連續(xù)剛構(gòu)橋合龍頂推力計(jì)算方法研究

余錢華，唐兵，高齊松

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

近年來(lái)，隨著交通運(yùn)輸產(chǎn)業(yè)的飛速發(fā)展，橋梁發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。預(yù)應(yīng)力連續(xù)剛構(gòu)橋以其伸縮縫少、行車舒適、施工技術(shù)成熟、對(duì)復(fù)雜山區(qū)條件適應(yīng)性良好等優(yōu)勢(shì)，得到了快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用［1］。大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋在收縮徐變、溫度和荷載的影響下，會(huì)在跨中下?lián)?、墩頂處沿縱橋向發(fā)生水平位移，導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生較大的次內(nèi)力，這對(duì)橋梁的安全運(yùn)營(yíng)是頗為不利的。在施工中，常采用設(shè)置預(yù)拱度的方式抵消主梁在恒載作用下的撓度，并在中跨合龍口兩端施加一對(duì)大小適中的頂推力來(lái)減少主梁下?lián)弦鸬亩枕斂v橋向水平位移。許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量研究。鄒毅松等［2］通過(guò)力法方程推導(dǎo)了頂推力與墩頂相對(duì)水平位移的關(guān)系。仇明等［3］通過(guò)力學(xué)基本原理，推導(dǎo)了變截面箱梁墩頂相對(duì)水平位移的解析式。任翔等［4］以非對(duì)稱連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)橐劳?，分析了非?duì)稱頂推力與對(duì)稱頂推力對(duì)主梁撓度及橋墩受力的影響。顏東煌等［5］基于影響矩陣，分析了大跨PC連續(xù)剛構(gòu)橋在合龍段施工的預(yù)頂力優(yōu)化計(jì)算方法。宋健［6］計(jì)算了多跨連續(xù)剛構(gòu)橋在不同合龍順序下對(duì)應(yīng)的頂推力，得出合理的頂推力對(duì)成橋后期主梁線形平順及橋墩穩(wěn)定性有利的結(jié)論。吳鋒等［7］提出了連續(xù)剛構(gòu)橋基于多目標(biāo)線性規(guī)劃方法的合龍頂推力的計(jì)算方法。陳金盛［8］以結(jié)構(gòu)受力和變形為基礎(chǔ)，計(jì)算了橋梁合龍頂推力。本研究擬基于有約束的墩頂水平位移平方和最小化來(lái)計(jì)算頂推力，以期為類似工程提供參考。

1 優(yōu)化方法介紹

1.1 約束最優(yōu)化問(wèn)題

約束最優(yōu)化問(wèn)題［9］是指具有約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題。其最小化問(wèn)題的一般形式為：

可采用拉格朗日乘子法或罰函數(shù)法來(lái)求解。

1.2 合龍頂推力優(yōu)化

在橋梁后期運(yùn)營(yíng)階段，若橋梁墩頂無(wú)水平位移，橋墩底部所受彎矩相對(duì)較小，不會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的拉應(yīng)力，則墩底不存在開裂的風(fēng)險(xiǎn)，這種狀態(tài)被稱為理想狀態(tài)?；谠摾硐霠顟B(tài)，取橋梁雙肢薄壁墩每肢墩頂處的主梁截面為控制截面，在中跨合龍前施加一對(duì)頂推力，采用在后期運(yùn)營(yíng)階段中控制截面墩頂水平位移平方和最小的方法來(lái)求解最優(yōu)頂推力的大小?？刂平孛娑枕?shù)乃轿灰频姆匠探M為：

式中：di是優(yōu)化目標(biāo)階段第i個(gè)墩頂控制截面位移；xi是第i個(gè)合龍口處頂推力；aim是當(dāng)在第m個(gè)合龍口處施加單位力引起第i個(gè)墩頂控制截面位移；dig是無(wú)頂推時(shí)第i個(gè)墩頂控制截面位移。

1） 目標(biāo)函數(shù)。

如果每個(gè)控制截面的水平位移的平方能同時(shí)達(dá)到最小，這將是最理想的狀態(tài)，但在實(shí)際中這很難做到。因此，將每個(gè)控制截面水平位移的平方和作為最小化的目標(biāo)函數(shù)，其表達(dá)式為：

2） 約束方程。

在確定最優(yōu)頂推力時(shí)，需要確保橋墩底部不開裂，即墩底截面拉應(yīng)力、壓應(yīng)力均滿足《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG 3362—2018）的要求。因此，將墩底應(yīng)力作為約束條件，則該優(yōu)化問(wèn)題就變成了有約束優(yōu)化問(wèn)題。墩底應(yīng)力約束方程為：

式中：xi是第i個(gè)合龍口處頂推力；bim是當(dāng)在第m個(gè)合龍口處施加單位力引起第i個(gè)墩底控制截面應(yīng)力；σig是無(wú)頂推時(shí)第i個(gè)墩底控制截面應(yīng)力；σt、σc分別是施工階段允許拉應(yīng)力和允許壓應(yīng)力。

2 實(shí)例分析

2.1 工程概況

列夕特大橋是湖南省湘西州一座大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋，其孔跨布置為110＋235＋110 m。其連續(xù)箱梁預(yù)應(yīng)力采用縱向和豎向雙向預(yù)應(yīng)力體系，高度按1.8次拋物線變化，0號(hào)梁段高為14.59 m，中跨合龍梁段高為5.59 m。橋墩為雙肢空心矩形墩，1#墩高為53.00 m，2#墩高為64.00 m。橋梁立面和主梁橫斷面分別如圖1~2所示。主梁?jiǎn)蝹€(gè)T構(gòu)共28個(gè)節(jié)段，箱梁0#、1#塊各有長(zhǎng)為0.50 m的部分在托架上進(jìn)行施工，其總長(zhǎng)為16.00 m，其余梁段采用掛籃懸臂進(jìn)行澆筑。邊跨長(zhǎng)為3.50 m的現(xiàn)澆段采用搭設(shè)支架進(jìn)行澆筑。全橋按先邊跨，再中跨的順序合龍。

圖1 列夕特大橋立面布置圖（單位：m）Fig.1 Elevation layout of Lixi Bridge （unit： m）

圖2 列夕特大橋主梁橫斷面圖（單位：m）Fig.2 Cross section of main girder of Liexi Bridge （unit： m）

2.2 有限元模型建立

采用Midas Civil有限元軟件模擬列夕特大橋在施工階段及成橋10 a后的應(yīng)力與位移情況，橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型如圖3所示。主梁和橋墩均采用梁?jiǎn)卧M，主梁?jiǎn)卧膭澐忠栽摌蚪Y(jié)構(gòu)施工工序?yàn)橐罁?jù)，在橋墩過(guò)人孔處進(jìn)行單元細(xì)化。墩底采用固定約束，墩與梁連接采用彈性連接中的剛性連接。在搭設(shè)滿堂支架施工邊跨現(xiàn)澆段，選擇其中1個(gè)節(jié)點(diǎn)約束其豎向與縱向位移，其余節(jié)點(diǎn)僅約束其豎向位移，體系轉(zhuǎn)換后在邊跨支座處僅約束其豎向位移。

圖3 橋梁結(jié)構(gòu)有限元Midas Civil計(jì)算模型Fig.3 Finite element Midas Civil calculation model of bridge structure

2.3 合龍頂推力優(yōu)化計(jì)算

為分析單位頂推力對(duì)該橋成橋10 a后的墩頂水平位移和墩底應(yīng)力的影響，采用Midas Civil有限元軟件模擬整個(gè)橋梁的施工過(guò)程，計(jì)算和分析在跨中頂推階段分別施加1 000、2 000、3 000、4 000 kN的頂推力對(duì)成橋10 a后墩頂水平位移和墩底左、右緣應(yīng)力的影響，計(jì)算結(jié)果分別如圖4～6所示。在圖4～6中，規(guī)定位移右向?yàn)檎较?，左向?yàn)樨?fù)方向；規(guī)定應(yīng)力受拉為正，受壓為負(fù)。

圖4 成橋10 a后頂推力與墩頂水平位移關(guān)系Fig.4 Relationship between jacking thrust and horizontal displacement of pier top 10 years after completion of bridge

從圖4可以看出，當(dāng)只考慮頂推力變化，且橋梁整體結(jié)構(gòu)處于線彈性時(shí)，在一定范圍內(nèi)，墩頂水平位移與頂推力之間呈線性關(guān)系，即每增加1 000 kN的頂推力，在各側(cè)墩頂產(chǎn)生的水平位移增量的絕對(duì)值大致相同。這表明主梁的收縮徐變基本不受頂推力影響。1#墩每增加1 000 kN的頂推力，其墩頂水平位移減小11.8 mm；2#墩每增加1 000 kN的頂推力，其墩頂水平位移增加20.4 mm。

從圖5～6可以看出，當(dāng)只考慮頂推力變化，且橋梁整體結(jié)構(gòu)處于線彈性時(shí)，在一定范圍內(nèi)，墩底應(yīng)力與頂推力之間呈線性關(guān)系，即每施加1 000 kN頂推力，在1#、2#墩底左、右緣產(chǎn)生的應(yīng)力增量的絕對(duì)值基本不變。其中，1#墩外側(cè)左、右緣應(yīng)力增量的絕對(duì)值分別0.5、0.7 MPa；1#墩內(nèi)側(cè)左、右緣應(yīng)力增量的絕對(duì)值分別為0.7、0.5 MPa；2#墩內(nèi)側(cè)左、右緣應(yīng)力增量的絕對(duì)值分別為0.6、0.8 MPa；2#墩外側(cè)左、右緣應(yīng)力增量的絕對(duì)值分別為0.8、0.6 MPa。

圖5 成橋10 a后頂推力與墩底左緣應(yīng)力關(guān)系Fig.5 Relationship between thrust force and stress at left edge of pier bottom 10 years after completion of bridge

由于列夕特大橋只有一個(gè)中跨頂推合龍口，所以可將式（2）的墩頂截面位移表達(dá)式改寫為：

式中：d4×1是墩頂水平位移矩陣；A4×1是合龍頂推力位移影響系數(shù)矩陣；dg，4×1是無(wú)頂推初始位移矩陣。

d4×1與dg，4×1中每個(gè)元素的單位為mm，位移影響系數(shù)矩陣中每個(gè)元素的單位為mm/kN，合龍頂推力的單位為kN，其大小為合龍頂推力系數(shù)x的值乘1 000。同理，墩底應(yīng)力也可改寫為：

式中：σ4×1是墩底應(yīng)力矩陣；B4×1是合龍頂推力應(yīng)力影響系數(shù)矩陣；σg，4×1是無(wú)頂推初始應(yīng)力矩陣。

分析圖4，可得到墩頂水平位移矩陣：

分析圖5，可得墩底左緣應(yīng)力矩：

分析圖6，可得墩底右緣應(yīng)力矩陣：

圖6 成橋10 a后頂推力與墩底右緣應(yīng)力關(guān)系Fig.6 Relationship between thrust force and stress at the right edge of pier bottom 10 years after completion of bridge

取成橋10 a后為優(yōu)化目標(biāo)階段，則有：

其中，

墩底左緣應(yīng)力約束條件為：

墩底右緣應(yīng)力約束條件為：

利用MATLAB數(shù)值計(jì)算軟件，對(duì)式（7）～（10）的約束規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解，得到頂推力系數(shù)x為2.788，由于這些位移影響系數(shù)矩陣、應(yīng)力影響系數(shù)矩陣是按合龍頂推力每增加1 000 kN計(jì)算得到的，考慮該橋具體情況，其頂推力應(yīng)為2 788 kN，再考慮施工中千斤頂施加力的方便性，最終，將施工頂推力取整為2 800 kN。

2.4 頂推合龍階段橋墩應(yīng)力驗(yàn)算

在按頂推合龍方案的施工階段，分別計(jì)算墩頂、墩底截面的應(yīng)力，結(jié)果見表1。

表1 頂推階段橋墩截面應(yīng)力Table 1 Pier section stress in the pushing stage MPa

由表1可知，在施加2 800 kN頂推力的合龍階段，在1#墩墩頂外側(cè)左緣、2#墩墩頂右緣位置均出現(xiàn)了拉應(yīng)力，其中，最大拉應(yīng)力為0.86 MPa，出現(xiàn)在2#墩外側(cè)右緣，最大壓應(yīng)力為7.31 MPa，出現(xiàn)在2#墩內(nèi)側(cè)左緣。在該合龍過(guò)程中出現(xiàn)的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力均符合《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG 3362—2018）中的要求。據(jù)此可判斷：在頂推過(guò)程中，橋墩強(qiáng)度滿足規(guī)范要求，可確保頂推過(guò)程中的橋梁安全。

3 頂推合龍對(duì)橋梁應(yīng)力及變形分析

文獻(xiàn)［10］～［12］分析了按頂推合龍方案施工對(duì)橋梁線形及應(yīng)力等方面的影響。本文以成橋10 a后為分析階段，分別比較了在恒載作用下，無(wú)頂推合龍與頂推合龍兩種方案對(duì)主梁應(yīng)力、主梁豎向位移、墩頂水平位移、墩底應(yīng)力的影響。

3.1 主梁應(yīng)力對(duì)比分析

在對(duì)主梁應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比和分析時(shí)，考慮在恒載作用下，成橋10 a后，無(wú)頂推合龍與頂推合龍兩種方案對(duì)主梁上緣應(yīng)力、下緣應(yīng)力的影響，兩種方案的計(jì)算結(jié)果分別如圖7～8所示。

圖7 恒載作用下10 a后主梁上緣應(yīng)力Fig.7 tress on upper edge of main beam after 10 years under dead load

圖8 恒載作用下10 a后主梁下緣應(yīng)力Fig.8 Stress at lower edge of main beam after 10 years under dead load

從圖7～8可看出，兩種合龍方案對(duì)主梁應(yīng)力變化均不明顯。在橋梁跨中區(qū)域，頂推合龍與無(wú)頂推合龍兩種方案的主梁上緣最大壓應(yīng)力分別為12.31和12.00 MPa，兩者幾乎相等；頂推合龍與無(wú)頂推合龍兩種方案的主梁下緣最大壓應(yīng)力分別為12.99和13.20 MPa，兩者的差值為0.21 MPa。這主要由于頂推反力主要由橋墩變形承擔(dān)，在橋梁運(yùn)營(yíng)10 a后，該變形會(huì)被混凝土收縮徐變抵消一部分，其頂推反力也將減少。

3.2 主梁豎向位移對(duì)比分析

在對(duì)主梁的豎向位移進(jìn)行對(duì)比和分析時(shí)，考慮在恒載作用下，成橋10 a后，無(wú)頂推合龍與頂推合龍兩種方案對(duì)主梁豎向位移的影響，兩種方案的計(jì)算結(jié)果如圖9所示。

圖9 恒載作用下10 a后主梁豎向位移Fig.9 Vertical displacement of main beam under dead load after 10 years

從圖9可以看出，頂推合龍方案的邊跨豎向位移略大于無(wú)頂推合龍方案的。在靠近2#墩邊跨跨中截面，兩種方案的豎向位移相差最大，頂推合龍的豎向位移為-29.15 mm，而無(wú)頂推合龍的豎向位移為-22.07 mm，其差值為7.08 mm。無(wú)頂推合龍引起的中跨豎向位移明顯大于頂推合龍的，在靠近跨中截面，兩種方案的豎向位移相差最大，無(wú)頂推合龍的豎向位移為-88.74 mm，而頂推合龍的豎向位移為-56.72 mm，其差值為32.02 mm。在頂推作用下，橋墩會(huì)往各自邊跨支座方向發(fā)生變形，根據(jù)墩頂處的變形協(xié)調(diào)條件，主梁跨中會(huì)產(chǎn)生向上的位移，邊跨會(huì)產(chǎn)生向下的位移，這對(duì)改善橋梁由于收縮徐變引起跨中下?lián)蠁?wèn)題是有利的。但僅依靠頂推作用，并不能完全解決主梁下?lián)蠁?wèn)題，因此，必須在施工過(guò)程中，給橋梁施加合理的預(yù)拱度。

3.3 橋墩墩頂水平位移對(duì)比分析

在對(duì)墩頂水平位移進(jìn)行對(duì)比和分析時(shí)，考慮恒載作用下，成橋10 a后，無(wú)頂推合龍與頂推合龍兩種方案對(duì)墩頂水平位移的影響，兩種方案的計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 成橋10 a后墩頂水平位移Table 2 Horizontal displacement of pier top 10 years after completion of bridge mm

由表2可知，1#墩內(nèi)、外側(cè)的頂推量分別為33.18、33.12 mm，分別占其無(wú)頂推總水平位移的87%、109%；2#墩內(nèi)、外側(cè)的頂推量分別為57.27、57.35 mm，分別占無(wú)頂推水平位移的110%、96%。2#墩相應(yīng)位置的頂推量均大于1#墩的，這主要由于2#墩位置較高，其抗推剛度較小。通過(guò)對(duì)成橋10 a后墩頂水平位移的分析與比較，頂推合龍的墩頂?shù)淖畲笏轿灰茷?.02 mm。頂推合龍方案能較好地確保橋墩處于垂直狀態(tài)。

3.4 橋墩墩底應(yīng)力對(duì)比分析

在對(duì)墩底應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比和分析時(shí)，考慮在恒載作用下，成橋10 a后，無(wú)頂推合龍與頂推合龍兩種方案對(duì)墩底應(yīng)力的影響，兩種方案的計(jì)算結(jié)果見表3。

表3 恒載作用下10 a后墩底應(yīng)力Table 3 Pier bottom stress after 10 years under dead load MPa

由表3可知，頂推合龍墩底壓應(yīng)力分布較均勻，其最小壓應(yīng)力為2.32 MPa，各墩內(nèi)外側(cè)都有一定的壓應(yīng)力儲(chǔ)備。在無(wú)頂推合龍方案中，2#墩外側(cè)右緣壓應(yīng)力僅為0.43 MPa。因此，在之后的橋梁運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，荷載及溫度變化可能使橋梁產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力，導(dǎo)致混凝土開裂。

4 合龍溫差對(duì)頂推力的影響

對(duì)于連續(xù)剛構(gòu)橋這種超靜定結(jié)構(gòu)，溫度變化會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生溫度次應(yīng)力。在實(shí)際施工過(guò)程中，令實(shí)際合龍溫度與設(shè)計(jì)合龍溫度之間的差為△t，即△t=t1-t0（t1為實(shí)際合龍溫度，t0為設(shè)計(jì)合龍溫度），則由其導(dǎo)致的主梁伸長(zhǎng)或縮短的水平位移必須依靠附加頂推力來(lái)補(bǔ)償。如果t1較高，則應(yīng)增加頂推力，使頂推的水平位移加大。嚴(yán)宗雪等［13］在研究斜拉橋合龍頂推力時(shí)，發(fā)現(xiàn)合龍溫差對(duì)頂推力的影響不可忽略。劉文強(qiáng)等［14］對(duì)剛構(gòu)-連續(xù)組合體系梁橋合龍溫度進(jìn)行了分析，得出合龍溫度在允許范圍內(nèi)越低越好的結(jié)論。徐鵬等［15］研究了溫度對(duì)墩頂水平位移的影響，提出附加頂推力為主墩水平剛度與主梁墩頂水平位移的乘積的結(jié)論。當(dāng)t1>t0，該合龍方案為高溫合龍，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為降溫效應(yīng)，墩頂會(huì)向中跨方向產(chǎn)生水平位移，合龍時(shí)需要增大頂推力來(lái)抵消此位移；當(dāng)t1

表4 溫差荷載作用下各墩頂中心水平位移Table 4 Horizontal displacement of pier tops under temperature difference load mm

由表4可知，在一定范圍內(nèi)，1#、2#墩頂中心水平位移與溫差呈線性變化，△t每增加5 ℃，1#墩的墩頂水平位移向右增加4.44 mm，2#墩的墩頂中心水平位移向左增加7.32 mm。即單位溫差作用下，1#墩的墩頂中心水平位移會(huì)向右增加約0.89 mm， 2#墩的墩頂中心水平位移會(huì)向左增加約1.46 mm。

從圖4可以看出，在此種位移情況下，換算得到所需頂推力的溫差系數(shù)分別為75.41、71.57，取兩者平均值73.49作為頂推力溫差系數(shù)。因此，考慮合龍溫差的頂推力優(yōu)化計(jì)算公式為：

5 結(jié)論

1） 當(dāng)只考慮頂推力變化，且橋梁整體結(jié)構(gòu)處于線彈性時(shí)，在一定范圍內(nèi)，頂推力與墩頂水平位移、墩底應(yīng)力之間基本均呈線性關(guān)系。

2） 通過(guò)對(duì)頂推施工階段的墩底應(yīng)力進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，在合龍過(guò)程中出現(xiàn)的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力均符合《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG 3362—2018）中的要求。因此，在橋梁頂推過(guò)程中，橋墩強(qiáng)度可滿足規(guī)范要求，橋梁結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)。

3） 無(wú)頂推合龍方案和頂推合龍方案的主梁應(yīng)力變化均不明顯，特別在跨中區(qū)域，兩種施工方案的主梁應(yīng)力幾乎相等，兩種方案在邊跨處的應(yīng)力稍有區(qū)別，其應(yīng)力最大差值為0.31 MPa，該應(yīng)力差值出現(xiàn)在靠近2#墩頂?shù)倪吙缣帯?/p>

4） 按頂推合龍方案進(jìn)行施工，可有效地改善橋梁因混凝土收縮徐變引起的跨中下?lián)蠁?wèn)題，與按無(wú)頂推合龍方案進(jìn)行施工相比，其跨中豎向位移最多減少了32.01 mm，改善效果顯著。

5） 無(wú)頂推合龍方案與頂推合龍兩種方案的橋墩最大水平位移分別為59.92、5.02 mm。這表明頂推合龍方案能更有效地減小墩頂?shù)乃狡唬芨玫卮_保橋墩處于垂直狀態(tài)，提高橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性，這對(duì)橋墩受力是非常有利的。

6） 若按無(wú)頂推合龍方案施工，橋梁最小壓應(yīng)力為0.43 MPa；若按頂推合龍方案進(jìn)行施工，橋梁最小壓應(yīng)力為2.32 MPa，表明頂推方案合理、可行。

7） 在頂推合龍的過(guò)程中，要考慮合龍溫度對(duì)頂推的影響。墩頂中心水平位移與溫差之間呈線性關(guān)系，實(shí)際合龍溫度比設(shè)計(jì)合龍溫度每升高1 ℃，須額外施加73.49 kN的頂推力。