概率猶豫模糊環境下基于累積前景理論和VIKOR的多屬性群決策方法

王志平, 張夢, 傅敏, 王沛文

(1.大連海事大學理學院, 大連 116026; 2.大連海事大學航運經濟與管理學院, 大連 116026)

多屬性決策作為現代決策科學的一個重要組成部分[1]正在被應用于生活中多個領域。而考慮了多個觀點的多屬性群決策方法的研究變得日益重要,特別在信息模糊性和猶豫決策這兩個方面[2]。

語言模型在多屬性群決策中是非常重要的[3]。由于外部環境的復雜性和信息的模糊性,在現實中很難準確客觀地評價。猶豫模糊集作為模糊集的擴展,在可能有多個值時確定隸屬度。然而,缺點是假設猶豫模糊元素中每個隸屬度的出現概率相等[4]。此后,2017年,Xu等[5]改進猶豫模糊集并提出猶豫概率模糊集,為隸屬度添加了概率信息,更準確地描述了決策信息。在此基礎上,逐步有學者提出猶豫概率模糊環境下的距離度量定義[6],構建猶豫概率模糊集的得分函數、偏差函數和比較規律[7]。

繼提出前景理論[8]后,后悔理論[9]、失望理論[10]、累積前景理論[11]等心理行為決策理論相繼提了出來。其中,累積前景理論創新了價值函數和權重決策函數,將累積概率代替單個概率,彌補了前景理論的不足,目前已經得到了有效應用。例如閆書麗等[12]運用累積前景理論解決動態風險灰靶決策問題;高建偉等[13]將累積前景理論用于概率猶豫模糊集的多屬性決策問題。

關于累積前景理論在概率猶豫模糊環境中的研究鮮少。有的部分研究模型過分考慮決策者主觀心理因素,而忽略了客觀求解的影響,同時在排序方式上也很主觀,導致結果并不夠理性。基于折衷優化思想提出多準則妥協優化解[14](VIKOR)排序方法,克服了傳統方法中方案排序方式的局限,并具有同時考慮群體效用最大化和個體遺憾最小化以及融入決策者主觀偏好的優點。因此,現基于概率猶豫模糊環境,構建主客觀結合模型,進行多屬性決策問題研究。

綜上所述,現提出在概率猶豫模糊環境下,基于累積前景理論的VIKOR多屬性決策方法模型。首先,用概率猶豫模糊語言規范法則對初始信息進行規范化處理,同時利用群體一致性原則對決策者權重系數進行調節,使評估結果更加接近事實;其次,通過最小相對熵原則,主客觀結合求取整體屬性權重,不僅讓權重計算更簡便,也更合理;再次,利用累積前景理論,構建正、負價值矩陣和權重矩陣,進而得出更加理性的正、負理想解矩陣;然后創新性地將累積前景理論和VIKOR法相結合進行排序擇優;最后和其他方法的結論進行比較和分析,驗證所提方法的可行性與合理性。

1 理論基礎

1.1 概率猶豫模糊集

定義1[15]給定任意非空集合X,則定義在有限集合X上的一個概率猶豫模糊集可以表示為

H={〈x,h(p)|x∈X}

(1)

(2)

(3)

定義4[19]設h1(p)和h2(p)是兩個概率猶豫模糊集,如果兩個模糊集的元素數量相同,則同時給出兩個概率猶豫模糊集的坎貝拉距離測度公式為

(4)

定義6[20]設h(p)是一個概率猶豫模糊集,其得分函數定義為

(5)

基于得分函數,其偏差度函數可以定義為

(6)

在得分函數和偏差度函數的基礎上,任意兩個概率猶豫模糊元h1(p)和h2(p)可按照以下原則進行比較。

(1)如果s1[h(p1)]>s2[h(p2)],則h1(p)>h2(p)。

(2)如果s1[h(p1)]

(3)如果s1[h(p1)]=s2[h(p2)],且d1[h(p1)]>d2[h(p2)],則h1(p)h2(p)。

1.2 累積前景理論

Tversky和Kahneman提出的累積前景理論[11],允許損失和收入有不同的權重函數,并通過累積的概率代替單個概率計算概率權重,滿足一階隨即占優,將適用范圍擴展,同時適用于風險決策和不確定決策,是行為決策理論中的標志性理論。累積前景價值的計算主要由兩部分構成,即價值函數和決策權重函數,公式如下。

(7)

價值函數體現了決策者在面臨收益時更傾向于風險規避以及面臨損失時更傾向于風險追求的特性,即

(8)

價值函數的值是基于每個備選方案距離參考點的收益或損失的距離。因此,關鍵是選擇一個合適的參考點,通常情況下,選取數據的中間值、期望、積極和消極的解作為理想參考點。分別選取備選方案與正、負理想點之間的距離作為參考來得到偏差程度

(9)

(10)

(11)

式中:

(12)

(13)

式中:δ為風險收益態度系數;ε為風險損失態度系數,且0<δ,ε<1。

2 概率猶豫模糊多屬性決策方法

2.1 多屬性群決策問題描述

表1 決策者k的決策矩陣Table 1 Decision matrix of decision maker k

2.2 調節決策者權重系數

(14)

(15)

很顯然,ρk表示的是決策者dk與其他決策者的一致性程度,即決策者dk提供的評價信息在整個評價小組中的受支持程度。同時反映了決策者dk的重要性。在某種程度上來講,如果dk越重要,相應的調節系數ρk越大,那么決策者dk權重應當適當增加。因此,由事先賦予的主觀決策者權重ηk和調節系數ρk來最終確定決策者權重,公式為

(16)

2.3 整體屬性權重確定模型

通過主客觀結合的方式確定整體屬性權重,構造了兩個模型來分別獲得客觀屬性的權值和整體屬性的權值。首先進行客觀部分的求解,然后考慮主觀因素確定整體屬性權重。

2.3.1 基于得分函數客觀權值的確定

對于實際應用中的多屬性決策問題,得分函數通常被認為是描述概率猶豫模糊集中信息特征的有效工具。然而,當兩個概率猶豫模糊集的分數值相同時,需要區分它們。為了克服這一缺點,基于平均值和猶豫度的猶豫模糊語言元素的得分函數可以完全反映概率猶豫模糊集的分散度和特征,而不必在決策過程中分離綁定的值[21]。其公式為

(17)

考慮到概率猶豫模糊環境下多屬性決策情況的復雜性,基于得分函數,進一步得出客觀屬性決策模型為

j=1,2,…,n

(18)

2.3.2 基于最小相對熵原理的總權重確定模型

實際上,決策者通常在屬性值及其重要性上有所不同,而且每個決策者的權重都會取決于個人判斷而有所不同。因此,綜合所有決策者對屬性權重和客觀的決策信息的評價是很重要的。采用一種基于最小相對熵原理[15]的合適而有效的方法進行了主觀和客觀屬性的權值進行結合。該方法不僅考慮了所有決策者的意見,還考慮了決策者權重和客觀的決策信息,公式為

j=1,2,…,n

(19)

2.4 基于累積前景理論的VIKOR排序模型構建

針對在屬性權重、專家權重都未知的情況下,利用群體一致性調節法和基于最小相對熵原理的主客觀相結合法對決策者、屬性權重進行求解之后,提出了一種基于累積前景理論和VIKOR法進行結合的排序方式,來解決多屬性群決策問題,利用以下步驟構建整體算法模型,技術路線圖如圖1所示。

圖1 技術路線圖Fig.1 Technology roadmap

步驟3通過式(17)～式(19),利用主客觀結合的思想求得屬性權重ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,即通過式(17)求出得分函數,基于得分函數繼而求得客觀屬性權重,最后基于最小相對熵原理得到總權重信息。

(20)

(21)

步驟5利用式(10)～式(13)求出決策權重值后,得到累積前景價值矩陣,公式為

(22)

步驟6利用VIKOR法進行綜合排序。

(1)通過式(23)、式(24)確定正負理想前景價值。

(23)

(24)

(2)利用式(25)和式(26)計算群體效益值Si、個體遺憾值Ri和利益比率Qi。

(25)

(26)

(27)

(3)根據Qi、Ri、Si由小到大的順序對備選方案進行優劣排序,Qi、Ri和Si的值越小,方案越優。

3 實例分析

3.1 問題描述

實例源自文獻[15],假設先有幾個車輛專家對幾款車的安全性能進行評價排序;別克A1、豐田A2、福特A3、奧迪A4、特斯拉A5,對這5款車選取了能夠反映其安全性能的5個屬性C={C1,C2,…,C5},其中C1表示剎車系統、C2表示防抱死系統、C3表示穩定性系統、C4表示安全氣囊系統、C5表示車身薄板。3位車輛專家用D={D1,D2,D3}表示,并且這3位專家針對這5款汽車的5個屬性給出了概率猶豫模糊決策矩陣。專家給出的主觀屬性權重均為0.2,根據專家從業經驗、教育經歷、社會閱歷給出的專家初始權重分別為0.4、0.4和0.2。

3.2 問題求解

參考文獻[22-25],求解步驟如下。

步驟1對初始決策矩陣根據式(2)和定義2進行標準化處理得到標準化矩陣,如表2～表4所示。

表2 專家1給出的標準化決策矩陣Table 2 Standardized decision matrix given by expert 1

表3 專家2給出的標準化決策矩陣Table 3 Standardized decision matrix given by expert 2

表4 專家3給出的標準化決策矩陣Table 4 Standardized decision matrix given by expert 3

表5 專家整體加權決策矩陣Table 5 Overall weighted decision matrix of experts

步驟3通過式(17)～式(19),利用主客觀結合的思想求得屬性權重ω=(0.530 3,0.031 7,0.109 6,0.127 4,0.201 0)T。

步驟4通過坎貝拉距離公式,分別求出各備選方案與正、負理想解之間的距離后,通過式(20)和式(21)確定備選方案的收益、損失矩陣,如式(28)和式(29)所示。

步驟5利用式(10)～式(13)求出決策權重值后,再根據式(22)得到累積前景價值矩陣,如式(30)所示。

步驟6通過式(23)～式(27),利用VIKOR法進行綜合排序:A1>A3>A2>A4>A5。

3.3 對比分析

為了證明本文方法的可行性及有效性,將其與其他方法進行了比較,3種模型的方案比較結果如表6所示。

表6 不同方法排序結果Table 6 Sorting results of different methods

3.3.1 與文獻[15]中前景理論方法比較結果分析

文獻[15]的結果為A5>A4>A1>A3>A2。與本文方法所得結果不同的原因是因為文獻[15]中運用了前景理論的方法,只適用于少數結果而不能應用于很多結果,且并不滿足隨即占優的不足。而累積前景理論方法在數學模型中能較好地兼容前景理論,更好地將多種風險態度融入模型中。實際上前景理論是累積前景理論的一個理論特例,因此,累積前景理論方法比前景理論方法更加客觀、可靠;而前景理論方法更加偏主觀。同時,在排序方法上,采用多準則妥協優化解法,通過主客觀結合的方式進行綜合排序,得到的結果更加接近現實。從表6結果看,文獻[15]結果認為方案A5是最佳選擇,而本文方法的結果為方案A1是最佳選擇。

(28)

(29)

(30)

兩者之間的差異,可能是由于文獻[15]模型中的前景理論單純依靠單個概率計算概率權重,比較片面,且排序方式上更加主觀,導致結果較主觀。例如,方案A5的特斯拉汽車,區別于其他4款傳統汽車,是一款新能源汽車。所以相較于其他4個方案的傳統汽車更加新穎,或許由于慕新心理,導致有些專家主觀偏愛。因此本文模型更加有說服力。

3.3.2 與TOPSIS法比較結果分析

將累積前景理論與TOPSIS排序方式相結合,得到的結果為A3>A1>A2>A4>A5。本文方法與TOPSIS方法的差異只有排名前兩位的A1和A3不同,說明原方法確實偏主觀。在排序方法上,VIKOR方法在TOPSIS方法的基礎上提出了一個具有優勢率的折衷方案, 能夠同時考慮群體效用最大化和個體遺憾最小化以及融入決策者主觀偏好,因此具有更高的排序穩定性和可信度。得到的結果也更加接近現實,更加能夠證明本文方法的可行性和適用性。

3.3.3 與前景理論+VIKOR結合法比較結果分析

將前景理論與VIKOR排序方式相結合,得到的結果為A1>A5>A4>A3>A2。本文方法與前景理論+VIKOR方法得出的最優方法結論相同,說明引用VIKOR方法能更準確地得到最優結論,在考慮群體效用最大化和個體遺憾最小化的基礎上,能更好地反映決策者偏好,因此該方法得到的排序更加穩定可靠。

3.3.4 與改進的聚集算子比較結果分析

將文獻[26]提出的改進的聚集算子方法用到本文算例中,得到的結果為A3>A5>A4>A1>A2。結果與本文方法差別較大,本文方法假設決策者并不完全理性,說明在決策過程中,納入決策者心理特征是有必要且十分重要的。

4 結論

(1)將累積前景理論與VIKOR相結合,既完善了決策者的心理行為,又考慮了決策者的主觀偏好。

(2)摒棄傳統歐式距離的距離公式,采用加權的坎貝拉距離公式,使結果更加客觀。

(3)調節決策者確定客觀專家權重,通過最小相對熵原理主客觀結合確定綜合屬性權重值。

雖然在原有的方法上,本文方法進行了一定程度上的改進,使多屬性決策過程更加客觀;但是仍有需要深究改進之處。未來可考慮在決策過程中引入后悔理論等方法,從不同角度考量決策者的心理行為;且研究中的決策者數量較少,實例不夠復雜,在實際應用中的可行性還需要進一步考量。