究軸承徑向游隙有其必要性。

當內圈轉速為5 300 rpm，方向豎直向下作用于內圈的徑向載荷為1 000 N，徑向游隙分別為40，60，80 和100 μm 時，內圈質心位移圖和內圈質心豎直方向位移圖如圖14 所示。當徑向游隙為40 μm 時，內圈質心運動范圍很小且運動軌跡規則，內圈質心在豎直方向振蕩幅度不大；隨著徑向游隙增大時，內圈質心在豎直方向振蕩加劇，運動范圍變大且無序性增加。

圖14 不同徑向游隙下內圈質心位移圖(左)和內圈質心豎直方向位移圖(右)Fig.14 Displacement of inner ring centroid (left side) and vertical displacement of inner ring centroid (right side)at different radial clearance

內圈質心豎直方向加速度趨勢(圖15)一定程度上說明了軸承徑向游隙的增加導致內圈質心在豎直方向振蕩加劇。隨著軸承徑向游隙的增加，承載區的滾子數量逐漸減少，滾子接觸載荷增加，滾子所受阻力上升，打滑率降低，內圈質心運動范圍增大。與此同時，徑向游隙的增加，使得承載區中滾子受力逐漸增大，當滾子從非承載區轉到承載區時，導致滾子從不受載情況轉變為突然受載情況，滾子與內圈之間的相互作用力出現顯著性增加，從而內圈質心豎直方向加速度變大。因此，較小的徑向游隙有助于提高軸承的穩定性。

圖15 不同徑向游隙下內圈豎直方向加速度Fig.15 Vertical acceleration of inner ring at different radial clearance

4 結論

1) 低轉速和徑向載荷較小的情況下，在承載區滾子的接觸載荷分布呈現較為明顯的波動。當轉速加快、徑向載荷增大時，在承載區滾子的接觸載荷分布波動趨于平緩。

2) 低轉速和較大徑向游隙的情況下，內圈質心軌跡朝向無序狀態發展，有明顯波動。高轉速和較小徑向游隙的情況下，內圈質心軌跡穩定且規律性提高。

3) 徑向游隙的增加，導致承載區滾子受力逐漸增大，滾子與內圈之間的相互作用力出現顯著性增加，從而內圈質心豎直方向加速度變大。較小的徑向游隙有助于提高軸承的穩定性。