Mathematica軟件在高職醫用高等數學課程教學中的應用探析

許朋

（皖北衛生職業學院，安徽 宿州 234000）

0 引言

高等數學是高職院校許多專業開設的重要基礎課程之一，是對學生的數學思想、方法和能力進行培養和提高的關鍵課程，為后繼專業課程的學習打下良好的基礎。筆者長期從事高職數學的教學工作，深刻感受到高職生數學基礎普遍薄弱和學習積極性不高。部分學生基礎不牢固，上課聽不懂部分知識點，不積極尋求方法解決問題，甚至課堂上出現玩手機、聊天、睡覺等不良現象。醫用高等數學是醫學類專業的基礎課程之一，具有概念多、推理強、計算復雜等特點。這些特點給學生的學習帶來一定的困難，他們普遍反映醫用高等數學比較難學。許多教學研究成果表明：數學軟件與傳統課堂教學的恰當融合是提高學生學習興趣和理解能力的一條行之有效的途徑。一方面，數學軟件可以通過圖形、動畫、數值等方式展現數學深奧的理論和加強學生對抽象知識的理解。另一方面，為了培養學生的創新應用能力，教師可以設計數學課程的實驗教學環節。學生在教師的指導下分析問題和建立模型，進一步提高自己的思考和實踐能力。同時在使用數學軟件解決問題的過程中可以體會到知識的力量，獲得學習帶來的成就感，自信和克服困難的毅力得到長期的保持。借助現代信息技術構建數學情景，展示定理和公式的內涵，提高數學學習興趣和應用數學知識解決問題，是當前數學教學改革的重要方向之一。Mathematica軟件是美國Wolfram公司開發的專業數學軟件，主要功能有數值計算、交互演示、圖形處理等。它有很多優點：第一，Mathematica 有與數學教材基本相同的數學符號輸入界面，學生很容易快速掌握；第二，自定義函數的寫法和各類函數的輸入和輸出與基本的數學解題順序類似，簡單易懂；第三，繪制的三維圖形可以隨意地調整觀察視角并且對圖形可以進行編輯，有利于學生對空間圖形的形象認識；第四，符號運算功能強大，容易拓展。因此，將Mathematica 軟件引入數學教學中具有良好的操作性。通過它可將復雜的函數關系用圖形、表格、動畫等形式展現出來，便于將抽象的問題可視化。本文對Mathematica 軟件[1-7]在高職醫用高等數學課程教學中的一些應用進行了探索，通過醫用高等數學[8]課程中的一些例子說明數學計算軟件融入課堂教學，能夠提高學生對有關概念、定理和計算的理解和應用，進而達到更好的教學效果。

1 三角函數的圖形

講授三角函數時，學生已經長時間沒有接觸數學教材，對基本的三角函數性質比較陌生。這時可以借助Mathematica 軟件，用簡單的程序給出相應的圖形。例1，給出基本三角函數的圖形。輸入Manipulate[Plot[f[x],{x,-2Pi,2Pi},{f,{sin,cos,tan,cot}}]，運行后得到圖1。點擊不同的三角函數標簽，程序自動給出相應的圖形，方便學生快速理解。

圖1 三角函數的圖形

2 原函數和反函數

原函數與反函數在坐標平面內的圖形是同一條曲線，但為了研究方便，反函數習慣上仍用x作為自變量，y作為因變量。這樣在同一坐標平面內，原函數與反函數的圖形就關于直線y=x 對稱。以正弦函數y=sinx為例，利用Mathematica軟件繪制正弦和反正弦函數，讓學生直觀了解它們之間的關系，提高對概念的理解。例2，在同一坐標中畫出y=sin x，y=x，y=arcsin x的圖形，如圖2。圖形很清晰地表明正弦與反正弦函數關于y=x直線對稱。

圖2 正弦與反正弦函數的圖形

3 函數的極限

研究實際問題時，除了解有關函數在變化過程中如何取值之外，往往需要弄清楚當自變量按一定的趨勢變化時，函數的變化趨勢如何，這就是極限概念所要描述和解答的問題。極限是研究函數連續性、可導性和可積性的理論基礎，它是貫穿微積分的一條主線。學生學習兩個重要極限時常常感到比較抽象，可以借助Mathematica 畫出函數的圖像幫助他們理解。例3，通過圖形觀察下列函數的極限：

為了觀察x→0 時函數的極限，作x=0 附近的圖形。輸入Plot[sin[x]/x,{x,-1,1}]，運行得到圖形3（1）。從圖3（1）可知x→0 時函數的極限值等于1。重要極限除了基本形式外還有一些變形，如（2）式。根據有界變量或常數與無窮小的乘積是無窮小的關系可以說明此極限結果為0，但是難以直觀理解。輸入Plot[x*sin[1/x],{-10-5,10-5}]，運行得到圖3（2）。從圖中可知函數x*sin(1/x)當x→0時有微小的變化，但是極限值等于0。（3）式的極限教材直接給出結論，學生難以理解。輸入Plot[(1+1/x)x,{x,-106,106}]運行得到圖3（3）。可以看出當x 變得非常大時，函數極限值等于e。

圖3 不同函數極限的圖形

4 空間圖形

學生對空間曲線和曲面等圖形的理解往往比較吃力，影響他們對問題的思考，學習積極性不高。Mathematica軟件可以繪制三維圖形，把抽象的表達式變成易于理解的圖形，有效地加強立體感知，有利于培養學生的空間想象能力。例4，畫出函數f(x,y)=x2-y2的圖形。輸入Plot3D[x2-y2,{x,-3,3},{y,-3,3}]，結果如圖4所示。拖動鼠標能夠從不同角度對三維圖形進行觀察，同時可以利用繪圖工具對圖形進行添加文本、獲取坐標、填充顏色等操作。

圖4 f(x,y)=x2-y2的圖形

例5，畫出函數f(z)=x4-x2,x∈[-1,1]繞z 軸旋轉形成的圖形。輸入RevolutionPlot3D[x4-x2,{x,-1,1}]，運行得到圖5。

圖5 f(x)=x4-x2繞z軸旋轉形成的圖形

5 定積分演示

借助直觀的幾何圖形，可以使抽象的數學公式與直觀的圖形之間建立有效的聯系，特別是動態演示的方式，形象地展示了抽象概念的邏輯演變過程，將抽象的理論具體化，增強學生對所學知識的理解和記憶。定積分是積分學的一個重要概念，在科學研究和生產實踐中應用十分廣泛，如平面圖形面積、變力做功等都可以歸結為定積分問題。例6，求由曲線y=x3,x=0,x=1,y=0圍成的平面圖形的面積。把區間[0,1]劃分為若干個小區間，所求的圖形分割成若干個以小區間為底的小曲邊梯形，由于y=x3在[0,1]連續，而小區間長度很小，所以小曲邊梯形的高度變化很小，因此圖形面積可由小區間上任一點的函數值為高的小矩形面積近似代替。這些小矩形面積之和作為圖形面積的近似值。顯然，區間[0,1]分割的越細，所得到的面積近似程度就越好。當每個小區間的長度趨于零時，其極限值就是圖形面積的精確值。為了讓學生很好地理解“分割、近似、求和、取極限”過程，利用Mathematica 的動畫功能展示。動畫播放分割后小矩形的個數和對應的圖形近似面積（綠色部分）與精確面積的差值。隨著小矩形數目的增加，求和的面積逐漸等于精確的面積，如圖6。

圖6 定積分求圖形面積的動畫演示

6 羅爾中值定理

羅爾中值定理：如果函數y=f(x)滿足在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)上可導，在區間端點的函數值相等即f(a)=f(b)，則在開區間(a,b)內至少存在一點ξ（a＜ξ＜b）使得f'(ξ)= 0,(a＜ξ＜b)。例7，驗證羅爾中值定理對函數f(x)=4x3-5x2+x-2 在區間[0,1]上的正確性。輸入f[x_]:=4*x3-5*x2+x-2;Plot[f[x],{x,0,1}]運行后得到圖7。從圖中看出函數（1）在閉區間[0,1]上連續，（2）在開區間(0,1)上可導，（3）f(1)=f(0)=-2。根據定理至少存在一點ξ 使得f’(ξ)=0。圖形表明存在兩個x 的值滿足f’(x1)=f’(x2)=0,x1,x2∈(0,1)。學生通過圖形可以很直觀的理解定理的含義。此外可以用D[f[x],x]命令求出函數的導數f’[x]，再利用Solve[f’[x]==0,x]命令解出導數為零時對應的x值。

圖7 f(x)=4x3-5x2+x-2的圖形

7 擬合函數

高等數學課不僅增加學生數學知識，也要培養學生的邏輯思維能力，使學生能夠運用數學方法和思維，分析和解決生活中的實際問題。在各種情境中進行分析和建模，深化對問題的認識，有利于充分發揮學生的主體作用和激發學習興趣。在科學研究和實際工作中，常常要對一些有關聯的數據進行處理，找到能反映數據關系的函數表達式。Mathematica 里面的數據擬合命令，使得數據處理非常方便，能增強學習數學的興趣。例8，在某化學反應里由實驗得到生物的濃度y 與時間x（分鐘）的關系如下，求濃度與時間關系的擬合函數。

表1 濃度與時間的關系

在直角坐標系中做出散點圖，大致判斷擬合函數的類型，采用x 的多項式對數據點進行擬合。程序如下：

x1={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}};

x2=ListPlot[x1]

x3=Fit[x1,Table[x^n,{n,0,5}],x]

x4=Plot[x3,{x,0,16},PlotStyle-＞{RGBColor[0,1,0]}]Show[x2,x4]

運行后得到擬合函數0.389904 +4.43705 x-0.883812x^2+0.0897161x^3-0.00444042x^4+0.0000848962 x^5，數據散點圖和擬合曲線如圖8 所示，圖形表明兩者吻合得非常好。

圖8 濃度與時間關系的擬合

8 二元函數的極值

函數z=f(x,y)在點（x0,y0）的某個鄰域內有定義，對于該鄰域內異于（x0,y0）的點（x,y），如果都有f(x,y)＜f（x0,y0）或f(x,y)＞f（x0,y0）,則稱函數z=f(x,y)在點（x0,y0）取得極大值或極小值f（x0,y0）[8]93。定理1（極值存在的必要條件）如果函數z=f(x,y)在點（x0,y0）處取得極值，且函數在該點的一階偏導數存在，那么fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0。定理2（極值存在的充分條件）設函數z=f(x,y)在點（x0,y0）的某鄰域內有一階與二階連續偏導數，又設fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0，記A=fxx（x0,y0），B=fxy（x0,y0），C=fyy（x0,y0），那么（1）如果B2-AC＜0,則函數f(x,y)在點（x0,y0）處有極值，且當A＜0 時f（x0,y0）是極大值，當A＞0 時f（x0,y0）是極小值；（2）如果B2-AC＞0,則點（x0,y0）不是極值點；（3）如果B2-AC=0,則點（x0,y0）是否為極值點不能斷定，需另作討論。下面通過實例說明Mathematica軟件求解二元函數極值。例9,求函數z=f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值[8]94。函數定義和求解偏導數的程序f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^3-9*x;D[f[x,y],x] D[f[x,y],y]。得到fx（x,y）=3x2+6x-9,fy（x,y）=-3y2+6y。接著求fx（x,y）=0 與fy（x,y）=0 聯立的方程組。輸入Solve[{3*x^2+6*x-9==0,-3*y^2+6*y==0},{x,y}]運算得到結果(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)。再次利用求導命令對一階導數求導，可得A=6x+6，B=0,C=-6y+6。分別計算每個結果對應的A、B、C值，如表2。可見函數有一個極小值和一個極大值。為了具體觀察結果，畫出函數圖形Plot3D[x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x,{x,-5,5},{y,-5,5}]，如圖9。從圖形可知函數存在極小值和極大值。

表2 極值計算

圖9 z=f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的圖形

9 函數的漸近線

函數的漸近線[8]46有三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線。若f(x) =A或(x) =A，則直線y=A 是f(x)的水平漸近線。若f(x) =∞或f(x) =∞，則直線x=x0是f(x)的垂直漸近線。如果函數存在斜漸近線y=ax+b，則，b=(f(x) -ax)。Mathematica 可以給出漸近線的方程并能以圖形方式展現，方便學生理解。例10，求函數的漸近線并畫圖。函數存在x=3的垂直漸近線。輸入f[x_]:=(x+2)^3/(x-3)^2;a=Limit[f[x]/x,x-＞[Infinity]]b=Limit[f[x]-a*x,x-＞[Infinity]]g[x_]:=a*x+b;Plot[{f[x],g[x]},{x,-30,30}]得到函數的斜漸近線y=x+12,函數和斜漸近線的圖形如圖10。

圖10 函數f(x)=(x+2)3/(x-3)2的斜漸近線

10 多元函數的條件極值

求函數f(x,y,z)在條件g(x,y,z)=0 下的極值點步驟如下：（1）用常數λ（稱為拉格朗日乘數）乘以g(x,y,z)并與f(x,y,z)相加，得到函數F(x,y,z)（稱為拉格朗日函數）F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)。（2）分別求F(x,y,z)對x、y、z的偏導數，并解下列方程組：

得到（x0,y0,z0,λ0）,其中點（x0,y0,z0）稱為條件駐點。（3）根據情況判別（x0,y0,z0）是否為條件極值點。例11，求表面積為a2而體積最大的長方體體積。設長方體的三條邊為x、y、z，問題變為在條件2xy+2yz+2xz-a2=0下，求函數V=xyz（x＞0,y＞0,z＞0）的最大值。作拉格朗日函數F(x,y,z)=xyz+λ（2xy+2yz+2xz-a2）。分別求其對x、y、z的偏導數并解下列方程組：

輸入Solve[{y*z+2*[Lambda]*(y+z) ==0, x*z+2*[Lambda]*(x+z)==0,x*y+2*[Lambda]*(y+x)==0,2*x*y+2*y*z+2*z*x-a^2==0},{x,y,z,[Lambda]}]，運行得到x=y=z=a/。由問題本身可知最大值存在。所以表面積a2的長方體中，邊長為a的正方體的體積最大，最大體積a3/36。

11 矩陣運算

線性代數是醫用高等數學中一個重要的知識點，它是生活中線性模型問題研究與求解的重要工具，有著廣泛的應用。矩陣的計算比較煩鎖，特別是求矩陣的乘法和矩陣的逆。如果運用矩陣的原理來進行筆算，需要花費大量的時間。利用Mathematica 強大的計算功能可以減少學生在計算過程中產生的浮躁情緒，以便將大量的時間用在模型的建立和思考上。例12，已知求AB,BA,ABT及矩陣B的逆。

輸入

A={{1,1,1},{1,1,-1},{1,-1,1}};B={{1,2,3},{-1,-2,4},{0,5,1}};M=Transpose[B];MatrixForm[A.B]MatrixForm[B.A]MatrixForm[A.M]MatrixForm[Inverse[B]]得到結果

從結果看出矩陣乘積一般不滿足交換律AB≠BA。

12 微分方程求解

科學研究中經常需要根據實際問題建立變量與導數間的關系式。這樣就會建立含有未知函數導數的方程稱為微分方程。例13，求微分方程y'=y/x+x2滿足初始條件y(1)=1 的解。輸入s=DSolve[{y'[x]==y[x]/x+x^2,y[1]==1},y[x],x]Plot[y[x]/.s,{x,-6,6}]得到關系式y=1/2(x+x3)和函數在（-6,6）范圍內的圖11。一些復雜的方程也可以采用NDSolve[]得到微分方程的數值解。

圖11 y=1/2(x+x3)的圖形

13 二重積分的計算

圖12 y=x2與x=y2圍成的圖形

輸入Solve[{y==x^2,y==Sqrt[x]},{x,y}]得到兩條曲線的交點（0,0），（1,1）。將D 視為x 型區域，先積y 后積x。用平行于y軸的直線從下到上穿過區域D，首先穿過曲線y=x2，其次穿過曲線y=。輸入二重積分表達式Integrate[x^2+y^2,{x,0,1},{y,x^2,Sqrt[x]}]，運行得到結果6/35。

14 結論

上面一些實例說明Mathematica 軟件可以快速解決醫用高等數學中的一些問題。醫用高等數學教學中引入Mathematica 軟件進行計算機輔助教學，能夠充分利用軟件的計算和繪圖功能，加強教學的簡便性和直觀性，使得學生對抽象的概念能夠很好地理解，有助于提高課堂教學效果和培養學生利用軟件探究問題的能力。教學實踐表明在醫用高等數學課程教學中充分利用輔助軟件是一種有效的教學方法，能夠激發學生的學習興趣，活躍課堂氛圍，提高教學質量。