橢圓型方程（組）可解性研究

徐晶晶，鐘金標(biāo)，李小帥，趙舵舵

（1.安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133；2.武警特種警察學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 102211；3.池州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院，安徽 池州 232038）

橢圓型方程（組）邊值問(wèn)題與雙調(diào)和方程邊值問(wèn)題是偏微分方程研究領(lǐng)域的重要研內(nèi)

容之一[1-4]。張亞靜等[1]利用集中緊性原理和山路定理，證明了下面橢圓型方程組正解的存在性。

這里α,β＞1 滿足h1(x),h2(x)≥0,且h1,h2≡0。

LI H X等[2]研究了下列半線性橢圓方程組邊值問(wèn)題

這里 Ω ?RN(N≥3)是有界光滑區(qū)域，Q∈L∞(Ω)且Q(x)≥0 ，在Ω 中幾乎處處成立，α,β＞1,α+β=2*，主要利用變分法方法證明了在一定條件下，該問(wèn)題至少存在兩個(gè)解。

ZHONG J B等[3]利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類半線性橢圓型方程組正解的存在性與唯一性，同時(shí)討論了存在的必要條件。楊旭[4]利用(B+)類拓?fù)涠确椒ê驮谙柌乜臻g上選擇相應(yīng)的范數(shù)，給出了具有狄利克雷邊界條件的多調(diào)和方程非平凡廣義解的存在性結(jié)果。

本文利用上、下解方法及不動(dòng)點(diǎn)定理討論了下列半線性橢圓型方程組邊值問(wèn)題。

這里Ω ?Rn是有界光滑區(qū)域，證明了該問(wèn)題正解的存在性。并進(jìn)而利用上述正解的存在性結(jié)果，進(jìn)一步討論了下列帶正小參數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問(wèn)題正解的存在性。

其中λ為正參數(shù)，并給出了正解存在性定理的證明。本文研究的問(wèn)題中，函數(shù)f(x,v),g(x,u)僅限制滿足較一般的條件，比文獻(xiàn)[1-4]中函數(shù)限制的條件更少，從而研究的問(wèn)題適用范圍更廣，且在證明解的存在性時(shí)，采用了與文獻(xiàn)[1-4]中不同的理論與方法，對(duì)這二類邊值問(wèn)題，證明了正解存在的結(jié)果。

1 一類半線性橢圓型方程組邊值問(wèn)題解的研究

考察下列半線性橢圓型方程組邊值問(wèn)題

這里 Ω ?Rn是有界光滑區(qū)域，其中f(x,s) ,g(x,s) 滿足下列條件：

(H1)f(x,s) ,g(x,s) 在×[ 0,+∞)上 為 非 負(fù)Ho¨lder連續(xù)函數(shù)。

(H2)f(x,s) ,g(x,s)關(guān) 于s 在[ 0 ,+∞)上單增，g(x,0)＞0。

引理[5]設(shè)T 是Banach 空間B 到自身中的緊映射，又設(shè)存在一個(gè)常數(shù)M，使得‖x‖B＜M對(duì)所有滿足x=σTx,x∈B,σ∈[0,1] 的x成立，則T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

定理1 若條件(H1)成立，則問(wèn)題（1）只能存在非負(fù)解。

證明 由(H1)知f≥0,g≥0，所以Δu≤0,Δv≤0且u|?Ω=v|?Ω=0，由上調(diào)和極值原理[5]知，u≥0,v≥0。

定理2 若(H1)，(H2)成立，且問(wèn)題（1）存在一對(duì)上、下解，則問(wèn)題（1）至少存在一組解(u,v)∈[C2(Ω) ]2。

證明 取關(guān)于上下解的截?cái)嗪瘮?shù)如下：

則

考察下列邊值問(wèn)題

顯然≤Tu≤,≤Τv≤，又，從而Tu,Tv在上有界。由(H1)知f(x,Tv),g(x,Tu)在上為有界函數(shù)。

定義算子T1：[C2(Ω) ]2→[C2(Ω) ]2如下：

T1U=L-1F(x,U)，

因 為L(zhǎng)-1=(-Δ)-1為緊正算子，所以T1為[C2(Ω)]2到自身的緊映射。

下證存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得‖U‖B＜M，對(duì)所有滿足U=σT1U,σ∈[0 ,1]的U成立，其中B=[C2(Ω) ]2。

假設(shè)不然，則存在σn∈[0 ,1]和B中Un，滿足‖Un‖→+∞(n→+∞)時(shí)，有

在（4）式中兩邊令n→+∞，結(jié)合F(x,Un)有界，可得ωn→0，這與‖ωn‖=1 矛盾，從而滿足引理中條件。利用引理知，T1有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即該不動(dòng)點(diǎn)為問(wèn)題（2）的解。

取(u,v)為問(wèn)題（2）的解，記ω=u-,ω+(x)=max{0 ,ω(x)}，則由上解定義及（2）中方程知-Δu=f(x,Tv)，-Δ≥f(x,)，所以

在（5）式兩邊乘上ω+后，在Ω 上積分，并利用Green第一恒等式得

記A={x∈Ω:u≤} ，B={x∈Ω:u＞} ，則Ω=A?B。

從（6）式，結(jié)合ω+(x)的定義知

由(H2) 知f(x,Tv)-f(x,)≤0 ，而ω+(x)≥0。從（7）式可得，所以ω+=0，x∈B，從而Ω=A。即u≤,x∈Ω，同理可證v≤。

記Z(x)=u-，Z-(x)=min{0 ,Z(x)}，顯然Z-(x)≤0。則由下解定義及（2）中方程知

上兩式相減得

即 -ΔZ(x)≥f(x,Tv)-f(x,)，

上式兩邊乘上Z-(x)后在Ω 上積分，并利用Green第一恒等式得

記A={x∈Ω:u＜}，B={x∈Ω:u≥}，則Ω=A?B。從（8）式可得

由(H2) 知，所 以∫A|DZ-(x)|2dx=0。從 而Z-(x)=0,x∈A。所 以u(píng)≥,x∈Ω。同理可證v≥,x∈Ω。從而（2）的解(u,v)滿足，此時(shí)Tv=v,Tu=u，即(u,v)為問(wèn)題（1）的解。

2 雙調(diào)和方程邊值問(wèn)題的可解性

考察雙調(diào)和方程邊值問(wèn)題

其中λ為正參數(shù)。

令-Δu=v，則（9）化為

顯然=0,=0 為問(wèn)題（10）的下解。

讓?duì)?x)是問(wèn)題的解，則Φ ≥0,x∈。由Φ(x)在上連續(xù)知Φ()

x在Ω 上有界。記，取，則取參數(shù)λ充分小，可得

從而(,)為問(wèn)題（10）的一組上解。由條件(H1)及λ＞0，所以-Δv=λg(x,u)≥0，利用上調(diào)和函數(shù)極值原理知v≥0。從而f(x,v)=v滿足條件(H1)，(H2)，由定理1可得出下列定理。

定理3 當(dāng)λ為充分小的正數(shù)，且條件(H1) ，(H2)成立時(shí)，問(wèn)題（10）存在有界正解，從而雙調(diào)和邊值問(wèn)題（9）存在正解。

3 結(jié)論

本文首先對(duì)半線性橢圓型方程組邊值問(wèn)題（1），在假設(shè)存在上、下解的前提下，利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問(wèn)題（1）存在正解，進(jìn)而將該結(jié)果利用到帶小參數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問(wèn)題（9）。通過(guò)變量代換，將問(wèn)題（9）轉(zhuǎn)換為半線性橢圓型方程組邊值問(wèn)題（10），最后通過(guò)尋找到問(wèn)題（10）的一組上、下解。再利用問(wèn)題（1）所證的解的存在性定理，證明了問(wèn)題（9）解的存在性。這同時(shí)也是對(duì)問(wèn)題（1）所得解的存在性定理給出了應(yīng)用實(shí)例。