基于兩階段局部抽樣策略的結(jié)構(gòu)可靠性分析

肖甜麗, 馬義中, 林成龍

(南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,江蘇 南京 210094)

0 引言

不確定性廣泛存在于實(shí)際工程系統(tǒng)中,如材料特性、幾何尺寸、荷載、環(huán)境等。忽略這些不確定性的影響,將導(dǎo)致工程結(jié)構(gòu)無(wú)法滿(mǎn)足其功能性和完整性。可靠性分析方法通過(guò)將上述不確定性看作功能函數(shù)的隨機(jī)輸入,以功能函數(shù)值未能滿(mǎn)足預(yù)定目標(biāo)的概率(即失效概率)作為工程結(jié)構(gòu)安全水平的估計(jì)。實(shí)際應(yīng)用中,功能函數(shù)通常是非線(xiàn)性甚至隱式的。這將導(dǎo)致失效域的識(shí)別和失效概率的直接積分計(jì)算難以進(jìn)行。因此,如何有效權(quán)衡失效概率估計(jì)的精度和效率是可靠性分析的主要任務(wù)和挑戰(zhàn)。

失效概率估計(jì)常用方法包括近似解析法和蒙特卡洛仿真(Monte Carlo Simulation, MCS)法[1]。近似解析法中,一階可靠性法[2]和二階可靠性法[3]分別以最可能點(diǎn)(Most Probable Point, MPP)處的一階和二階泰勒展開(kāi)式近似功能函數(shù)。該方法較適合線(xiàn)性或中等非線(xiàn)性問(wèn)題,但當(dāng)功能函數(shù)呈現(xiàn)高度非線(xiàn)性時(shí),難以提供失效概率的精確估計(jì)。不同于近似解析法,MCS利用大量的隨機(jī)樣本保證估計(jì)精度,對(duì)問(wèn)題類(lèi)型和維度均具有較高穩(wěn)健性[4]。然而,由于昂貴功能函數(shù)的大量調(diào)用,常導(dǎo)致較高的計(jì)算成本。為兼顧失效概率估計(jì)的精度和效率,基于代理模型的可靠性分析方法受到了越來(lái)越多的關(guān)注。

在常用代理模型中,Kriging模型由于能夠同時(shí)提供未觀測(cè)點(diǎn)處的精確插值和局部不確定,在可靠性分析中獲得廣泛應(yīng)用[5-7]。該模型常與序貫抽樣策略相結(jié)合,從而可在盡可能小的樣本量下獲得真實(shí)功能函數(shù)的精確近似。BICHON等[8]基于Kriging模型提出高效全局可靠性分析法,但對(duì)于候選樣本大小缺乏系統(tǒng)分析;ECHARD等[9]通過(guò)逐步增加蒙特卡洛仿真候選樣本,提出自適應(yīng)Kriging蒙特卡洛仿真(Adaptive Kriging with Monte Carlo Simulation, AK-MCS)法,有效提升了對(duì)候選樣本量的系統(tǒng)分析能力。以上方法均采用基于整個(gè)設(shè)計(jì)空間的全局抽樣策略。事實(shí)上,并非所有候選樣本都能有效提升模型精度。WEN等[10]認(rèn)為具有小概率密度的候選樣本對(duì)失效概率精確估計(jì)的影響可忽略,提出基于局部抽樣的改進(jìn)序貫Kriging可靠性分析(Improved Sequential Kriging Reliability Analysis, ISKRA)法;LI等[11]以極限狀態(tài)邊界附近區(qū)域作為局部抽樣區(qū)域,提出基于MPP的可靠性分析(MPP Method for Reliability Analysis, MPPRA)法。以上基于局部抽樣策略的可靠性分析方法中,ISKRA法以輸入變量均值點(diǎn)為抽樣中心,根據(jù)所構(gòu)造的失效概率與樣本概率密度關(guān)系,自適應(yīng)地調(diào)整局部抽樣區(qū)域大小,但當(dāng)均值點(diǎn)遠(yuǎn)離極限狀態(tài)邊界且抽樣區(qū)域較小時(shí),可能導(dǎo)致極限狀態(tài)附近區(qū)域外的樣本點(diǎn)更新;MPPRA法可將更多的極限狀態(tài)面包含在抽樣區(qū)域內(nèi),但當(dāng)所更新樣本不足以確保對(duì)極限狀態(tài)面良好近似時(shí),基于Kriging模型確定的MPP可能與實(shí)際偏離較大,導(dǎo)致不精確的失效概率估計(jì)。

為避免不必要的樣本點(diǎn)更新,同時(shí)保證失效概率估計(jì)精度,本文將失效概率置信區(qū)間考慮在內(nèi),提出兩階段局部抽樣的可靠性分析(Two-stage Local Sampling for Reliability Analysis, TLSRA)法,以更好地權(quán)衡失效概率估計(jì)的效率和精度。

1 Kriging模型介紹

Kriging模型又稱(chēng)為高斯過(guò)程回歸模型,其假設(shè)預(yù)測(cè)函數(shù)值為一個(gè)回歸模型和一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的線(xiàn)性組合。一般表示形式為:

y(x)=f(x)Tβ+z(x)

(1)

式中,f(x)Tβ,用于近似全局趨勢(shì),f(x)=[f1(x),f2(x),…,fp(x)]T表示基函數(shù)向量,β=[β1,β2,…,βp]T為回歸系數(shù)向量;z(x)為中心化的平穩(wěn)高斯過(guò)程,z(xi)和z(xj)之間的協(xié)方差為:

(2)

(3)

(4)

其中,F為已知訓(xùn)練點(diǎn)處基函數(shù)f(x)的矩陣。

假設(shè)給定預(yù)測(cè)點(diǎn)為x0,該點(diǎn)與已知訓(xùn)練點(diǎn)x1,x2,…,xn之間相關(guān)向量表示為r=[Rθ(x0,x1),Rθ(x0,x2),…,Rθ(x0,xn)]T。則在預(yù)測(cè)點(diǎn)x0的最優(yōu)線(xiàn)性無(wú)偏預(yù)測(cè)和Kriging方差估計(jì)值為:

(5)

2 基于Kriging模型的TLSRA法

代理模型的預(yù)測(cè)精度很大程度上依賴(lài)于試驗(yàn)點(diǎn)的設(shè)計(jì)。所提TLSRA法綜合ISKRA法和MPPRA法的不足和優(yōu)勢(shì),采用兩階段抽樣策略自適應(yīng)調(diào)整局部抽樣區(qū)域,并在所確定區(qū)域序貫地選擇新點(diǎn),獲得試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本集。

2.1 兩階段局部抽樣策略

2.1.1 基于置信區(qū)間的抽樣階段劃分標(biāo)準(zhǔn)

(6)

(7)

(8)

2.1.2 第一階段局部抽樣

第一階段有效抽樣集以概率密度大于閾值ρthr隨機(jī)樣本點(diǎn)構(gòu)成。由于小概率密度候選樣本對(duì)失效概率估計(jì)的可忽略性,WEN等[11]通過(guò)有效抽樣區(qū)域的序貫抽樣,有效減小了對(duì)真實(shí)模型的調(diào)用次數(shù)。在該方法中,閾值ρthr通過(guò)下式確定:

P(ρ(x)<ρthr)=Pt

(9)

為便于閾值ρthr的計(jì)算,以候選樣本集S作為隨機(jī)點(diǎn)集,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率密度集ρ(x)={ρ(x1),ρ(x2),…,ρ(xNmcs)},則ρthr可表示為:

ρthr=QPt(ρ(x))

(10)

其中,QPt(ρ(x))表示概率密度集ρ(x)的Pt分位數(shù)。

進(jìn)一步地,第一階段局部抽樣集S1可確定為:

S1={x|ρ(x)≥ρthr}

(11)

2.1.3 第二階段局部抽樣

ZHAO等[12]建議將超球面半徑設(shè)置為目標(biāo)可靠度指數(shù)βt的nc倍。nc則由極限狀態(tài)函數(shù)的非線(xiàn)性度確定。CHEN等[13]提出利用測(cè)試點(diǎn)梯度值的方差量化極限狀態(tài)函數(shù)的非線(xiàn)性系數(shù)nc:

(12)

Lr=(1.2+0.3nc)βt

(13)

(14)

其中,xMPP為最可能的失效點(diǎn)。進(jìn)而,第二階段的局部抽樣集S2可確定為:

(15)

2.2 期望可行性函數(shù)

序貫抽樣中,新加點(diǎn)常根據(jù)所構(gòu)建的學(xué)習(xí)函數(shù)來(lái)選擇。期望可行性函數(shù)(Expected Feasibility Function, EFF)[9]是結(jié)構(gòu)可靠性分析中的代表性學(xué)習(xí)函數(shù)之一。該函數(shù)基于有效全局優(yōu)化(Efficient Global Optimization,EGO)中的期望改進(jìn)思想[14],可提供新加點(diǎn)處功能函數(shù)真實(shí)值在所定義區(qū)域內(nèi)接近極限狀態(tài)面的程度度量。通過(guò)最大化該函數(shù),能夠獲得最大程度提升代理模型的新樣本點(diǎn)。類(lèi)似于EGO中的期望改進(jìn)函數(shù),EFF利用對(duì)極限狀態(tài)鄰近區(qū)域的積分,獲得可行性函數(shù)期望值,其一般形式表示為:

(16)

2.3 基于兩階段局部抽樣的可靠性分析算法實(shí)施步驟

所提算法具體步驟如下:

步驟1利用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling, LHS)產(chǎn)生樣本大小為Nmcs的候選樣本集S,并從中隨機(jī)選擇n個(gè)樣本點(diǎn)作為Kriging模型初始訓(xùn)練樣本。

步驟2以高斯核函數(shù)為Kriging模型相關(guān)函數(shù),基于訓(xùn)練樣本構(gòu)建常Kriging模型。

步驟4給定階段劃分的閾值εithr(εithr≤0.15),利用式(8)判斷局部抽樣階段。當(dāng)εi>εithr時(shí),轉(zhuǎn)至步驟5,反之轉(zhuǎn)至步驟6。

步驟5根據(jù)式(9)-(11)計(jì)算樣本低概率密度閾值ρthr及對(duì)應(yīng)的局部抽樣集S1。

步驟6根據(jù)步驟2所構(gòu)建Kriging模型,計(jì)算極限狀態(tài)邊界的MPP點(diǎn)。以MPP作為局部抽樣中心,利用式(12)-(15)獲得局部抽樣集S2。

步驟7在所確定的局部抽樣集中,最大化式(16)的EFF學(xué)習(xí)函數(shù),獲得新點(diǎn)x*。

步驟8當(dāng)max(EFF)≤0.001時(shí),學(xué)習(xí)停止并轉(zhuǎn)至步驟9;反之,計(jì)算x*對(duì)應(yīng)的真實(shí)功能函數(shù)值,更新訓(xùn)練集,返回步驟2。

步驟9利用式(7)計(jì)算所估計(jì)失效概率的變異系數(shù)CVPf。當(dāng)CVPf大于0.05時(shí),重新生成新的候選樣本集S,轉(zhuǎn)至步驟3;反之,轉(zhuǎn)至步驟10。

2.4 基于所提策略的計(jì)算精度及效率分析

基于代理模型的可靠性分析中,失效概率估計(jì)精度主要取決于代理模型對(duì)于極限狀態(tài)面的擬合質(zhì)量,而擬合質(zhì)量主要與試驗(yàn)點(diǎn)的設(shè)計(jì)有關(guān)。有效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)能夠?qū)崿F(xiàn)以較少的真實(shí)模型評(píng)價(jià)次數(shù)達(dá)到較高的估計(jì)精度。本文所提的兩階段局部抽樣策略根據(jù)代理模型預(yù)測(cè)信息序貫選擇具有最大信息的設(shè)計(jì)點(diǎn),可獲得代理模型預(yù)測(cè)精度和計(jì)算效率的更好權(quán)衡。該策略的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在:(1)傳統(tǒng)的一次性試驗(yàn)設(shè)計(jì)僅關(guān)注設(shè)計(jì)變量的空間分布,而所提策略除此之外還利用了代理模型的預(yù)測(cè)信息,與前者相比所設(shè)計(jì)的樣本點(diǎn)對(duì)模型精度提升的貢獻(xiàn)更大;(2)設(shè)計(jì)點(diǎn)的序貫填充過(guò)程中,除添加最有信息的樣本點(diǎn)提升精度和效率外,通過(guò)縮減抽樣空間來(lái)提升新加點(diǎn)的選擇效率,進(jìn)一步提高總計(jì)算效率;(3)兩階段的抽樣策略一方面通過(guò)過(guò)濾低概率密度樣本點(diǎn)提高抽樣效率,另一方面抽樣中心由設(shè)計(jì)變量均值處轉(zhuǎn)移到最可能失效點(diǎn)處,使選擇的樣本點(diǎn)位于極限狀態(tài)面附近,進(jìn)一步提升了代理模型的估計(jì)精度和效率。

3 所提方法驗(yàn)證分析

采用非線(xiàn)性度、緯度等復(fù)雜程度不同的三個(gè)案例,并以AK-MCS,ISKRA法及MPPRA為比較,驗(yàn)證所提方法的性能。MCS法所估計(jì)的失效概率為真實(shí)失效概率參考值。為保證方法之間的可比性,同一案例不同方法的實(shí)施均基于相同的初始樣本和候選樣本。其中,設(shè)計(jì)變量以均值的正負(fù)五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為取值范圍。

3.1 四邊界串聯(lián)系統(tǒng)

案例1為一個(gè)四邊界的串聯(lián)系統(tǒng)[9,10],包含兩個(gè)獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。功能函數(shù)表達(dá)形式為:

(17)

候選樣本集S大小為106,初始DOE樣本量為12,α值為0.2,抽樣階段的劃分閾值εithr取0.15。可靠性分析結(jié)果見(jiàn)表1和圖1。

(a)AK-MCS+EFF (b)MPRRA

(c)ISKRA (d)TLSRA

表1 案例1的結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果

由表1系統(tǒng)可靠性應(yīng)用的比較可知:(1)基于全局抽樣策略的可靠性分析方法AK-MCS具有較好的失效概率估計(jì)精度,但對(duì)真實(shí)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)較大,具有較高的計(jì)算成本;(2)與AK-MCS相比,基于局部抽樣策略的后三種可靠性分析方法所需的Ncall值較小,具有更好的計(jì)算經(jīng)濟(jì)性,尤其是對(duì)于一次調(diào)用較耗時(shí)的問(wèn)題;(3)MPPRA盡管可大大節(jié)省計(jì)算成本,但所提供的失效概率估計(jì)精度非常差,說(shuō)明該方法不適合串聯(lián)系統(tǒng);(4)與其他方法相比,所提TLSRA法可以較少的真實(shí)函數(shù)調(diào)用次數(shù)達(dá)到較準(zhǔn)確的估計(jì)精度。如計(jì)算成本方面,所提方法與AK-MCS相比,減少了57.14%,與ISKRA相比將少了41.56%;估計(jì)精度方面,與ISKRA相比提高了33.33%,與MPPRA相比提高了99.24%。

由圖1可明顯看出:(1)與其他局部抽樣方法相比,利用AK-MCS+EFF法的全局抽樣中包含較多遠(yuǎn)離極限狀態(tài)面的點(diǎn),導(dǎo)致一定的成本浪費(fèi);(2)基于MPPRA的序貫抽樣僅集中于極限狀態(tài)面的部分區(qū)域,所構(gòu)建Kriging模型對(duì)極限狀態(tài)面的近似較差,無(wú)法提供良好的失效概率估計(jì)精度;(3)基于ISKRA的序貫抽樣,由于對(duì)于低概率密度樣本的過(guò)濾,新添加的試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)更加集中于極限狀態(tài)面,從而避免了無(wú)效抽樣;(4)基于本文所提TLSRA的序貫抽樣,能夠克服以上方法不足,以較少的試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)提供較好的極限狀態(tài)近似,從而可兼顧計(jì)算經(jīng)濟(jì)性和失效概率估計(jì)準(zhǔn)確性。

3.2 復(fù)雜高非線(xiàn)性函數(shù)

案例2為一個(gè)具有高度非線(xiàn)性且多峰值的復(fù)雜問(wèn)題[8,10],其功能函數(shù)表達(dá)式為:

(18)

其中,x1～N(1.5,1),x2～N(2.5,1)。

設(shè)置候選樣本集S大小為106,初始DOE樣本量為12,α值為0.15,抽樣階段的劃分閾值εithr分別取0.05,0.10,0.15。可靠性分析結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 案例2的結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果

3.3 非線(xiàn)性振蕩器

案例3為一個(gè)包含6個(gè)隨機(jī)變量的非線(xiàn)性無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)[9],見(jiàn)圖2。功能函數(shù)表示為:

圖2 非線(xiàn)性振蕩器

(19)

表3 案例3中隨機(jī)變量分布

設(shè)置初始候選樣本集S大小為7×104,初始DOE樣本量為12,α值為0.05,抽樣階段劃分閾值εithr取0.15。可靠性分析結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 案例3的結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果

由表4比較發(fā)現(xiàn):(1)估計(jì)精度方面,TLSRA與AK-MCS相比提高了71.43%,與MPPRA相比提高了66.67%,與ISKRA相比提高了77.78%,說(shuō)明了所提方法可保證較高的失效概率估計(jì)精度;(2)計(jì)算成本方面,TLSRA對(duì)功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)與AK-MCS相比降低了14.29%,與ISKRA相比降低了12.90%,與MPPRA相當(dāng),說(shuō)明了所提方法具有較好的計(jì)算經(jīng)濟(jì)性;(3)與其他方法相比,該例中MPPRA在計(jì)算成本和預(yù)測(cè)精度方面都具有優(yōu)勢(shì),說(shuō)明在該問(wèn)題中基于初始DOE的Kriging模型對(duì)極限狀態(tài)面的近似已達(dá)到一定精度,進(jìn)而導(dǎo)致初始迭代就能獲得較準(zhǔn)確的MPP。

4 結(jié)論與展望

針對(duì)失效概率估計(jì)時(shí)難以有效平衡精度和效率問(wèn)題,本文利用失效概率的置信區(qū)間提出了兩階段的局部抽樣策略。數(shù)值和工程案例表明:(1)與全局抽樣策略AK-MCS相比,TLSRA可有效減少對(duì)真實(shí)模型的調(diào)用次數(shù),尤其是對(duì)于高計(jì)算成本的可靠性分析問(wèn)題效果更顯著;(2)與局部抽樣策略ISKRA相比,TLSRA通過(guò)第二階段抽樣中心的調(diào)整,提高了在極限狀態(tài)面的抽樣效率;(3)與局部抽樣策略RAMPP相比,TLSRA通過(guò)第一階段局部抽樣的全局探索,避免了初始迭代中Kriging模型近似精度不足導(dǎo)致的高估計(jì)誤差。與以上三種方法相比,所提方法可更好地兼顧失效概率估計(jì)的精度和效率。

抽樣階段劃分是本文所提方法關(guān)鍵,文中僅給出了閾值范圍,未來(lái)將集中于最優(yōu)閾值的公式化。此外,還可結(jié)合其他抽樣方法,如重要性抽樣,子集模擬等進(jìn)一步提高計(jì)算效率。