基于極值拓展模型的廣東汕尾增水推算*

劉桂林, 田雨航, 宋時春, 楊文錦, 尹精藝

(1． 中國海洋大學工程學院,山東 青島 266100; 2. 青島軍民融合發展集團有限公司,山東 青島 266500)

海洋工程結構經常處于各種極端海況中,一旦遭到破壞可能會造成重大的經濟損失和人員傷亡,高估海洋工程設計標準會導致建造成本的大量增加,并造成不必要的浪費[1-3]。因此,準確推算海洋環境設計參數具有極其重要的現實意義。汕尾作為沿海城市,海洋資源豐富,大陸沿海岸線的長度在廣東省排第二,擁有碣石灣和紅海灣兩個大海灣[4]。汕尾的海洋漁業、臨海工業、海洋旅游業和海洋交通運輸業蓬勃發展,近些年汕尾海洋經濟總值占地區生產總值的35%以上,因而其海洋經濟已經發展為地區經濟增長的重要引擎。然而汕尾是中國受熱帶氣旋侵襲嚴重的地區,頻繁遭受海浪災害的影響,屬于高脆弱性城市[5]。風暴增水作為重要的海洋環境因素,海洋結構安全性和穩定性必然受其影響,因此準確推算汕尾地區的風暴增水設計參數可以為海上建筑物設計標準的制定提供依據,也是海洋工程結構設計至關重要的環節。

構建對觀測數據擬合良好的概率模型是準確推算海洋環境設計參數的關鍵[6]。近些年擬合模型從傳統的極值模型[7-8]發展到考慮風暴潮等災害影響的復合極值模型[9-10],為降低模型的不確定性還引入最大熵分布[11-12]。盡管上述模型在不同方面提高了推算海洋環境設計參數的準確度,卻很少討論海洋環境設計參數作為隨機變量,其極值樣本數據具有“厚尾”特征的情況[13]。傳統的極值分布只能很好地描述數據的尖峰(即概率密度最大的部分),其尾部卻過快地趨于零[14-15],使得對極值數據的尾部擬合效果欠佳,導致在海洋工程設計標準研究和海洋災害預警分析中對于高重現水平的計算結果存在一定誤差,且重現期越長誤差越大[16-18]。廣義Pareto分布是常被用來估計極端事件的“厚尾”型分布,如Ross等[19-20]用廣義Pareto分布擬合南海波高數據來估計極值有效波高,且得到只有在較高重現期(如千年一遇)下使用此模型,估算的重現值才相對穩定的結論,但廣義Pareto分布不能擬合樣本數據的尖峰,這限制了該模型對總體樣本分布的分析[21-22]。若把能包絡數據尖峰的經典極值分布與具有厚尾特征的Pareto分布進行組合,得到的模型將可以有效改善擬合極值觀測數據的效果。

基于上述研究背景,針對傳統極值分布對極值數據尾部擬合不足的問題,本文利用積分變限函數,借助傳統極值分布和Pareto分布,構造出一系列既能擬合樣本數據的尖峰部分又可以體現數據厚尾特征的極值拓展模型。將新模型應用于本研究中,具體研究流程為:處理汕尾增水實時觀測數據;應用傳統極值分布和新構建的極值拓展模型擬合極值增水數據并進行參數估計;檢驗各模型的擬合效果;驗證極值拓展模型的尖峰厚尾特征;使用最佳擬合模型推算不同重現期下增水設計值,為確定汕尾地區的海洋和海岸工程設防標準以及分析工程結構安全性與可靠性提供參考。

1 理論模型

以積分變限函數為理論基礎,借助組合函數的思想,將被積函數選取為對樣本數據峰部擬合較好的傳統極值分布,取對樣本數據尾部特征擬合較好的Pareto分布的對數函數為積分上限函數,通過數學理論的邏輯推導,得到了極值拓展模型。

定理:設m(t)為隨機變量t的概率密度函數,F(x)為Pareto分布。基于積分變限函數,構建m(t)為被積函數、F(x)的對數函數式[23]為積分上限的組合分布函數族H(x):

(1)

則,對應的概率密度函數h(x)為:

(2)

式中:隨機變量t作為輔助變量,用來分析隨機變量x的統計特性,從而使構造得到的組合模型同時具有2種分布的統計特性;f(x)為Pareto分布的概率密度函數。式(1)和(2)為組合模型的分布函數以及概率密度函數。

F(x)是對隨機變量尾部擬合效果較好的Pareto分布,表達式為:

F(x)=1-σαx-α。

(3)

對應的概率密度函數f(x)表達式為:

f(x)=ασαx-α-1。

(4)

式中:α是形狀參數,且α>0;σ是尺度參數,且x≥σ>0。

將式(3)和(4)分別代入式(1)和式(2),可以得到Pareto分布下極值拓展模型的通用分布函數H(x)和概率密度函數h(x)的顯示表達式:

(5)

(6)

隨著被積函數m(t)的不同選取,可以得到不同的極值拓展模型。

1.1 Gumbel-Pareto極值拓展模型(GPEED model)

取被積函數m(t)為Gumbel分布的概率密合度函數:

(7)

式中:t是輔助變量,t≥0;μ是位置參數,μ>0;b是形狀參數,b>0。

將式(7)代入式(6)可以得到Gumbel分布下的極值拓展模型的概率密度函數:

(8)

式中:σ是Pareto分布的尺度參數;b是Gumbel分布的形狀參數;α是Pareto分布的形狀參數。將基于Gumbel分布和Pareto分布得到的極值拓展模型簡稱為GPEED(b,α,σ)。

1.2 Weibull-Pareto極值拓展模型(WPEED model)

取被積函數m(t)為Weibull分布的概率密合度函數:

(9)

式中:t≥0 ;c代表形狀參數,c>0;γ表示尺度參數,γ>0。

將式(9)代入式(6),從而可以得到Weibull分布下的極值拓展模型的概率密度函數:

(10)

式中:σ是Pareto分布的尺度參數;c是Weibull分布的形狀參數;α是Pareto分布的形狀參數;γ是Weibull分布的尺度參數,α/γ=β。將基于Weibull分布和Pareto分布得到的極值拓展模型簡稱為WPEED(c,β,σ)。

1.3 Pearson-Ⅲ-Pareto極值拓展模型(PPEED model)

取被積函數m(t)為Pearson-Ⅲ分布,Pearson-Ⅲ的概率密合度函數為:

(11)

式中:t≥μ0,μ0是位置參數;ξ是形狀參數;σ0是尺度參數;Γ(ξ)表示ξ的Gamma分布函數。

將式(11)代入式(6)可以得到Pearson-Ⅲ分布下的極值拓展模型的概率密度函數:

(12)

式中:σ是Pareto分布的尺度參數;ξ是Pearson-Ⅲ分布的形狀參數;α是Pareto分布的形狀參數;σ0是Pearson-Ⅲ分布的尺度參數;Γ(ξ)是具有滿足遞推關系和階乘關系的Gamma函數;ασ0=β。將基于Pearson-Ⅲ分布和Pareto分布得到的極值拓展模型簡稱為PPEED(ξ,β,σ)。

2 工程應用

為保證汕尾地區海洋工程建筑的安全,本文基于汕尾觀測站(115.366 7°E,22.766 7°N)1990—2012年間的實測增水數據,如圖1所示,其中藍色柱狀圖代表實測增水數據,紅色柱狀圖代表通過極值法取樣得到的每年增水的極值數據,為保證樣本間的獨立性,每年只選取一個最大的增水實測數據進行分析,然后通過極值法得到年極值增水數據的峰度為3.819,即汕尾地區年極值增水數據具有“厚尾’特征[13],所以要選取厚尾型分布才能充分擬合數據的尾部,這是合理推算高重現期下增水設計值的關鍵。因此,本研究分別利用傳統極值模型和新構建的極值拓展模對極值增水數據進行擬合,通過對比分析找到擬合汕尾增水數據的最佳模型,為制定汕尾地區的海洋工程設防標準提供參考。

圖1 實測數據與年極值樣本數據

2.1 模型的選擇與參數估計

由于廣義極值分布(GEV)參數取特定值即可得到廣泛應用的Gumbel分布和Weibull分布,所以本文將GEV作為擬合極值增水數據的第一種模型。由于最大熵分布受人為假設影響少,模型不確定度小,所以近些年來被廣泛應用,中國水文領域最為常用的Pearson-Ⅲ分布正是最大熵分布的一種特殊形式,因此本文將最大熵分布作為擬合極值增水數據的第二種模型。將本文1.1—1.3提出的一系列極值拓展(GPEED、WPEED和PPEED)模型作為擬合極值增水數據的第三種模型,通過上述模型對汕尾增水數據展開研究,極值拓展模型具體表達式已經在本文1.1—1.3中給出。

廣義極值分布(GEV)的概率密度函數可以表示為:

(13)

式中:1+ξ(x-μ)/γ>0;μ是位置參數;γ是尺度參數;ξ是形狀參數。

最大熵分布(ME)的概率密度函數可以表示為:

h(x)=mxnexp(-γxξ)。

(14)

式中:m=exp(λ-1),其中λ為Lagrange乘子;γ是尺度參數;ξ是形狀參數。

參數估計采用極大似然法(MLE),基于R語言使用Simulated-Annealing方法(SANN)對似然函數進行數值求解,得到模型參數的似然估計值,各模型參數估計的結果如表1所示。

表1 各模型參數估計值

2.2 模型的擬合檢驗與分析

利用MATLAB軟件繪制概率圖(PP圖)、分位數圖(QQ圖)、重現水平圖和概率密度圖,檢驗各模型擬合數據的情況。若指定的模型能較好地擬合實測數據,則PP圖的實測數據點和QQ圖中的實測數據點均應在對角線直線附近,重現水平圖中的數據點均應在模型曲線附近,概率密度圖的模型曲線應與頻率分布直方圖的形狀一致。廣義極值分布、最大熵分布和3種極值拓展模型擬合汕尾極值增水數據的檢驗結果分別如圖2—6所示。

圖2 廣義極值(GEV)分布擬合增水檢驗

圖3 最大熵(ME)分布擬合增水檢驗

圖4 Gumbel-Pareto極值拓展模型擬合增水檢驗

圖5 Weibull-Pareto極值拓展模型擬合增水檢驗

圖6 Pearson-Ⅲ-Pareto極值拓展模型擬合增水檢驗

由圖2—6可知,廣義極值分布、最大熵分布和3種極值拓展模型都能較好地擬合汕尾年極值增水數據。

為進一步驗證上述模型擬合極值增水數據的合理性,對以上5種模型的擬合分別進行K-S檢驗[24],置信水平取0.05,檢驗的臨界值為0.274 9,檢驗結果如表2所示。表2中:K-S檢驗一列括號內的值為統計量, 所有模型的統計量均小于臨界值0.274 9,說明均通過了K-S檢驗,可以用于擬合年極值增水;括號上面的值為檢驗的p值,p值越大說明模型的擬合效果越好,由此可得擬合增水效果最好的分布為GPEED。赤池信息準則(Akaike information criterion, AIC)值與貝葉斯信息準則(Bayesian information criterion, BIC)值也均可用于檢驗模型對于數據的擬合情況,其值越小說明擬合效果越好[25],根據表2的計算結果也可以得到擬合效果最好的分布是GPEED,與K-S檢驗結論一致。

表2 不同模型對于增水的擬合優度檢驗

2.3 尖峰厚尾特征分析

通過概率密度函數可以進一步分析模型對于數據的擬合情況,為方便對比分析,將廣義極值分布、最大熵分布以及3種極值拓展模型的概率密度函數放在一起。為進一步對比本文所研究的各種模型對極值增水數據的擬合情況,圖7給出了各種模型的概率密度函數圖以及直方圖。

圖7 概率密度函數圖

由圖7可知,GPEED、WPEED和PPEED模型的概率密度函數的峰值同直方圖峰值的位置更接近,即相較于廣義極值分布峰值位置和最大熵分布峰值位置更偏左,且這3種極值拓展模型的概率密度函數的尾部相較于廣義極值分布和最大熵分布也更厚。這是因為基于組合模型原理,借助積分變限函數推導出的極值拓展模型融合了經典極值分布的“尖峰”特征和Pareto分布的“厚尾”特征,所以能夠同時更好地擬合數據的尖峰和厚尾。并且從圖7中還可以得到結論,GPEED模型對于增水直方圖的擬合效果更好。這一結論同2.2節的分析保持一致。為更清晰地對比不同分布函數的擬合效果,表3給出了不同增水條件下各模型密度函數的值,可以看出GPEED、WPEED和PPEED模型的尾部函數值均明顯大于另外2種模型,且在這3種極值拓展模型中,GPEED尾部值最大。

表3 不同模型概率密度函數擬合增水的尾部值

2.4不同重現期下增水推算

由2.2小節可知,Gumbel-Pareto極值拓展模型擬合汕尾地區年極值增水數據效果最佳,利用該模型對汕尾極端增水進行概率分析,推求不同重現期下增水的設計值,為分析廣東汕尾地區海洋與海岸工程結構安全、制定更為合理的海洋工程設計標準提供參考,分析結果如表4所示。

表4 各重現期下增水設計值

3 結語

本文利用新構建的一系列極值拓展模型、廣義極值分布和最大熵分布擬合1990—2012年間汕尾觀測站的實測極值增水數據,并從圖形檢驗、擬合優度檢驗和尖峰厚尾檢驗三個方面對比分析傳統模型與極值拓展模型對極值數據的擬合情況。發現相較于傳統模型而言,極值拓展模型能同時擬合極值觀測數據的峰部與尾部,其概率密度曲線具有單尖峰、厚尾的特性,其中對汕尾極值增水數據擬合最好的模型是Gumbel-Pareto極值拓展模型,用該模型推算汕尾百年一遇和千年一遇的增水分別為2.973和3.710 m。極值拓展模型具有能夠同時擬合數據“尖峰”和“厚尾”的特點,但本研究只應用該模型對增水一種海洋環境設計參數的設計值進行推算。實際上,風速、波高和流速等參數對海洋工程的建設和安全也有較大的影響。應用極值拓展模型擬合風速、波高和流速等參數的極值觀測數據,并且綜合考慮增水、風速、波高和流速等多個環境參數對海洋工程結構物的聯合作用,將是進一步的研究方向。