基于LHS-CPSE的非侵入式邊坡可靠性分析方法及其應用

郭文禮

(蘭州有色冶金設計研究院有限公司, 蘭州 730000)

在房建工程、公路工程、鐵路工程等建設過程中,不可避免地遇到邊坡穩定性問題,如高路堤邊坡、深路塹邊坡等[1-3]。目前,主要采用極限平衡法求解邊坡穩定性,并借助單一安全系數表征其穩定程度[4]。但在實際工程中,部分安全系數滿足設計要求時邊坡也出現了失穩破壞,其關鍵原因之一是未考慮巖土體的不確定性。因此,顧及巖土變異性的邊坡穩定性分析已成為工程界巖土領域的研究熱點。此外,單一安全系數法也很難與國際接軌,以可靠度理論為基礎的極限狀態設計法將是邊坡設計的發展方向[5]。

傳統的可靠度分析方法主要是通過經驗和力學公式建立顯式功能函數,進而求解工程的可靠度或失效概率,如中心點法、驗算點法和當量正態化法等[6]。在簡單、非線性程度低的工程結構中,傳統可靠度分析法能夠得到較為滿意的結果。然而,巖土工程的變異性和高非線性導致其很難通過經驗或者力學公式準確表達其極限狀態函數,這勢必會影響可靠度分析結果的準確性。因此,隨機有限元應運而生,比較典型的有直接Monte-Carlo隨機有限元法[7]、泰勒展開隨機有限元法[8]、攝動隨機有限元法[9]、紐曼擴展Monte-Carlo隨機有限元法[10]和譜隨機有限元[11],這些方法有效地解決了復雜環境下巖土工程可靠性問題,但其抽樣次數巨大或者需要修改確定有限元程序,且對隨機變量的分布有嚴格要求。為了解決上述問題,非侵入式有限元得到了快速發展,該方法無需對確定有限元與可靠性計算進行相互耦合,一方面降低了計算的復雜性,另一方面有效提高了計算速率。此外,如果配合適合的抽樣技術,將會進一步減少非侵入式有限分析法的計算量,進而大幅提高計算效率。

基于上述思路,現提出一種基于拉丁超立方抽樣-切比雪夫多項式隨機展開模型(Latin hypercube sampling-Chebyshev polynomial stochastic expansion,LHS-CPSE)的非侵入式邊坡可靠性分析方法,該方法采用拉丁超立方抽樣技術(LHS)抽取巖土體的原始樣本,基于切比雪夫多項式隨機展開模型(CPSE)建立顯式響應面模型,借助蒙特卡洛法(Monte Carlo,MC)計算邊坡的可靠度,在兼顧準確性的同時,有效提高計算效率,快速地為工程設計和決策提供指導。同時,以蘭州市鹽什公路的一段邊坡為工程案例,將其計算結果與直接蒙特卡洛法進行對比,驗證新方法的可靠性,并將其應用在坡體開挖方案決策中。

1 LHS-CPSE非侵入可靠度模型

1.1 有限元折減強度法

極限平衡法與有限強度折減法是邊坡穩定性分析中的常用方法,與前者相比,后者不僅顧及了土體的彈塑性本構關系影響,而且還能較好地模擬坡體失穩過程和滑面的形狀。有限元強度折減法的主要思路是:將所要研究的邊坡巖土體強度指標按照一定的原則進行折減,直到邊坡發生失穩破壞,并將臨界破壞的強度折減系數作為邊坡安全系數[11-12]。折減前、后的土體強度指標之間的關系如下。

cs=c/Fs

(1)

tanφs=tanφ/Fs

(2)

式中:c、cs分別為折減前、后邊坡巖土體的黏聚力;φ、φs分別為折減前、后邊坡巖土體的內摩擦角;Fs為折減系數,即安全系數。

1.2 巖土屈服準則

巖土體作為一種天然材料,其工程特性十分復雜,巖土屈服準則雖多,但沒有一個屈服準則能夠準確描述巖土的各種工程性質。其中,摩爾-庫倫(MC)屈服準則是工程中應用最廣、最多的一種屈服準,但其在π平面上為不規則的六邊形,其棱角處為奇異點,為了消除這種影響,Drucker和Prager在Mises準則的基礎上進行改進,得到屈服準則,即DP屈服準則[13],其表達式如下。

(3)

I1=σ1+σ2+σ3

(4)

(5)

式中:I1為第一應變不變量;J2為第二偏應力不變量;Fs為折減系數;σ1、σ2、σ3分別為第一、第二、第三主應力;α、β為巖土材料常數。

1.3 拉丁超立方隨機抽樣

拉丁超立方隨機抽樣(LHS)最早由McKay等[14]提出,屬于多維分層抽樣范疇。LHS得到的樣本點不僅具有均勻分層特性,而且還能在大幅度減小樣本數量的情況下兼顧尾部樣本點,抽樣效率明顯高于普通的抽樣方法。LHS抽樣流程如下。

步驟1根據研究對象的特點,合理確定抽取的樣本數量m。

步驟2將隨每個隨機變量Xi(i=1,2,…,n)的分布函數均分為m段,即保證每段的概率相等且不重疊。

步驟3在每段隨機選取一個樣本點,組成m×n的樣本矩陣。

步驟4將各隨機變量的m個樣本隨機組合,得到輸入變量的樣本向量。

圖1為具有2個隨機變量(即n=2)的拉丁超立方隨機抽樣原理,其中抽取的樣本數量m=5。

圖1 隨機變量X1和X2分層抽樣和LHS抽樣Fig.1 Stratified sampling and LHS sampling of random variables X1 and X2

1.4 響應面模型建立

響應面實質上是輸入變量與響應變量之間建立的一種近似函數關系。目前,近似函數大多采用通用多項式進行擬合,然而它在擬合高度非線性關系時會出現病態問題。為了解決這一問題,本文采用切比雪夫多項式隨機展開模型(CPSE)[15]擬合安全系數Fs與輸入變量x之間的顯式函數關系式。

CPSE正交的遞推關系如下。

(6)

基于該正交基的顯示表達式為

(7)

式(7)中:xi1、xi2、xi3、…、xin為隨機變量;Sn(xi1,xi2,…,xin)為n階CPSE多項式;c0、ci1、ci1i2、…、ci1i2…in為待定系數,展開到n階時,待定系數個數為

Nc=(n+p)!/(n!+p!)

(8)

將拉丁超立方隨機抽樣產生的m組隨機變量通過Nataf正態變換法轉化為標準正態隨機變量[16],并代入到確定有限元,利用折減系數法得到m組安全系數Fs=[Fs1,Fs2,Fs3,…,Fsm]T,再將其代入式(7),可得到線性方程組為

HC=Fs

(9)

式(9)中:H為m×Nc維系數矩陣;C為待定系數矩陣。

利用最小二乘法,可求解待定系數矩陣C中各元素,即c0、ci1、ci1i2、…、ci1i2…in等,進而利用顯示函數表征隨機變量與安全系數的關系,最終建立邊坡穩定性功能函數為

Fs-L=0

(10)

式(10)中:L為邊坡設計安全系數,可參考相關規范的相關內容進行取值,取為1.0。

2 計算流程

傳統的可靠度分析方法,主要根據經驗或者力學公式構建顯式功能函數,進而求解工程的可靠度,在簡單、近似線性的工程結構中被廣泛應用。侵入式隨機有限分析雖然可求解復雜的非線性工程的可靠度,但大多需要對確定性有限元程序進行改寫,且計算流程煩瑣、計算量巨大。而非侵入式隨機有限元法,無需將可靠性計算與確定有限元進行相互耦合,不僅降低了求解難度,而且明顯提高了分析效率。

利用Python語言編制相關程序,并導入ABAQUS軟件中進行邊坡可靠度分析,其計算流程如圖2所示。

圖2 基于LHS-CPSE的非侵入可靠度分析流程Fig.2 Flow of non-intrusive reliability analysis based on LHS-CPSE

3 算例與驗證

選取蘭州市鹽什公路項目K13+025～K13+380段黃土邊坡為研究案例(圖3),地質勘察發現,邊坡以晚更新世黃土為主,土質均勻,以粉粒為主,結構疏松,具大孔隙,搖震反應迅速,無光澤,切面粗糙,干強度低、韌性低,稍濕、稍密,其強度指標統計參數如表1所示。邊坡高度29.1 m,按照坡面傾角的不同,大致劃分為上、中、下3段,傾角從下到上依次為67°、48°和35°(圖4)。修建公路時,部分邊坡需要開挖。

表1 邊坡土體強度指標統計參數Table 1 Statistical parameters for strength indicators of slope soils

圖3 邊坡現場照片Fig.3 Photo of the slope

圖4 邊坡剖面圖Fig.4 Slope profile

圖5為按照圖4所建的確定性有限元模型示意圖,網格單元為4節點平面應變單元,左側為位移約束(水平方向為0),底部為固定約束,并在所有單元施加重力荷載。

圖5 確定性有限元模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of the deterministic finite element model

可靠性分析中,其結果的準確性一般采用蒙特卡洛法(MC)進行驗證,表2給2階LHS-CPSE法、3階LHS-CPSE法以及MC法的可靠度。可以看出,3種方法的計算結果非常接近,可靠度均在95%左右,但3階LHS-CPSE法更接近MC法,誤差僅為0.15%,這表明LHS-CPSE法準確可靠,可以作為邊坡可靠度分析的一種新思路。此外,與MC法相比,2階LHS-CPSE法、3階LHS-CPSE法顯著的降低了計算時間,前者的計算時間為1 536 min,后兩者分別為28 min和77 min,分別為MC法計算時間的 0.02倍和0.05倍,這反映出LHS-CPSE法計算的高效性。值得注意的是, 2階LHS-CPSE法與3階LHS-CPSE法誤差僅為0.23%,但前者的計算時間約為后者的1/3,綜合精度和效率,建議采用2階LHS-CPSE法。

表2 可靠度計算結果對比Table 2 Comparison of reliability calculations

4 開挖對邊坡可靠度的影響

如圖6所示,為減小坡體開挖量V,進而節約工程造價,結合現場地質勘察資料,開挖后初步設計為三級邊坡,且各級坡面盡量與原坡面平行,以工況1為例,Ⅰ級邊坡和Ⅱ級邊坡的坡度設計為1∶0.5,Ⅲ級邊坡坡度設計為1∶1。 為增加邊坡開挖后的穩定性,在相鄰兩級邊坡之間設置邊坡平臺,Ⅱ級邊坡平臺(藍色線)設計寬度為2.0 m,Ⅰ級邊坡平臺(粉紅色線)寬度設計為7種工況(即L=3.0、3.5、4.0、4.5、5.5、5.5、6.0 m),進一步探討其對邊坡穩定性和可靠度的影響。

圖6 開挖方案Fig.6 Excavation scheme

圖7反映了Ⅰ級邊坡平臺寬度(簡稱平臺寬度)對其平均安全系數的影響,可以觀察到,隨著平臺寬度的增加,平均安全系數呈顯著的遞增趨勢,從寬度3.0 m的1.05增加至6.0 m的1.42,增幅達35.2%。這說明邊坡的平均安全系數與平臺寬度呈正相關,可以通過增大其寬度來提高坡體的穩定性,平臺寬度增加導致其上部土體質量減小是其穩定性提高的關鍵原因之一,即平臺寬度增加相當于對邊坡上部進行減載(當平臺寬度從3.0 m增加至6.0 m時,其上方的土體體積減小52 m3/m),致使其下滑力減少,間接增加邊坡的穩定性。

圖7 平臺寬度與平均安全系數的關系曲線Fig.7 Curve of platform width versus average safety factor

圖8為不同平臺寬度條件下邊坡的可靠度,很明顯,隨著平臺寬度的增加,邊坡的可靠度呈“先急劇增大,再趨于穩定”的態勢。當平臺寬度從3.0 m增加至4.5 m時,可靠度從81.5%增加至99.5%,增幅約為22%;平臺寬度從5.0 m至6.0 m,可靠度達到100%,即此時邊坡穩定性失效概率為0。

圖8 平臺寬度與可靠度的關系曲線Fig.8 Curve of platform width versus reliability

綜上所述,隨著平臺寬度的增加,坡體開挖量和穩定性呈遞增趨勢,但可靠度先急劇增大后趨于穩定,即平臺寬度從3.0 m增加至4.5 m時,寬度增加對其可靠度影響顯著,但超過4.5 m后,寬度增加對可靠度的影響非常小。兼顧工程造價與安全考慮,其邊坡平臺按照4.5 m設計較為合理,此時平均安全系數為1.26,失效概率僅為0.5%。

5 結論

(1)LHS-CPSE法采用拉丁超立方抽樣技術(LHS)抽取巖土體的原始樣本,基于切比雪夫多項式隨機展開模型(CPSE)建立響應面模型,借助蒙特卡洛法(MC)計算邊坡的可靠度。

(2)LHS-CPSE法與直接蒙特卡洛法結果非常接近,其誤差不到0.5%,且計算時間大幅度縮減,驗證了該方法的可靠性和高效性。

(3)3階CPSE隨機展開模型較2階CPSE隨機展開模型計算精度略高0.23%,但前者的計算效率是后者的1/3,兼顧精度和效率推薦采用2階 CPSE隨機展開模型。

(4)隨著Ⅰ級邊坡平臺寬度的增加,開挖量與邊坡平均安全系數呈遞增趨勢,但可靠度呈“先急劇增大,再趨于穩定”的態勢,兼顧工程造價與安全考慮,其邊坡平臺按照4.5 m設計較為合理。

(5)LHS-CPSE法能夠快速準確地計算邊坡的可靠度,可以為公路邊坡設計和決策提供技術支撐。