次線性期望下m-END序列加權和的幾乎處處收斂性

譚希麗, 董 賀, 孫佩宇, 張 勇

(1. 北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013; 2. 吉林大學 數學研究所, 長春 130012)

1 引言與預備知識

隨著信息技術的飛速發展, 需要處理的高維隨機數據也逐漸增多, 因此在統計、 金融和風險度量等領域出現了不確定性的實際問題, 而經典概率理論在處理這類非線性問題時有很大的局限性. 為此, Peng[1-3]提出了次線性期望完整的理論體系, 該體系可以很好地解決實際問題中的非線性問題. 目前, 次線性期望空間下的理論已得到廣泛關注, 例如: Zhang[4-6]得到了次線性期望下廣義獨立和END(extended negatively dependent)隨機變量序列的強極限定理、 矩不等式和Rosenthal不等式; Guo等[7-8]得到了次線性期望下m相依隨機變量序列的中偏差和生成線性過程的中心極限定理; Dong等[9]研究了次線性期望下m-END隨機變量陣列加權和的完全收斂性.

強大數定律是衡量數據序列穩定性的重要指標. 在Peng[1-3]的理論基礎上, 研究者們已把概率空間下的強大數定律推廣到了次線性期望空間下, 例如: Zhang等[10]得到了次線性期望下的Marcinkiewicz強大數定律; Hu[11]證明了次線性期望下一般矩條件的強大數定律; Chen等[12]得到了次線性期望下ND(negatively dependent)隨機變量序列的強大數定律; Wang等[13]得到了次線性期望下END序列的幾乎處處收斂性; 譚希麗等[14]研究了次線性期望下WOD(widely orthant dependent)隨機變量序列加權和的幾乎處處收斂性; Zhan等[15]得到了次線性期望下END隨機變量序列加權和的幾乎處處收斂性; 文獻[16-17]分別證明了次線性期望空間下END列加權和與END列Jamison型加權和的幾乎處處收斂性. 本文討論次線性期望下m-END隨機變量序列的強大數定律, 并將經典概率空間中END序列的幾乎處處收斂性推廣到次線性期望下的m-END序列中.

這里常數c>0,m∈依賴于φ.稱為隨機變量空間, 記為X∈.

1)V(Φ)=0,V(Ω)=1;

其中Ac為A的補集.

定義3[5]Choquet積分為

則隨機變量序列{Xn,n≥1}稱為上(下)END序列, 其中非負函數φi∈Cl,Lip()是非降(非增)的.如果該序列既是上END序列又是下END序列, 則稱該序列是END序列.

受END定義的啟發, Dong等[9]給出了次線性期望空間下m-END序列的定義.

|ik-ij|≥m, 1≤k≠j≤n,

這里非負函數φi∈Cl,Lip()是非降(非增)的.如果該序列既是上m-END序列又是下m-END序列, 則稱該序列是m-END序列.

顯然, 如果{Xn,n≥1}是m-END隨機變量序列,f1(x),f2(x),…∈Cl,Lip()都是非降(或非增)函數, 則{fn(Xn),n≥1}也是m-END隨機變量序列.

(1)

則存在一個正常數Cp≥1, 使得對?x>0, 0<δ≤1,n≥m, 有

(2)

其中K是m-END隨機變量序列定義的控制常數.

2 主要結果

定理1設{Xn,n≥1}是次線性期望下的上m-END隨機變量序列, 容度V具有可數次可加性.存在一個隨機變量X, 使得對00), 滿足

(3)

(4)

當p≥1時, 假設

(5)

令{ank,n≥1, 1≤k≤n}是正實數列, 使得

(6)

則

(7)

此外, 如果{Xn,n≥1}是下m-END隨機變量序列, 則

(8)

(9)

則對于1≤p≤2, 有

(10)

注意到

因此對?c>0, 有

(11)

再注意到

因此由式(11)可得

(12)

對于上m-END隨機變量序列{Xn,n≥1}, 為確保截斷后的隨機變量也是上m-END隨機變量序列, 需要截斷函數屬于Cl,Lip且是非降的, 對任意的1≤k≤n,n≥1, 有fc(x)=-cI(x<-c)+xI(|x|≤c)+cI(x>c), 記

Y=f(ε/32)n1/p(X),Z=X-Y.

由于fc(x)∈Cl,Lip且是非降的, 因此{Yk, 1≤k≤n,n≥1}也是上m-END隨機變量序列.注意到

因此要證明式(7), 只需證

對于0<μ<1, 假設函數g(x)∈Cl,Lip(), 且g(x)在x≥0上單調下降, 使得?x∈, 有0≤g(x)≤1; 當|x|≤μ時,g(x)=1; 當|x|>1時,g(x)=0.則有

I(|x|≤μ)≤g(|x|)≤I(|x|≤1),I(|x|>1)≤1-g(|x|)≤I(|x|>μ).

(13)

因此V(Zk≠0, i.o.)=0.由引理2、 V具有可數次可加性和式(6)可得

(14)

其次, 證明|I3|→0, a.s.n→∞.對任意的r>0, 結合Cr不等式和式(13), 可得

因此

(i) 0

由式(11)和V(|X|>μn1/p)(n≥1)是遞減的, 可得

因此

I″→0,n→∞.

(16)

對于0<μ<1, 令gj(x)∈Cl,Lip()(j≥1), 使得?x∈, 有0≤gj(x)≤1; 當2(j-1)/p<|X|≤2j/p時,當|x|≤μ2(j-1)/p或|x|>(1+μ)2j/p時,則有

(17)

對每個n, 均存在一個常數k, 使得2k-1≤n<2k, 結合式(17)及g(x)在x≥0上單調下降, 可得

由式(12)可得

I′→0,n→∞.

(18)

再結合式(16)和式(18)可得

I3→0,n→∞.

(19)

再結合式(5)和式(6), 可得

綜合(i)和(ii), 并結合式(19)和式(20), 可得

I3→0,n→∞.

(21)

下面證明I21<∞和I22<∞.先證I21<∞, 由式(6)和式(15), 可得

由式(12)得

只需證I212<∞.由式(12)和q≥2, 可得

即I21<∞.

下面證明I22<∞.因為

所以

對?ε>0, 根據引理2和式(22), 可得

(23)

再結合式(14)、 式(19)和式(23), 可得式(7)成立.

如果{Xn,n≥1}是下m-END隨機變量序列, 則{-Xn,n≥1}是上m-END隨機變量序列, 且{-Xn,n≥1}也滿足定理的條件, 所以可用{-Xn,n≥1}代替{Xn,n≥1}, 并代入式(7)得

從而有

即式(8)成立.證畢.

即推論1的條件滿足定理1的條件, 因此直接可得結論.

定理2設{X,Xn,n≥1}是次線性期望下同分布的上m-END隨機變量序列, 容度V具有可數次可加性, 滿足

(24)

令{ank,n≥1, 1≤k≤n}是正實數列, 使得

(25)

則

(26)

此外, 如果{Xn,n≥1}是同分布的下m-END隨機變量序列, 則

(27)

特別地, 如果{Xn,n≥1}是同分布的m-END隨機變量序列, 則

(28)

(29)

對于上m-END隨機變量序列{Xn,n≥1}, 為確保截斷后的隨機變量也是上m-END隨機變量序列, 需要截斷函數屬于Cl,Lip且是非降的, 對任意的1≤k≤n,n≥1, 設fc(x)=-cI(x<-c)+xI(|x|≤c)+cI(x>c), 記

Yk=-nI(Xk<-n)+XkI(|Xk|≤n)+nI(Xk>n),

Zk=Xk-Yk=(Xk+n)I(Xk<-n)+(Xk-n)I(Xk>n),

由定義6可知, {Yk, 1≤k≤n,n≥1}和{Zk, 1≤k≤n,n≥1}也是上m-END隨機變量序列.

注意到

因此為證式(26), 只需證

(30)

因此V(Zk≠0, i.o.)=0, 由引理2和V具有可數次可加性, 并結合式(25)可得

因此

對?ε>0, 根據引理2可得

(32)

再結合式(31)和式(32), 可得式(26)成立.

從而有

即式(27)成立.

特別地, 如果{Xn,n≥1}是m-END隨機變量序列, 則式(28)可直接由式(26)和式(27)得到.證畢.

注1在經典概率空間下, 定理1將文獻[16]中的定理1推廣到了次線性期望空間, 得到了更一般的結果.在次線性期望空間下, 定理1和推論1分別將文獻[13]中的定理1和文獻[15]中的推論3.1從END隨機變量序列推廣到了m-END隨機變量序列.

注2定理2將文獻[18]中的定理2從經典概率空間推廣到了次線性期望空間. 在次線性期望空間下, 定理2將文獻[15]中的END隨機變量序列的相關結果推廣到了m-END隨機變量序列, 得到了更具一般性的結果.且當0≤p≤1時, 定理1的條件強于定理2.

注3當m=1時,m-END隨機變量序列即為END隨機變量序列. 由于END隨機變量序列包括ND等隨機變量序列, 因此定理1、 推論1和定理2對END和ND等一類隨機變量序列仍有效. 本文結果可應用于股票期權定價等金融、 保險的不確定性問題中.