含摩擦作用疊梁應(yīng)力勢(shì)函數(shù)對(duì)煤層頂板的破壞研究

經(jīng)來(lái)旺 ，方 旭 ，肖起輝 ，張世翔 ，焦建軍 ，經(jīng) 緯

（1.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.大柳華能慶陽(yáng)煤電有限責(zé)任公司 核桃峪煤礦，甘肅 慶陽(yáng) 745000）

隨著煤礦資源開(kāi)采的由淺入深，巷道圍巖所處地應(yīng)力不斷攀升，巷道頂板破壞幾率大幅增加，使得煤礦企業(yè)的安全、經(jīng)濟(jì)、高效生產(chǎn)受到更大威脅。研究煤層頂板的破壞形式和機(jī)理能夠有效地降低巷道支護(hù)成本；并為巷道頂板安全性能評(píng)估提供理論依據(jù)；因此對(duì)煤層頂板破壞的研究具有較高的工程價(jià)值。

由于煤層頂板破壞研究的重要價(jià)值，我國(guó)學(xué)者在該領(lǐng)域不斷深耕并取得了豐碩的研究成果，這些成果主要可以分為3 類：即理論研究、相似實(shí)驗(yàn)以及仿真分析。在理論研究方面，王楠等[1]分析了急傾斜煤層端面頂板穩(wěn)定性；左建平等[2-4]提出了覆巖“類雙曲線”的破壞移動(dòng)機(jī)理；孟浩[5]分析了不同采高下頂板垮落規(guī)律；馮國(guó)瑞等[6-8]提出了層間巖層的“塊體梁-半拱”結(jié)構(gòu)；王家臣等[9]提出了頂板巖塊“破壞形態(tài)轉(zhuǎn)變點(diǎn)”判別準(zhǔn)則；杜華溢等[10]研究了非均勻應(yīng)力對(duì)巷道圍巖應(yīng)力和變形破壞特征；張鋒等[11]研究了采動(dòng)前后巷道圍巖塑性區(qū)分布與演化特征。在相似實(shí)驗(yàn)方面，賈棟等[12]利用相似模擬實(shí)驗(yàn)研究了綜放工作面覆巖破壞特征；熊祖強(qiáng)等[13]采用模擬試驗(yàn)研究了復(fù)合頂板覆巖破壞及裂隙演化規(guī)律；池小樓等[14]開(kāi)展了下分層開(kāi)采再生頂板破斷傾向分區(qū)演化及應(yīng)力分布特征研究；張杰等[15]分析了煤層開(kāi)采過(guò)程中覆巖運(yùn)移破斷特征及采動(dòng)裂隙分布形態(tài)。在數(shù)值分析方面，劉治成等[16]利用FLAC3D軟件分析了不同頂板開(kāi)切眼圍巖變形情況和塑性區(qū)發(fā)育特點(diǎn)；孔德中等[17]采用UDEC 軟件對(duì)不同情況下煤壁變形情況進(jìn)行模擬研究；趙毅鑫等[18]利用CDEM 軟件對(duì)采場(chǎng)圍巖應(yīng)力和裂隙分布進(jìn)行模擬。

上述成果均為煤層頂板破壞特征及機(jī)理的研究做出了重要貢獻(xiàn)，并為后續(xù)的理論、試驗(yàn)以及模擬分析提供借鑒。然而地下巷道工程中，圍巖巖性分布具有差異性，使得煤層頂板應(yīng)力的分析存在誤差。為此，將煤層直接頂與間接頂視為疊梁，引入彈性力學(xué)應(yīng)力勢(shì)函數(shù)，結(jié)合摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則對(duì)模型強(qiáng)度進(jìn)行分析，分析巖石參數(shù)對(duì)煤層頂板破壞的影響；以期為巷道煤層頂板的支護(hù)以及安全性能評(píng)估提供理論模型和依據(jù)。

1 模型建立

1.1 疊梁模型

在煤層開(kāi)采過(guò)程中，其掘進(jìn)工作面兩側(cè)會(huì)各留有一定厚度的煤柱，在工作面上部是由多種巖性不同的巖層組成，將其簡(jiǎn)化為直接頂與間接頂，工程示意圖如圖1。由于直接頂與間接頂?shù)膸r性不同，在此引入疊梁模型，將直接頂與間接頂簡(jiǎn)化為上部受均勻荷載的疊梁模型，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2。圖2 中：h1為間接頂厚度；h2為直接頂厚度；l為疊梁跨度；q為上部巖層均勻載荷；μ為上下層之間的摩擦系數(shù)；b為疊梁厚度。

圖2 模型計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Sketch of model calculation

1.2 應(yīng)力勢(shì)函數(shù)

為了分析疊梁剪應(yīng)力與正應(yīng)力及其分布特征，引入疊梁的應(yīng)力勢(shì)函數(shù)φi如式（1）：

式中：Ai1～Ai9為待定常數(shù)；i為層號(hào)，i=1 為上層，i=2 為下層。

待定常數(shù)取值表見(jiàn)表1。

表1 待定常數(shù)取值表Table 1 List of values of undetermined constants

由彈性力學(xué)中平面問(wèn)題的平衡微分方程：

式中：σx為x方向應(yīng)力；σy為y方向應(yīng)力；τxy為剪應(yīng)力；x、y為距離。

得到應(yīng)力分量，可以用應(yīng)力函數(shù)表示，如式（3）：

將式（1）代入式（3）中，得到上下層的應(yīng)力分量：

式中： σix為x方向應(yīng)力； σiy為y方向應(yīng)力；τixy為剪應(yīng)力。

2 頂板破壞分析

煤層開(kāi)采過(guò)程中，頂板破壞的主要原因是由于頂部煤層內(nèi)部存在大量且不規(guī)則分布的各類節(jié)理，并導(dǎo)致分析其強(qiáng)度會(huì)變得非常困難，但在結(jié)合大量的工程實(shí)踐后表明，煤層頂板的破壞可以大致分為離層與斷裂。在此將頂部煤層中分布的節(jié)理進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。簡(jiǎn)化節(jié)理模型如圖3。

圖3 簡(jiǎn)化節(jié)理模型Fig.3 Simplified joint model

以四川龍門(mén)峽南煤礦3131 工作面煤層開(kāi)采實(shí)際情況，將煤層作為直接頂，將泥質(zhì)灰?guī)r作為間接頂，得到的力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 煤層頂板參數(shù)Table 2 Parameters of coal seam roof

3 強(qiáng)度影響

針對(duì)簡(jiǎn)化后的模型，討論直接頂與間接頂之間的摩擦力對(duì)節(jié)理的剪切強(qiáng)度與拉伸強(qiáng)度的影響，由摩擦力公式得到：

式中：f為摩擦力； σn為法向正應(yīng)力。

將式（4）代入式（5）中，得到：

3.1 對(duì)剪切強(qiáng)度的影響

對(duì)水平節(jié)理進(jìn)行強(qiáng)度分析，結(jié)合摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則得到水平節(jié)理的強(qiáng)度計(jì)算公式：

將式（4）代入式（7）中，得到：

令Fτ為節(jié)理的剪切強(qiáng)度，得到：

若Fτ＞0，則節(jié)理未破壞，若Fτ≤0，則節(jié)理已破壞。將 μ=0.1 代入式（9）中，得到的Fτ與沿著x與y方向距離的曲面如圖4；將Fτ＞0 的曲面投影到xy面，得到的Fτ未破壞區(qū)域的投影如圖5。

圖4 Fτ曲面圖Fig.4 Fτ-surface diagram

圖5 Fτ投影圖Fig.5 Fτ-projection drawing

從圖4 可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)τ曲面圖呈馬鞍型；而從圖5 可以看出，F(xiàn)τ的破壞區(qū)域投影呈上陡下平的“類雙曲線”左右對(duì)稱分布。

3.2 對(duì)拉伸強(qiáng)度的影響

根據(jù)簡(jiǎn)化后的節(jié)理模型，對(duì)垂直節(jié)理進(jìn)行強(qiáng)度分析，得到垂直節(jié)理的強(qiáng)度校驗(yàn)公式：

式中：FT為正應(yīng)力差；T為抗拉強(qiáng)度； σix為水平正應(yīng)力。

同樣FT滿足：若FT＞0，則節(jié)理未破壞，若FT≤0，則節(jié)理已破壞。將 μ=0.1 代入式（10）中，得到的與沿著x與y方向距離的曲面如圖6；將FT＞0的曲面投影到xy面，得到的FT未破壞區(qū)域的投影如圖7。

圖6 FT曲面圖Fig.6 FT-surface diagram

圖7 FT投影圖Fig.7 FT -projection drawing

從圖6 可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)T曲面圖呈絲帶型；從圖7可以看出，F(xiàn)T破壞區(qū)域投影呈對(duì)稱拱形分布。

綜上所述，含摩擦作用疊梁應(yīng)力勢(shì)函數(shù)對(duì)煤層頂板破壞的規(guī)律可以總結(jié)為：①導(dǎo)致煤層頂板破壞的原因可簡(jiǎn)化為水平節(jié)節(jié)理與垂直節(jié)理，其中，水平節(jié)理是造成頂板離層的主要原因，垂直節(jié)理是造成頂板斷裂的主要原因；②煤層頂板離層區(qū)域呈左右對(duì)稱且上陡下平的“類雙曲線”分布，煤層頂板斷裂區(qū)域呈拱形分布。

4 巖層對(duì)頂板破壞的影響

由疊梁應(yīng)力勢(shì)函數(shù)中的待定常數(shù)A17可知，疊梁的應(yīng)力分布與上下層之間的摩擦力和彈性模量及高度有關(guān)。而由式（6）可知，層間摩擦力是受摩擦系數(shù)和彈性模量及高度影響的，所以層間摩擦力和彈性模量及高度是對(duì)頂板破壞的主要影響因素。為了探究層間摩擦力對(duì)頂板破壞的影響，這里可以采用控制變量法來(lái)進(jìn)行下一步研究。保持間接頂上部載荷和模型尺寸不變，通過(guò)分別改變摩擦系數(shù)大小和直接頂與間接頂?shù)膹椥阅Ａ勘戎蹬c高度比值，從而得到離層破壞寬度以及斷裂破壞高度與上下層摩擦系數(shù)大小和彈性模量以及高度比值的變化規(guī)律。

4.1 摩擦系數(shù)對(duì)頂板離層與斷裂的影響

為了探究巖間摩擦系數(shù)對(duì)頂板離層與斷裂的影響，保持直接頂與間接頂?shù)膹椥阅Ａ勘戎蹬c高度比值不變，依次增大層間摩擦系數(shù) μ，控制摩擦系數(shù)在0～0.2 之間，其他參數(shù)取值見(jiàn)表2。

4.1.1 摩擦系數(shù)對(duì)離層寬度及高度的影響

由式（9）可得：

聯(lián)合表1 和表2，將各彈性模量下的待定常數(shù)代入式（11）中，得到Fτi關(guān)于x、y的函數(shù)。令Fτi=0，得到函數(shù)f(xi)，對(duì)f(xi)求偏導(dǎo)得：

令式（12）等于0，得到函數(shù)極值點(diǎn)中y值為：

將式（13）代入f(xi)中即可得到離層寬度。

將x=0代入式（11），得到函數(shù)的2 個(gè)解分別為y1、y2，2 個(gè)解的差值即為離層高度，即：

式中：hτ為離層高度。

4.1.2 摩擦系數(shù)對(duì)斷裂高度的影響

由式（10）可得：

令FTi=0，得到一段拱形曲線的函數(shù)為f(yi)，由于f(yi)左右對(duì)稱，故在x=l/2處取得最大值：

式中：ymax為斷裂高度。

摩擦系數(shù)對(duì)頂板破壞影響如圖8。

圖8 摩擦系數(shù)對(duì)頂板破壞影響Fig.8 Effect of friction coefficient on roof damage

從圖8 可以看出：隨著摩擦系數(shù)的增大，離層破壞高度與寬度均有明顯降低，這是由于摩擦系數(shù)越大，層間摩擦力也越大，巖層的抗剪強(qiáng)度也會(huì)隨之增大；而斷裂高度隨著摩擦系數(shù)的增大也隨之增大，但上升趨勢(shì)并不明顯，摩擦系數(shù)對(duì)斷裂高度的影響比較小。

4.2 彈模比值對(duì)頂板離層與斷裂的影響

為了探究2 種巖層彈性模量的比值對(duì)頂板離層與斷裂的影響，同樣采用控制變量法，在各巖層屬性和直接頂與間接頂厚度及摩擦系數(shù)不變的情況下，保持直接頂?shù)膹椥阅Ａ坎蛔儯来卧龃箝g接頂?shù)膹椥阅Ａ浚淖冎苯禹斉c間接頂?shù)膹椖１戎捣秶?～5 之間。

首先計(jì)算出不同彈模下應(yīng)力勢(shì)函數(shù)的待定常數(shù)，將所得待定常數(shù)分別代入式（13）、式（14）和式（16）中，得到的彈模比值對(duì)頂板破壞影響如圖9。

從圖9 可以看出：隨著間接頂彈性模量的增大，離層寬度與高度和斷裂高度均有上升趨勢(shì)，這是由于隨著間接頂彈性模量的增大，其剛度也會(huì)隨之變大，而應(yīng)力則會(huì)向剛度大的地方轉(zhuǎn)移，造成更大的破壞面積。

4.3 層高比值對(duì)頂板離層與斷裂的影響

為了探究巖層高度的比值對(duì)頂板離層與斷裂的影響，運(yùn)用控制變量法，在其他條件不變情況下，保持直接頂與間接頂總厚度不變，改變直接頂與間接頂?shù)母叨缺戎捣秶?～10 之間。

計(jì)算出不同高度比值下應(yīng)力勢(shì)函數(shù)的待定常數(shù)，將所得待定常數(shù)分別代入式（13）和式（16）中，得到的層高比值對(duì)頂板破壞影響如圖10。

圖10 層高比值對(duì)頂板破壞影響Fig.10 Effect of layer height ratio on damage of roof

從圖10 可以看出：層高比值對(duì)頂板的破壞有顯著的影響，當(dāng)間接頂?shù)膶痈咴黾訒r(shí)，離層寬度顯著提升，這是由于層高在待定常數(shù)中的階數(shù)高于彈性模量的階數(shù)；對(duì)于斷裂高度，隨著間接頂層高的增加，斷裂破壞高度有著明顯降低，這是由于間接頂層高的增加，疊梁的中性軸上移，使得正應(yīng)力在下部集中，從而導(dǎo)致破壞高度降低。

5 實(shí)例模擬驗(yàn)證

選用由周均民等[19]所做的動(dòng)態(tài)相似模擬試驗(yàn)作為驗(yàn)證，頂板隨工作面推進(jìn)垮落圖如圖11。按照上文推導(dǎo)出的頂板破壞形態(tài)，煤層頂板的垮落區(qū)域應(yīng)該是離層和斷裂破壞區(qū)域的交集。

圖11 頂板隨工作面推進(jìn)垮落圖Fig.11 Roof caving with working face advancing

從圖11 可以看出：隨著工作面的持續(xù)推進(jìn)，頂板也沿著推進(jìn)方向以斜邊垮落，其垮落模塊大致可分為水平與垂直方向。沿著工作面的推進(jìn)方向，其頂板交替出現(xiàn)破壞。模擬試驗(yàn)結(jié)果符合以上推導(dǎo)分析，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了含摩擦作用疊梁應(yīng)力勢(shì)函數(shù)對(duì)煤層頂板破壞分析的正確性。

6 結(jié) 語(yǔ)

1）煤層頂板的破壞可大致分為2 類：由水平節(jié)理造成的離層和由垂直節(jié)理造成的斷裂。離層破壞區(qū)域呈上陡下平的類雙曲線分布；斷裂破壞區(qū)域呈對(duì)稱的拱形分布。

2）當(dāng)巖層巖性及高度不變時(shí)，層間摩擦系數(shù)越大，頂板破壞的就越小；當(dāng)巖層層高及摩擦系數(shù)不變時(shí)，間接頂巖性越強(qiáng)，頂板破壞范圍就越大；當(dāng)巖層巖性及總高度不變時(shí)，間接頂越高，離層寬度也隨之增加。

3）通過(guò)理論推導(dǎo)分析及模擬驗(yàn)證，可以說(shuō)明簡(jiǎn)化疊梁模型能對(duì)煤層頂板破壞進(jìn)行合理解釋，為煤層頂板破壞區(qū)域的計(jì)算提供分析模型。