基于兩階段局部抽樣策略的結構可靠性分析

肖甜麗, 馬義中, 林成龍

(南京理工大學 經濟管理學院,江蘇 南京 210094)

0 引言

不確定性廣泛存在于實際工程系統中,如材料特性、幾何尺寸、荷載、環境等。忽略這些不確定性的影響,將導致工程結構無法滿足其功能性和完整性。可靠性分析方法通過將上述不確定性看作功能函數的隨機輸入,以功能函數值未能滿足預定目標的概率(即失效概率)作為工程結構安全水平的估計。實際應用中,功能函數通常是非線性甚至隱式的。這將導致失效域的識別和失效概率的直接積分計算難以進行。因此,如何有效權衡失效概率估計的精度和效率是可靠性分析的主要任務和挑戰。

失效概率估計常用方法包括近似解析法和蒙特卡洛仿真(Monte Carlo Simulation, MCS)法[1]。近似解析法中,一階可靠性法[2]和二階可靠性法[3]分別以最可能點(Most Probable Point, MPP)處的一階和二階泰勒展開式近似功能函數。該方法較適合線性或中等非線性問題,但當功能函數呈現高度非線性時,難以提供失效概率的精確估計。不同于近似解析法,MCS利用大量的隨機樣本保證估計精度,對問題類型和維度均具有較高穩健性[4]。然而,由于昂貴功能函數的大量調用,常導致較高的計算成本。為兼顧失效概率估計的精度和效率,基于代理模型的可靠性分析方法受到了越來越多的關注。

在常用代理模型中,Kriging模型由于能夠同時提供未觀測點處的精確插值和局部不確定,在可靠性分析中獲得廣泛應用[5-7]。該模型常與序貫抽樣策略相結合,從而可在盡可能小的樣本量下獲得真實功能函數的精確近似。BICHON等[8]基于Kriging模型提出高效全局可靠性分析法,但對于候選樣本大小缺乏系統分析;ECHARD等[9]通過逐步增加蒙特卡洛仿真候選樣本,提出自適應Kriging蒙特卡洛仿真(Adaptive Kriging with Monte Carlo Simulation, AK-MCS)法,有效提升了對候選樣本量的系統分析能力。以上方法均采用基于整個設計空間的全局抽樣策略。事實上,并非所有候選樣本都能有效提升模型精度。WEN等[10]認為具有小概率密度的候選樣本對失效概率精確估計的影響可忽略,提出基于局部抽樣的改進序貫Kriging可靠性分析(Improved Sequential Kriging Reliability Analysis, ISKRA)法;LI等[11]以極限狀態邊界附近區域作為局部抽樣區域,提出基于MPP的可靠性分析(MPP Method for Reliability Analysis, MPPRA)法。以上基于局部抽樣策略的可靠性分析方法中,ISKRA法以輸入變量均值點為抽樣中心,根據所構造的失效概率與樣本概率密度關系,自適應地調整局部抽樣區域大小,但當均值點遠離極限狀態邊界且抽樣區域較小時,可能導致極限狀態附近區域外的樣本點更新;MPPRA法可將更多的極限狀態面包含在抽樣區域內,但當所更新樣本不足以確保對極限狀態面良好近似時,基于Kriging模型確定的MPP可能與實際偏離較大,導致不精確的失效概率估計。

為避免不必要的樣本點更新,同時保證失效概率估計精度,本文將失效概率置信區間考慮在內,提出兩階段局部抽樣的可靠性分析(Two-stage Local Sampling for Reliability Analysis, TLSRA)法,以更好地權衡失效概率估計的效率和精度。

1 Kriging模型介紹

Kriging模型又稱為高斯過程回歸模型,其假設預測函數值為一個回歸模型和一個隨機過程的線性組合。一般表示形式為:

y(x)=f(x)Tβ+z(x)

(1)

式中,f(x)Tβ,用于近似全局趨勢,f(x)=[f1(x),f2(x),…,fp(x)]T表示基函數向量,β=[β1,β2,…,βp]T為回歸系數向量;z(x)為中心化的平穩高斯過程,z(xi)和z(xj)之間的協方差為:

(2)

(3)

(4)

其中,F為已知訓練點處基函數f(x)的矩陣。

假設給定預測點為x0,該點與已知訓練點x1,x2,…,xn之間相關向量表示為r=[Rθ(x0,x1),Rθ(x0,x2),…,Rθ(x0,xn)]T。則在預測點x0的最優線性無偏預測和Kriging方差估計值為:

(5)

2 基于Kriging模型的TLSRA法

代理模型的預測精度很大程度上依賴于試驗點的設計。所提TLSRA法綜合ISKRA法和MPPRA法的不足和優勢,采用兩階段抽樣策略自適應調整局部抽樣區域,并在所確定區域序貫地選擇新點,獲得試驗設計樣本集。

2.1 兩階段局部抽樣策略

2.1.1 基于置信區間的抽樣階段劃分標準

(6)

(7)

(8)

2.1.2 第一階段局部抽樣

第一階段有效抽樣集以概率密度大于閾值ρthr隨機樣本點構成。由于小概率密度候選樣本對失效概率估計的可忽略性,WEN等[11]通過有效抽樣區域的序貫抽樣,有效減小了對真實模型的調用次數。在該方法中,閾值ρthr通過下式確定:

P(ρ(x)<ρthr)=Pt

(9)

為便于閾值ρthr的計算,以候選樣本集S作為隨機點集,計算對應的概率密度集ρ(x)={ρ(x1),ρ(x2),…,ρ(xNmcs)},則ρthr可表示為:

ρthr=QPt(ρ(x))

(10)

其中,QPt(ρ(x))表示概率密度集ρ(x)的Pt分位數。

進一步地,第一階段局部抽樣集S1可確定為:

S1={x|ρ(x)≥ρthr}

(11)

2.1.3 第二階段局部抽樣

ZHAO等[12]建議將超球面半徑設置為目標可靠度指數βt的nc倍。nc則由極限狀態函數的非線性度確定。CHEN等[13]提出利用測試點梯度值的方差量化極限狀態函數的非線性系數nc:

(12)

Lr=(1.2+0.3nc)βt

(13)

(14)

其中,xMPP為最可能的失效點。進而,第二階段的局部抽樣集S2可確定為:

(15)

2.2 期望可行性函數

序貫抽樣中,新加點常根據所構建的學習函數來選擇。期望可行性函數(Expected Feasibility Function, EFF)[9]是結構可靠性分析中的代表性學習函數之一。該函數基于有效全局優化(Efficient Global Optimization,EGO)中的期望改進思想[14],可提供新加點處功能函數真實值在所定義區域內接近極限狀態面的程度度量。通過最大化該函數,能夠獲得最大程度提升代理模型的新樣本點。類似于EGO中的期望改進函數,EFF利用對極限狀態鄰近區域的積分,獲得可行性函數期望值,其一般形式表示為:

(16)

2.3 基于兩階段局部抽樣的可靠性分析算法實施步驟

所提算法具體步驟如下:

步驟1利用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling, LHS)產生樣本大小為Nmcs的候選樣本集S,并從中隨機選擇n個樣本點作為Kriging模型初始訓練樣本。

步驟2以高斯核函數為Kriging模型相關函數,基于訓練樣本構建常Kriging模型。

步驟4給定階段劃分的閾值εithr(εithr≤0.15),利用式(8)判斷局部抽樣階段。當εi>εithr時,轉至步驟5,反之轉至步驟6。

步驟5根據式(9)-(11)計算樣本低概率密度閾值ρthr及對應的局部抽樣集S1。

步驟6根據步驟2所構建Kriging模型,計算極限狀態邊界的MPP點。以MPP作為局部抽樣中心,利用式(12)-(15)獲得局部抽樣集S2。

步驟7在所確定的局部抽樣集中,最大化式(16)的EFF學習函數,獲得新點x*。

步驟8當max(EFF)≤0.001時,學習停止并轉至步驟9;反之,計算x*對應的真實功能函數值,更新訓練集,返回步驟2。

步驟9利用式(7)計算所估計失效概率的變異系數CVPf。當CVPf大于0.05時,重新生成新的候選樣本集S,轉至步驟3;反之,轉至步驟10。

2.4 基于所提策略的計算精度及效率分析

基于代理模型的可靠性分析中,失效概率估計精度主要取決于代理模型對于極限狀態面的擬合質量,而擬合質量主要與試驗點的設計有關。有效的試驗設計能夠實現以較少的真實模型評價次數達到較高的估計精度。本文所提的兩階段局部抽樣策略根據代理模型預測信息序貫選擇具有最大信息的設計點,可獲得代理模型預測精度和計算效率的更好權衡。該策略的優勢主要體現在:(1)傳統的一次性試驗設計僅關注設計變量的空間分布,而所提策略除此之外還利用了代理模型的預測信息,與前者相比所設計的樣本點對模型精度提升的貢獻更大;(2)設計點的序貫填充過程中,除添加最有信息的樣本點提升精度和效率外,通過縮減抽樣空間來提升新加點的選擇效率,進一步提高總計算效率;(3)兩階段的抽樣策略一方面通過過濾低概率密度樣本點提高抽樣效率,另一方面抽樣中心由設計變量均值處轉移到最可能失效點處,使選擇的樣本點位于極限狀態面附近,進一步提升了代理模型的估計精度和效率。

3 所提方法驗證分析

采用非線性度、緯度等復雜程度不同的三個案例,并以AK-MCS,ISKRA法及MPPRA為比較,驗證所提方法的性能。MCS法所估計的失效概率為真實失效概率參考值。為保證方法之間的可比性,同一案例不同方法的實施均基于相同的初始樣本和候選樣本。其中,設計變量以均值的正負五個標準差為取值范圍。

3.1 四邊界串聯系統

案例1為一個四邊界的串聯系統[9,10],包含兩個獨立且均服從標準正態分布的隨機變量。功能函數表達形式為:

(17)

候選樣本集S大小為106,初始DOE樣本量為12,α值為0.2,抽樣階段的劃分閾值εithr取0.15。可靠性分析結果見表1和圖1。

(a)AK-MCS+EFF (b)MPRRA

(c)ISKRA (d)TLSRA

表1 案例1的結構可靠性分析結果

由表1系統可靠性應用的比較可知:(1)基于全局抽樣策略的可靠性分析方法AK-MCS具有較好的失效概率估計精度,但對真實函數的調用次數較大,具有較高的計算成本;(2)與AK-MCS相比,基于局部抽樣策略的后三種可靠性分析方法所需的Ncall值較小,具有更好的計算經濟性,尤其是對于一次調用較耗時的問題;(3)MPPRA盡管可大大節省計算成本,但所提供的失效概率估計精度非常差,說明該方法不適合串聯系統;(4)與其他方法相比,所提TLSRA法可以較少的真實函數調用次數達到較準確的估計精度。如計算成本方面,所提方法與AK-MCS相比,減少了57.14%,與ISKRA相比將少了41.56%;估計精度方面,與ISKRA相比提高了33.33%,與MPPRA相比提高了99.24%。

由圖1可明顯看出:(1)與其他局部抽樣方法相比,利用AK-MCS+EFF法的全局抽樣中包含較多遠離極限狀態面的點,導致一定的成本浪費;(2)基于MPPRA的序貫抽樣僅集中于極限狀態面的部分區域,所構建Kriging模型對極限狀態面的近似較差,無法提供良好的失效概率估計精度;(3)基于ISKRA的序貫抽樣,由于對于低概率密度樣本的過濾,新添加的試驗設計點更加集中于極限狀態面,從而避免了無效抽樣;(4)基于本文所提TLSRA的序貫抽樣,能夠克服以上方法不足,以較少的試驗設計點提供較好的極限狀態近似,從而可兼顧計算經濟性和失效概率估計準確性。

3.2 復雜高非線性函數

案例2為一個具有高度非線性且多峰值的復雜問題[8,10],其功能函數表達式為:

(18)

其中,x1～N(1.5,1),x2～N(2.5,1)。

設置候選樣本集S大小為106,初始DOE樣本量為12,α值為0.15,抽樣階段的劃分閾值εithr分別取0.05,0.10,0.15。可靠性分析結果見表2。

表2 案例2的結構可靠性分析結果

3.3 非線性振蕩器

案例3為一個包含6個隨機變量的非線性無阻尼單自由度系統[9],見圖2。功能函數表示為:

圖2 非線性振蕩器

(19)

表3 案例3中隨機變量分布

設置初始候選樣本集S大小為7×104,初始DOE樣本量為12,α值為0.05,抽樣階段劃分閾值εithr取0.15。可靠性分析結果見表4。

表4 案例3的結構可靠性分析結果

由表4比較發現:(1)估計精度方面,TLSRA與AK-MCS相比提高了71.43%,與MPPRA相比提高了66.67%,與ISKRA相比提高了77.78%,說明了所提方法可保證較高的失效概率估計精度;(2)計算成本方面,TLSRA對功能函數的調用次數與AK-MCS相比降低了14.29%,與ISKRA相比降低了12.90%,與MPPRA相當,說明了所提方法具有較好的計算經濟性;(3)與其他方法相比,該例中MPPRA在計算成本和預測精度方面都具有優勢,說明在該問題中基于初始DOE的Kriging模型對極限狀態面的近似已達到一定精度,進而導致初始迭代就能獲得較準確的MPP。

4 結論與展望

針對失效概率估計時難以有效平衡精度和效率問題,本文利用失效概率的置信區間提出了兩階段的局部抽樣策略。數值和工程案例表明:(1)與全局抽樣策略AK-MCS相比,TLSRA可有效減少對真實模型的調用次數,尤其是對于高計算成本的可靠性分析問題效果更顯著;(2)與局部抽樣策略ISKRA相比,TLSRA通過第二階段抽樣中心的調整,提高了在極限狀態面的抽樣效率;(3)與局部抽樣策略RAMPP相比,TLSRA通過第一階段局部抽樣的全局探索,避免了初始迭代中Kriging模型近似精度不足導致的高估計誤差。與以上三種方法相比,所提方法可更好地兼顧失效概率估計的精度和效率。

抽樣階段劃分是本文所提方法關鍵,文中僅給出了閾值范圍,未來將集中于最優閾值的公式化。此外,還可結合其他抽樣方法,如重要性抽樣,子集模擬等進一步提高計算效率。