基于深度學習的鉆孔輻射壓離子加速建模*

張普渡 王偉權? 李哲民 張資旋 王葉晨 周泓宇 銀燕?

1) (國防科技大學理學院物理系,長沙 410073)

2) (國防科技大學理學院數學系,長沙 410073)

超短超強激光脈沖與固體靶相互作用可通過鉆孔輻射壓加速機制產生百MeV 量級的離子束,離子束的品質強烈依賴于激光和靶的作用參量.本文以近400 組激光驅動固體靶的粒子模擬結果作為數據集,以激光強度、靶密度、靶厚和離子質量作為輸入參量,基于全連接神經網絡建立了一個離子峰值能量和截止能量連續映射模型.該模型用較為稀疏的參量取值獲得了較大參量范圍內的分析結果,大大減少了多維參量大范圍掃參的計算量.基于連續映射模型的結果,得到了鉆孔輻射壓加速機制下離子峰值能量的修正公式和截止能量的擬合公式,可為激光離子加速的實驗設計提供重要參考.

1 引言

隨著超短超強激光脈沖與等離子體相互作用研究的不斷深入,基于超強激光驅動的離子加速逐漸成為激光等離子體領域的重要研究方向,在離子束驅動快點火[1,2]、束靶中子源[3,4]、溫稠密物質加熱[5-7]、質子照相[8,9]等領域得到了廣泛研究與應用.常見的激光驅動的離子加速機制包含輻射壓加速(radiation pressure acceleration,RPA)[10,11]、靶背法向鞘層加速(target normal sheath acceleration,TNSA)[12,13]、靶破燒蝕加速[14,15]、無碰撞激波加速[16,17]等.其中,RPA 機制由于其能量轉化效率高、離子束單能性好以及可加速重離子等特點,在實驗上備受關注.根據固體靶厚度的不同,RPA機制可分為薄靶條件下的光帆加速(light-sail RPA,LS-RPA)[18,19]和厚靶條件下的鉆孔加速(hole-boring RPA,HB-RPA)[20,21].在LS-RPA 機制下,離子與電子將被壓縮為“等離子體飛鏡(plasma mirror)”結構被激光脈沖整體推動加速,但這種機制對激光脈沖對比度要求較高,且靶厚度和激光脈沖強度之間有嚴格的匹配關系[18,19,22].而對于HB-RPA 機制,激光和靶的參數要求相對寬松,更容易在實驗中實現[23],且可在較高激光強度下對重離子實現有效加速[24].

在基于HB-RPA 機制的數值模擬和實驗設計中,分析研究對象與參量的關聯時需進行參數掃描.然而,激光和靶參數的選取范圍較為寬泛,通過開展大量實驗或數值模擬進行線性掃參的代價過于高昂.同時,不同掃描參量與目標參量間可能存在一定映射關聯,而通過線性掃參只能得到有限的孤立數據點,基于有限的數據建立較為可靠的連續映射關系存在較大困難.因此,有必要尋找新的研究參量映射規律的手段.近幾年內,依賴于數據學習的神經網絡算法[25,26]被逐漸應用在科研領域,例如托卡馬克裝置中磁場的控制優化[27]、慣性約束聚變實驗結果對實驗參數的敏感度研究[28]、電子加速能譜的自動識別與分類[29]、高輻射環境下測得的電子能譜圖的去噪分析[30]、預測粒子加速器內粒子束縱向相空間演化趨勢[31]等.在眾多類型的神經網絡算法中,卷積神經網絡(convolutional neural network,CNN)主要面向二維矩陣數據的處理,在圖像處理和識別等領域應用廣泛[30].自組織映射神經網絡(self-organizing map,SOM)的訓練過程為無監督的競爭學習,適用于高維數據的聚類分析[29].全連接構型人工神經網絡(fully connected neural network,FCNN)可以建立起數個變量關于單一映射量的連續模型,適用于數據回歸類問題的建模分析.Djordjevi?等[32]基于FCNN 神經網絡算法對TNSA 加速機制的多維參數進行了建模分析,得到離子截止能量的連續映射模型,并給出TNSA 機制下離子能量增大速率的連續映射模型[33].

本文所研究的HB-RPA 機制下的參數映射也是一個數據回歸類問題,采用FCNN 神經網絡較為適合.首先將有限的數值模擬結果整理為數據集輸入FCNN,然后在數據迭代的過程中,通過神經元權重的反向傳遞,把目標參量關于輸入參量的變化特征記錄在神經網絡中,從而得到連續映射模型.這一所得模型可較好反映出掃參空間中所有數據點的映射結果,并可在訓練范圍外進行推廣,進而對更大范圍的結果進行預測.本文利用FCNN建立了HB-RPA 機制下離子峰值能量和截止能量關于激光強度、靶密度、靶厚度和離子質量這4 個輸入參量的連續映射模型.根據該模型與HB-RPA的理論公式及PIC 數值模擬結果的對比結果,對離子峰值能量公式進行修正,同時給出離子截止能量的經驗公式,實現了對HB-RPA 機制下離子峰值能量和截止能量的定量描述.

2 物理模型

當激光強度與靶厚度近似滿足a<πdn/(ncλ0)關系時,HB-RPA 機制將占主導地位[34],其中,a為歸一化激光強度,與激光強度I0的關系滿足a=為激光波長,d為靶厚度為等離子體臨界密度,me為電子質量,ω為激光頻率,e為電子電荷量.一維(one-dimension,1D)情況下,一束強度恒定為I0的圓極化激光正入射到均勻密度為n的等離子體,光束在等離子體表面被完全反射.由穩態加速離子所滿足的動量平衡方程,可以得到實驗室系中相對論條件下動量平衡的穩態離子能量表達式[20]:

本文通過PIC 程序EPOCH[35]對HB-RPA 過程進行了約400 次1D 數值模擬.在模擬中改變激光脈沖的歸一化激光強度a,等離子體靶厚度d,等離子體靶密度n和離子質量mi,模擬參數選取范圍均滿足HB-RPA 離子加速機制要求.由于靶厚度d是決定HB-RPA 加速機制是否起效的重要參量,將d作為輸入參量加入到神經網絡的訓練中,可以更好地保證訓練所得模型的可靠性.在1D 數值模擬中,激光時間脈沖設置為梯形包絡,如下式所示:

其中T0為激光周期,I0為激光峰值強度.等離子體為單一離子組分的平面靶,靶離子為完全電離.模擬盒子范圍為 0 ≤x≤90λ0,靶前表面位置處于10λ0處.激光脈沖由左邊界入射.模擬空間分辨率為 ?x=0.01λ0,每個網格內各組分的宏粒子數目為50 個.

圖1(a)和圖1(c) 分別為He2+離子和C6+離子的x-v相空間圖,其中,v為離子速度.x-v相空間圖展現了HB-RPA 機制的典型振蕩特征[20,21].在HB-RPA 機制中,激光推動電子形成壓縮層,由此產生的電荷分離場把大量靶內離子加速到穩態速度,如紅色虛線框所示.加速電場的峰值位于電子壓縮層的前表面,隨時間振蕩[20],離子在振蕩電場作用下形成形似魚骨的x-v相空間結構.少量滯后的離子被加速電場的上升沿推動至峰值電場區域,進而被加速至更高能量,如藍色虛線框所示.圖1(b)和圖1(d)分別為He2+離子和C6+離子在t=70T0時刻的能譜圖,此時離子相空間、離子峰值能量和最大離子能量都已趨于穩定.在能譜圖上略去了能量位于能譜中最低0.5%部分的低能離子,呈現清晰的準單能結構.對于每組數值模擬,通過診斷離子的x-v相空間分布來確定該組模擬中HB-RPA 加速機制占主導地位,通過離子能譜圖統計離子束的峰值能量和截止能量.舍棄掉不符合HB-RPA 加速機制的數據點,最終得到400 組數據集樣本數據點.

圖1 在 t=70T0 時刻,(a) He2+離子的 x-v 相空間分布,(b) He2+離子的能譜分布,(c) C6+離子的 x-v 相空間分布,(d) C6+離子的能譜分布.其中,激光強度 a=100 ,靶密度 n=25nc ,靶厚 d=25λ0 ;紅色虛線框內為峰值能量所對應的離子,藍色虛線框內為截止能量所對應的離子Fig.1.At t=70T0 ,(a) the x-v phase space diagram of He2+,(b) the energy spectrum of He2+,(c) the x-v phase space diagram of C6+,(d) the energy spectrum of C6+,with d=25λ0 ,n=25nc and a=100 .The red dashed box circles the ions with peak energy,and the blue dashed box circles the ions with cutoff energy.

3 數據準備和搭建神經網絡

3.1 數據集生成

整體數據集的采樣采用系統抽樣方式,在一定的參數范圍內均勻間隔取值,通過離子種類將數據集劃分為質子集、He2+集、C6+集、O8+集和測試集共5 個集合.其中,質子集合經過數據篩選后總共記錄了231 次數值模擬結果,具體的輸入參數取值為: 靶厚d在 [7.5λ0,35λ0] 范圍內間隔 2.5λ0均勻取值,靶密度n在 [12.5nc,40nc] 范圍內間隔 2.5nc均勻取值,激光強度分別取值4×1021,6×1021,8×1021,1×1022,2×1022,3×1022W/cm2.He2+離子集合包含49 次數值模擬的結果,C6+離子與O8+離子分別包含50 次數值模擬的結果,3 種離子的靶厚d取值為 15λ0和 25λ0,靶密度n在 [10nc,30nc] 范圍內間隔 5nc均勻取值,激光強度取值為6×1021,8×1021,1×1022,2×1022,3×1022W/cm2.最后一個集合為獨立于其他數據的測試集,離子種類包括D+,T+,He2+,B4+,C6+,F9+,Mg12+和Al13+離子,在每組數值模擬中,模擬參數d,n和a均獨立取值,共20 個數據點.記錄每組模擬結果的離子峰值能量Ep與截止能量Em作為訓練參量,具體取值分布如表1 所列.圖2(a)–(d)更直觀地給出了4 種離子的參數取值分布,并用散點顏色標注了該數據點所對應的離子峰值能量.為控制輸入參量的數量級相近,靶厚參數d以λ0歸一化,靶密度參數n以臨界密度nc歸一化,激光強度以歸一化激光強度a輸入,離子質量以原子質量數A輸入.

表1 數值模擬數據集參數取值分布Table 1. Simulation datasets prepared for neural network training.

圖2 離子峰值能量隨輸入參數 d ,n 和 a 分布的三維散點圖 (a) 質子;(b) He2+ 離子;(c) C6+ 離子;(d) O8+離子Fig.2.Scatter plot depiction of ion peak energy data ensembles as a function of input parameters d,n and a: (a) Proton case;(b) He2+,(c) C6+;(d) O8+.

3.2 神經網絡搭建

本文基于Pytorch 中的nn 模塊來搭建深度神經網絡,所采用的網絡類型為FCNN,通過測試與對比訓練結果對神經網絡結構與超參數的選取進行調整,最終確定神經網絡結構如圖3 所示.經過篩選和后處理的樣本數據被輸入到輸入層,4 個神經元分別對應輸入參數d,n,a,A.經過6 個隱藏層后,結果收斂至輸出層的單一輸出量.Ep與Em采用相同的神經網絡結構.

圖3 訓練所使用的神經網絡結構Fig.3.Neural network architecture used in the following training.

神經網絡訓練參數的選取與所得到代理模型(surrogates ensemble,SE)[36]的泛化能力密切相關.我們所使用的神經網絡采用均方方差損失(mean square error,MSE)函數,采用nn 模塊默認的L2正則化,其中L2=2×10-5.神經元激活函數選取為Sigmoid 與PReLU,這兩種激活函數皆為單調函數,模型映射曲線在有限的預測范圍內保持緩慢平滑變化,這一特征與HB-RPA 理論公式相契合.訓練結果表明,我們所確定的神經網絡結構可使模型收斂至接近理論預測結果,同時保持了較好的平滑程度和泛化性,這使得分析參量的訓練和預測結果都具有一定的可靠性.

3.3 訓練與測試

針對模擬數據所展開的訓練類型均為監督學習,在給定輸入數據上訓練神經網絡,訓練過程中優化器選擇基于隨機梯度下降的Adam 優化器,損失函數選擇MSE.本文將數據集劃分為380 組數據的訓練集和20 組數據的測試集,訓練集與測試集皆為固定.訓練數據在神經網絡上迭代次數固定為8000 次,學習率固定為1×10-4,損失函數誤差下降至1×10-4時,模型趨于收斂,且平滑程度與擬合程度良好.

4 研究結果

4.1 神經網絡集合

在初始化權值的訓練條件下,每次的訓練結果會略有不同.由于本文所使用的參數空間相對稀疏,每次訓練所得模型的差異將會更加明顯.為此,本文對10 個神經網絡同時進行訓練,得到一個神經網絡集合,并根據模型收斂時的損失函數取值對訓練結果做加權平均,從而生成訓練結果的代理模型.取每個模型最后2000 次迭代的損失函數均值的倒數作為該模型的權值,對所有神經網絡模型加權平均,由模型權值進行歸一化,即可得到

式中,代理模型SE 是所有訓練模型Si的均值;wi為每個訓練模型的權值,為最后2000 次迭代損失函數均值的倒數;x為輸入參數的取值;N=10 表示神經網絡模型訓練個數.為了衡量代理模型在一定取值范圍內的可變性,定義了標準差σ:

4.2 代理模型映射

利用神經網絡訓練結果和加權所得的代理模型,在一定范圍內的參數空間上對輸入參數進行連續掃參,可得到目標參量關于不同輸入參數的映射關系,并與測試集數據點進行比照.

圖4 為根據神經網絡代理模型所繪出的離子峰值能量與截止能量關于靶密度n和激光強度a的二維連續映射圖.從圖4(a) 可看出,當激光強度一定時,峰值能量Ep隨靶密度的增大而減小;當靶密度固定時,峰值能量Ep隨激光強度的增大而增大.當激光強度與靶密度滿足保持不變時,離子峰值能量接近為定值,峰值能量Ep映射結果與(1)式理論結果符合很好.同時,圖4(b)給出的截止能量Em隨靶密度增大而減小,隨激光強度增大而增大,與峰值能量Ep呈現出一致的映射規律.

圖4 He2+離子 (a) 峰值能量 Ep 與 (b) 截止能量 Em 的二維連續映射圖,其中靶厚 d=15λ0 ,參數映射范圍為63.2 ≤a ≤173.2和10nc ≤n ≤40ncFig.4.Two-dimensional continuous mapping of peak energy Ep (a) and cutoff energy Em (b) for He2+ over 63.2 ≤a ≤173.2 and 10nc ≤n ≤40nc with d=15λ0 .

圖5 為離子峰值能量代理模型關于單個輸入參量的映射曲線和峰值能量理論曲線(由(1)式給出)的比照結果.圖5(a) 給出了He2+離子峰值能量隨靶密度n變化的連續映射曲線,訓練參數取值范圍為 10nc≤n≤30nc,預測參數取值范圍為30nc≤n≤50nc.由圖5(a) 所示,訓練參數取值范圍內,代理模型與理論曲線和測試集數據吻合程度相當好;在預測參數取值范圍內,模型映射值與測試集數據偏差小于10%,模型的可靠性可以得到保證.而當n>50nc時,模型映射值與理論值相差超過10%,模型的可靠性不好,所以這里沒有給出映射結果.若增大訓練參數取值范圍,則可在更大范圍內保證模型預測的可靠性.

圖5 (a) He2+離子 峰值 能量 Ep 關于靶密度 n 的映 射曲線,其中靶厚 d=15λ0 ,激光強度 a=100 ;(b) He2+離 子峰 值能量Ep關于激光強度 a 的映射曲線,其中靶厚 d=15λ0 ,靶 密度 n=20nc ;(c) He2+離子峰值 能量 Ep 關于 靶厚 d 的映射曲 線,其中 靶密度 n=20nc ,激光強度 a=100 ;(d)離子峰值 能量 Ep 關于離子質量數 A 的映 射曲 線,其中靶厚 d=15λ0 ,靶密度 n=20nc,激光強度 a=100 .圖中紅色實線為代理模型的映射曲線,模型標準差用紅色色塊填充于代理模型曲線兩側.藍色虛線給出的是根據HB-RPA 機制理論公式所繪出的離子峰值能量隨離子密度變化的曲線,黑色實心數據點為測試集數據點,參數取值范圍與模型預測范圍用黑色虛線分隔Fig.5.(a) Parameter scan of He2+ peak energy Ep over target density n with d=15λ0 ,a=100 ;(b) parameter scan of He2+peak energy Ep over laser intensity a with d=15λ0 ,n=20nc ;(c) parameter scan of He2+ peak energy Ep over target thickness d with a=100 ,n=20nc ;(d) parameter scan of ion peak energy Ep over ion mass number A with a=100 ,n=20nc and d=15λ0 .The SE mapping curves are drawn with red solid,the theoretical curves are drawn with dashed,the red filled region indicates the standard deviation,and the untrained data from test subset are drawn with black dot.

圖5(b)給出了He2+離子峰值能量與激光強度a的模型連續映射曲線.激光強度的訓練參數取值范圍為 77.5

4.3 離子的峰值能量和截止能量

4.3.1 峰值能量修正

圖5(d) 展現出映射曲線與理論曲線存在偏差,離子峰值能量在質量較低時略高于理論值,而在質量較高時略低于理論值,模型曲線與理論曲線于離子質量數A=5 附近相交.對比了更大范圍的數值模擬結果與理論值,發現這一偏差仍然存在.結合代理模型所給出的模型和測試集所得模擬數據,對原理論公式進行修正,修正后的公式可描述離子質量對離子峰值能量的影響:

式中,A為離子質量數.經過修正的模型曲線與測試集數據點對比如圖6 所示.

圖6 在 d=15λ0 ,n=20nc 和 a=100 下,離子峰值 能量隨離子質量的變化Fig.6.Ion peak energy scan with ion mass number A with d=15λ0,n=20nc and a=100 .

如圖6 所示,當質量數A>5 時,數值模擬結果與理論曲線開始出現偏移.當質量數A>10 時,模擬結果與理論結果差異逐漸增大,誤差率接近10%左右.當采用基于離子質量數的修正公式時,理論結果與數值模擬結果及模型映射結果符合很好.對于質量數A>30 的中高Z離子,其較為復雜的電離過程將對離子的加速過程產生影響.在電離度較低的情況下,重離子將滯后于電子被推動形成的鉆孔活塞結構,此時HB-RPA 模型不再適用,離子峰值能量將顯著低于理論值[21].因此,這里基于映射結果給出的修正模型僅適用于A<30 的靶材料.在質量數A>30 時,需增大數據集的質量數取值范圍,并考慮靶材料的離化過程對加速過程的影響.

4.3.2 截止能量映射

當離子截止能量作為目標參量時,重復與離子峰值能量相同的訓練和掃參操作,可以得到連續映射曲線,如圖7 所示.

圖7 (a) He2+離子截止能量 Em 關于靶密度 n 的映射曲線,其中靶厚 d=15λ0 ,激光強度 a=100 ;(b) He2+離子截止能量Em關于激光強度 a 的映射曲線,其中靶厚 d=15λ0 ,靶密度 n=20nc ;(c) He2+離子截止能量 Em 關于靶厚 d 的映射曲線,其中靶密度 n=20nc ,激 光強度 a=100 ;(d) 離子截止能量 Em 關于離子質量數 A 的映射曲線,其中靶厚 d=15λ0 ,靶密度 n=20nc,激光強度a=100Fig.7.(a) Parameter scan of He2+ cutoff energy Em over target density n with d=15λ0 ,a=100 ;(b) parameter scan of He2+cutoff energy Em over laser intensity a with d=15λ0 ,n=20nc ;(c) parameter scan of He2+ cutoff energy Em over target thickness d with a=100 ,n=20nc ;(d) parameter scan of ion cutoff energy Em over ion mass number A with a=100,n=20nc and d=15λ0 .

圖7 給出了He2+離子的截止能量關于靶密度n、激光強度、靶厚和離子質量的映射關系.結果表明,離子截止能量隨n的增大而減小,隨激光強度的增強和離子質量的增大而上升,而與靶厚無明顯關聯.離子截止能量的映射結果與離子峰值能量的映射結果呈現出一致的單調性變化規律.因此,將結合 離子峰值能量Ep與離子截止能量Em的比值映射模型給出HB-RPA 機制下離子截止能量的經驗公式.

4.3.3 能量比值關系

將每組模擬截止能量Em和峰值能量Ep的比值記為k=Em/Ep.將k作為建模參量,神經網絡結構與超參數設置均與訓練Ep和Em時保持一致,損失函數閾值設為2×10-4,重復與Ep,Em類似的訓練和代理模型加權平均操作,得到k關于不同輸入參量的映射模型.

圖8 為質子、He2+、C6+、O8+四種離子的截止能量Em與峰值能量Ep的比值k的二維連續映射圖.由圖8(a) 所示,質子的能量比值k隨靶密度n增大而增大,隨激光強度a增大而減小,k值在較小范圍內緩慢變化且近似均勻.在a<90 ,n>25nc的部分區域,k變化幅度增大,呈現出一定非線性變化趨勢.圖8(b)–(d)顯示,其他3 種離子的k值變化趨勢與質子相同,且k值的變化范圍隨離子質量數A的增大而增大.

圖8 (a) 質子,(b) He2+,(c) C6+和 (d) O8+的能量比值 k=Em/Ep 的二維連續映射圖,其中靶厚 d=20λ0,參 數映射范圍 為63.2 ≤a ≤173.2 和10nc ≤n ≤30ncFig.8.Two-dimensional continuous mapping of k=Em/Ep over 63.2 ≤a ≤173.2 and 10nc ≤n ≤30nc with d=20λ0 :(a) Proton case;(b) He2+;(c) C6+;(d) O8+.

圖9 為能量比值k隨激光強度和靶密度變化的映射曲線.圖9(a)顯示,k隨著激光強度a的增大近似以線性規律減小,其斜率隨靶密度增大而增大.圖9(b)顯示,當n<25nc時,k隨著靶密度n的增大而近似線性增大;當靶密度n>25nc時,k的上升幅度顯著變大,呈現非線性變化趨勢.前面圖1 中關于離子相空間的分析已給出: 峰值能量對應的離子主要在電荷分離場的峰值區域內被加速;而截止能量對應的離子先被電荷分離場的上升沿預加速,再進入峰值區域被加速,所以具有更高的能量.當激光強度較大或靶密度較低時,電荷分離場峰值強度增加,導致離子峰值能量增大,截止能量與峰值能量差距減小.當激光強度較小或靶密度較高時,電荷分離場峰值強度降低,離子受電荷分離場上升沿加速所獲得的能量占比增大,導致截止能量與峰值能量差距增大.綜合上述映射模型特征和物理過程分析,給出了能量比值k關于輸入參量的擬合公式:

圖9 C6+離子能量比值 k 隨(a)激光強度和(b)靶密度的映射曲線(實線)和擬合公式結果(虛線),其中參數范圍分別為63.2 ≤a ≤173.2,10nc ≤n ≤30nc ,靶厚d=15λ0Fig.9.Parameter scan (solid) and fitted formula (dashed) of k over (a) 63.2 ≤a ≤173.2 and (b) 10nc ≤n ≤30nc for C6+ with d=15λ0.

在n<25nc時,(5)式中第1 項描述了k關于激光強度a的線性變化趨勢,以及靶密度n和離子質量數A對激光強度映射的影響;第2 項和第3 項反映了靶密度n和離子質量數A對k值整體取值分布的影響.n>25nc時,第1 項與第2 項中靶密度n增加了高次項,描述了在較大密度下能量比值關于n變化的非線性趨勢,此時上升幅度增大.離子截止能量Em可以由下式給出:

5 結論與展望

本文基于FCNN 算法對粒子模擬所生成的數據集展開了分析,建立了HB-RPA 機制下離子峰值能量和截止能量關于激光強度、靶密度、靶厚度和離子質量的連續映射模型.該模型在與測試集數據和理論公式的比對中表現良好,且具有一定參數范圍內的預測能力.研究發現,當離子質量數較大時,HB-RPA 機制下的峰值能量公式與數值模擬結果存在差異.基于映射模型和數值模擬結果,給出了離子峰值能量的修正公式和離子截止能量的經驗公式.在基于HB-RPA 的激光加速離子實驗設計中,我們的映射模型和經驗公式可為激光和靶參數的選取提供重要參考.本工作也可以拓展到更多樣化的目標參量,對離子束產額、單能性和準直度等束流品質進行分析.