“用100以內的加減法解決的實際問題”的內容分析及教學建議

李小元

［摘 要］在分析西師版教材中“用100以內的加減法解決的實際問題”的基礎上，給出相關教學建議：根據實際問題的數量關系類別，梳理數量關系的滲透分布情況；按語義結構類別，對實際問題情境進行分類統計分析；依據分析結果提出重視用加減法的含義理解基本數量關系、增加基本數量關系的變式問題、自然滲透解決問題的步驟與方法。

［關鍵詞］100以內的加減法；實際問題；內容分析；教學建議

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0078-03

新課改以來，小學數學新教材打破傳統教材中“應用題”編排體系，讓實際問題跟隨各領域知識的學習進行編排。新課標中沒有明確要求哪個年級應該出現哪些實際問題，新教材對簡單實際問題的內容體系的體現也不明顯，使得部分一線教師對簡單實際問題要教什么、教到什么程度的理解不夠。筆者從數量關系、問題情境的語義結構兩個角度，對西師版教材中“用100以內的加減法解決的實際問題”的例題和習題進行梳理和分析，同時提出教學建議。

一、教材中數量關系知識的滲透情況

在課程改革以前，我國傳統小學數學教材中有11種簡單的應用題，其中的數量關系可歸納為四類：部總關系、相差關系、份總關系、倍數關系。

部總關系、份總關系實際上就是“合”與“分”的關系。“合”的計算方法有加法和乘法，用加法求總數或求被減數，用乘法求相同加數的和?！胺帧钡挠嬎惴椒ㄓ袦p法和除法，用減法求剩余、求減數、求加數，用除法解決“把一個數平均分成幾份”和“求一個數包含幾份另一個數”問題。

相差關系、倍數關系都是對兩個數量進行比較，一般稱為比較關系。相差關系的計算方法有減法和加法，用減法求“兩數相差多少”和“比一個數少幾的數”，用加法求“比一個數多幾的數”。倍數關系的計算方法有除法和乘法，用除法解決“求一個數是另一個數的幾倍”和“已知一個數的幾倍是多少，求這個數”，用乘法求“一個數的幾倍是多少”。

雖然這一整套“傳統應用題”的類型名稱和數量關系式不要求教給學生（因為學生面對一個實際問題時選擇運算方法的主要依據是運算的含義），但是教師應該做到心里有數，因為厘清數量關系在教材的滲透情況，有助于教師把握教學的脈絡和處理教材。

2012年出版的西師版教材中，“用100以內的加減法解決的實際問題”主要涉及兩類數量關系：一是部總關系，部分量+部分量=總量，總量-部分量=部分量；二是相差關系，較大數-較小數=相差數，較大數-相差數=較小數，較小數+相差數=較大數。

部總關系的數量關系，主要滲透在一年級上冊第二、三單元“10以內數的認識和加減法（一）”“10以內數的認識和加減法（二）”，以及一年級上冊第五、六單元“20以內的進位加法”“20以內的退位減法”內容中。在“10以內的加法和減法（一）”“10以內的加法和減法（二）”這兩個單元中，教材側重通過“看圖寫算式”的形式引導學生理解加、減運算的含義，并用加法或減法算式表示現實情境中的數量關系。在“20以內的進位加法”“20以內的退位減法”這兩個單元中，教材通過對話、表格以及圖文結合的形式，給出一些結構相對完整的實際問題，引導學生聯想加、減運算的含義，將實際問題轉化為相應的數學問題，并列式解答。

相差關系主要滲透在一年級下冊和二年級下冊的計算教學中。其中，“求一個數比另一個數多（或少）多少”的實際問題，主要集中在一年級下冊第四、七單元“100以內的加法和減法（一）”“100以內的加法和減法（二）”。而“求比一個數多（或少）的數是多少”的實際問題，沒有緊跟著編排在“求一個數比另一個數多（或少）多少”的實際問題之后，而是在二年級下冊第三單元“三位數的加減法”中才首次出現。教材兩次滲透相差關系的時間間隔將近一個學年，二年級上冊教材中也沒有例題和習題涉及相差關系。

二、問題情境的語義結構分類統計

我們經常說，加法解決“兩部分合起來一共有多少”的問題，減法解決“求還剩多少”的問題。僅僅是這樣嗎？從卡朋特和默澤爾的研究成果可知，依據問題情境的語義結構，用加減法解決的實際問題可分為合并型、變化型、比較型3個大類型，每一個大類型的實際問題都涉及加法和減法，共細分為8個子類型。筆者以8個子類型的語義結構為標準，對西師版教材中出現的“用100以內的加減法解決的實際問題”問題進行分類統計，結果見表1。

從各子類型題量在總體中的占比來看，總量未知題的數量占比接近40%，結束量未知題和差值未知題的數量占比都達到20%，說明西師版教材非常重視合并型總量未知題、變化型結束量未知題、比較型差值未知題這三個子類型的基本數量關系的滲透。由基本數量關系變式而來的實際問題的題量非常少，合并型部分量未知題的題量占比為10%左右，而變化型中變化量未知題、起始量未知題，以及比較型中較大數未知題、較小數未知題在教材中只有幾道，占比都不足4%。

分類梳理例題和習題后發現，西師版教材中滲透3個基本數量關系的例題的數量較多，其他5個類型的例題極少，變化量未知題1道例題也沒有。教材中出現的“用100以內加減法解決的實際問題”例題有45道，只有5道例題以“問題解決”形式用于實際問題的教學，其中總量未知題2道，部分量未知題1道，差值未知題2道。在其余的40道例題中，教材側重呈現加減運算的計算方法，沒有提供問題解決的一般步驟，缺乏教學數量關系和問題解決方法的內容。教材從二年級上冊開始設置“問題解決”專題課，側重于問題解決的基本方法的教學。

三、教學建議

1.重視用加減法的含義理解基本數量關系

西師版教材中，“用100以內的加減法解決的實際問題”的例題和習題數量非常充足。教學中不能僅僅把這些例題作為引入計算的情境，還要把這些例題作為教學運用加減法的含義理解數量關系的載體，讓學生結合計算內容的學習初步理解加、減法的含義，形成依據加、減法的含義理解數量關系、選擇運算方法解決實際問題的思路。

例如，教學“5以內數的加減法”例1時，讓學生看圖說圖意“2輛小轎車和1輛小轎車，合起來是3輛小轎車”，引導學生明確其意義可以用“2+1=3”這樣的加法算式來表示，使學生初步體會到加法能表示“把兩部分合起來”，在類似的實際問題教學中滲透合并型的基本數量關系“部分量+部分量=總量”。同樣，引導學生感知“原來的與增加的合并起來就是現在的”“把原來的分成兩部分，拿走一部分就剩下另一部分”這樣的問題情境，讓學生依據加、減法的含義列出算式，同時滲透變化型實際問題的基本數量關系“起始量+變化量=結束量”“起始量-變化量=結束量”。

2.增加基本數量關系的變式問題

適當增加一些變式問題情境，一方面能使學生在理解變式問題情境、選擇運算方法解決問題的過程中不斷豐富對加、減法含義的理解；另一方面能使學生了解更多的實際問題的呈現方式、結構特點以及數量關系，積累分析和解決實際問題的經驗。

合并關系“部分量+部分量=總量”可變式為“部分量=總量-部分量”。合并關系可拓展成變化型（增加）的基本數量關系“起始量+變化量=結束量”，還可進一步變式為“結束量-變化量=起始量”和“結束量-起始量=變化量”。

變化型（減少）的基本數量關系為“起始量-變化量=結束量”，其變式就是“結束量+變化量=起始量”和“起始量-結束量=變化量”，也就是求被減數和減數的實際問題。教學時可增加這樣類型的問題：“碗里有25顆球，拿走了一些球，還剩3顆球。拿走了多少顆球？”首先讓學生明確“原來的球分為拿走的和還剩的這兩部分”，得出“原來的球-拿走的球=還剩的球”這一基本數量關系；然后追問：“要求還剩多少顆球，只要從原來的25顆球中去掉什么就可以了？”學生由此明確“要求拿走多少顆球，只要從原來的25顆球中去掉還剩下的3顆球就可以了”，依據減法的含義列出算式“25-3=22”。至此，學生建立了數量關系“原來的球-還剩的球=拿走的球”（起始量-結束量=變化量）。同樣的思路，可以建立數量關系“變化量+結束量=起始量”。

比較型較大數未知題和較小數未知題，就是“求比一個數多（或少）的數是多少”的實際問題。教材中給出的2道例題以計算方法教學為主，教學中要重視引導學生利用直觀手段分析數量關系。例如，教學問題“小明有13顆球，小紅比小明多2顆。小紅有多少顆球？”時，首先明確“小明的球的顆數是較小數，小紅的球的顆數是較大數”；然后讓學生通過一一對應擺圓片表征題意：第一行擺13個圓片表示小明的球，因為小紅比小明多2顆，所以第二行先擺出和小明同樣多的13個圓片，再接著擺出2個圓片表示多的球；再分析解題思路：小紅的球（較大數）可以分成兩個部分，一部分是和小明同樣多的13顆球（較小數），另一部分是比小明多出的2顆球（相差數），要求小紅有多少顆球（較大數），就要把這兩個部分合起來，列出加法算式“13+2=15”。這樣，學生建立起數量關系“較小數+相差數=較大數”。

教學中，還要讓學生通過辨析來理解數量關系。例如，解答“小明有13顆球，小明比小紅少2顆。小紅有多少顆球？”時，很多學生僅憑個別關鍵詞語選擇計算方法，見到“多”就加，見到“少”就減，這顯然是錯誤的。因此，教學時教師要通過比較引導學生思考：“小明比小紅少2顆球，說明誰的球多些，誰的球少些，相差幾顆球？”學生得出“小紅的多些，也就是較大數；小明的少些，也就是較小數；相差2”，明白應該將小紅的球的顆數（較大數）分成兩部分，一部分是和小明的球的顆數同樣多的13顆（較小數），另一部分是相差的2顆（相差數），和小明的顆數同樣多的13顆（較小數）與相差的2顆（相差數）合并起來等于小紅的球的顆數（較大數）。同樣的思路，對于“小紅有15顆球，小紅比小明多2顆。小明有多少顆球？”這個問題，從小紅的球的顆數（較大數）中去掉相差的2顆（相差數）就等于小明的球的顆數（較小數）。經過思考，學生建立了“較大數-相差數=較小數”“較小數+相差數=較大數”這兩個數量關系，以及相應的分析思考方法，突破思維定式。

3.自然滲透解決問題的步驟與方法

筆者認為，從一年級加減法教學開始，就要自然滲透解決問題的步驟與方法。

一是怎樣理解問題。一年級開始就要逐步培養學生精準提取信息的能力。比如，圖畫、文字相結合的實際問題，就需要解讀文字信息，有的題目還要從圖畫和文字中找到隱含的信息。有的題目有多余信息的干擾，要引導學生排除這些無關信息。還要注重從圖畫向文字的過渡，學生找到條件和問題后，要讓學生說一說完整的題目，這樣有助于學生整體把握要解決的問題和已知條件，感知條件與問題之間存在的數量關系。

二是怎樣分析問題。簡單實際問題教學中，畫圖是最常用、出現次數最多的一種分析方法，要讓學生經歷畫圖的過程，通過畫圖來厘清數量關系。還要重視學生解答問題習慣的培養，包括規范列式、正確運算、良好的書寫等習慣，都需要在日常教學中一點一滴地培養。

三是怎樣進行檢驗、回顧與反思。簡單實際問題教學中，重視滲透運用相關的另一個數量關系來檢驗答案是否正確的方法，以及引導學生回顧實際問題的具體分析思路，體會分析方法的好處，從而實現舉一反三。