“情境·設問·探究”模式下的章末總結課教學實踐
——以北師大版高中數學教材“計數原理”章末總結課教學為例

章建榮 (江西省南昌市鐵路第一中學 330002)

在高中數學章末總結課的教學中,創設合理的問題情境是十分重要的。合理的問題情境能夠引導學生進行自主思考、自主探究,幫助學生很好地應用所學的知識解決實際問題,本文以北師大版高中數學教材的“計數原理”章末總結課的教學為例來談一談章末總結課的教學探索。

一、教學目標

1.結合實例,理解排列與組合的概念和區別,感悟計數原理的基本思想,運用計數原理探索排列、組合問題;

2.通過流程圖或表格的形式,直觀地呈現“一件事”的完成過程,揭示分類加法計數原理和分步乘法計數原理的本質,并運用計數原理解決實際問題;

3.在運用計數原理求解問題的過程中,體會排列與組合的目的和意義,發展數學運算、邏輯推理等核心素養。

二、教學重點與難點

重點:1.將 “一件事”的完成過程用流程圖或表格的方式呈現;

2.利用分類加法計數原理和分步乘法計數原理求解問題。

難點:1.認識兩個基本計數原理與排列、組合的內在聯系;

2.利用計數原理推導二項式定理。

三、教學過程

摸球問題是古典概型中一類重要的問題。由于摸球的方式、球顏色的搭配及最終考慮的問題不同,其內容可以說是形形色色、千差萬別。

1.活動探究

如圖1,袋子中有紅色、黃色、黑色等多種顏色的球若干個,這些球除顏色外完全相同,現有編號為1,2,3,4,…的盒子,這些盒子除編號外完全相同。

圖1

【探究一】若袋子中有紅球、黃球、黑球、藍球各1個。

(1)從這4個球中抽取3個,共有多少種取法?

(2)從這4 個球中抽取3 個,分別放入1 到3號的盒子中,每個盒子放1 個球,共有多少種放法?

師生活動:

問題1:從這4 個球中抽取3 個,有多少種取法?

問題2:你是否還有其他方法解決此問題?

“從這4個球中去掉1個”的方法數和“從4個球中抽取3個”的方法數相等,即種。

問題3:第(2)問與第(1)問有什么關系?

“從這4個球中抽取3個,分別放入1到3號的盒子中,每個盒子放1個球”這件事可以分為兩步,第一步就是從這4個球中抽取3個,第二步是將這3個球進行排列。

如圖2,我們采用流程圖的方式呈現“從這4個球中抽取3個,分別放入1到3號的盒子中,每個盒子放1個球”這件事的完成過程。

圖2

問題4:我們還可以采用其他分步的方式完成“從這4個球中抽取3個,分別放入1到3號的盒子中,每個盒子放1個球”嗎? 該如何操作?

①如圖3,我們可以采用流程圖的方式呈現“從這4個球中抽取3個,分別放入1到3號的盒子中,每個盒子放1個球”這件事的完成過程。

圖3

共有4×3×2=24種方法。

②我們也可以采用表格的方式呈現“從這4個球中抽取3個,分別放入1到3號的盒子中,每個盒子放一個球”這件事的完成過程,如表1。

表1

共有4×3×2=24種方法。

問題5:從“4×3×2=24”中,有什么發現嗎?

歸納:從n個不同的球中取出m個球進行排列,共有種方法。

從n個不同的球中取出m個球進行組合,共有種方法。

其實排列與組合就是我們在使用計數原理求解問題的過程中發現的規律,為了簡化解題過程,我們建立計數模型,當我們以后遇到這類問題時,可以直接使用排列數公式或組合數公式簡化我們的解題過程。

排列與組合的聯系與區別:

①共同點:兩者都是關于從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的計數問題。

②不同點:排列需要考慮元素順序,組合不需要考慮元素順序。

③排列中有組合的思想,組合也可以由排列來處理。

【設計意圖】

(1)通過具體的實際問題,學生體會使用流程圖或表格的方式直觀呈現“一件事”的完成過程,突出解決計數問題的核心。

(2)第①問是組合問題,第①問的另一種解法體現的是一種反向思維,它是從問題對立面的角度思考問題,同時解釋了這個模型。

(3)第②問設置在第①問的后面,主要是引導學生在處理第②問時,可以以第①問為基礎,體現了排列問題可以看成先組合再全排列,這也為解決組合問題提供了一種逆向思維,同時揭示了排列與組合是我們為了便于解決計數問題而建立的兩個數學模型,其本質還是兩種基本計數原理。

【探究二】若袋子中有紅球、黃球、黑球、藍球、白球、綠球各1個。

(1)將這6個球分配到編號為1,2,3的3個盒子中,每個盒子中至少有1個球。

①若3個盒子中球的個數各不相同,則有多少種不同的分配方案?

②若1個盒子中有4個球,則有多少種不同的分配方案?

(2)若將這6個球分配到編號為1,2的2個盒子中,且每個盒子中球的個數大于其編號,則有多少種不同的分配方案?

師生活動:

問題1:袋子中一共有6個球,分到3個盒子中,每個盒子中至少有1個球,且每個盒子中球的個數各不相同,那么盒子中球的個數分別是多少個呢?

分別是1,2,3個。

問題2:在處理計數問題時,可以嘗試先組合再排列的思路處理問題,所以我們如何解答第①問呢?

首先將這6個球分成三組,且每組球的個數分別為1,2,3個,有種;再將這三個組合排列到3個盒子中,有種,由分步乘法計數原理可知:共有360種不同的分配方案。

問題3:袋子中一共有6個球,如果有1個盒子中有4個球,3個盒子中球的個數分別是多少個呢? 若先分組,再排列,則共有多少種分配方案呢?

每個盒子中球的個數分別是1,1,4個。

首先將這6個球分成三組,且每組球的個數分別為1,1,4個,有種;再將這三個組合排列到3個盒子中,有種。由分步乘法計數原理可知:共有種不同的分配方案。

問題4:袋子中一共有6個球,如果將這6個球分配到編號為1,2的2個盒子中,且每個盒子中球的個數大于其編號,那么1號盒子中球的個數至少多少個? 盒子中球的個數一共有多少種情況呢?

1號盒子中球的個數至少為2個。

用表格呈現所有可能的情況,如表2。

表2

我們按照上面的定額分組分配問題的求解辦法求解每一種情況即可,所以共有種不同的分配方案。

【設計意圖】

(1)第①問和第②問都是定額的分組分配問題,結合實際情境幫助學生回顧分組分配問題的處理思路——先分組再排列。

(2)第②問相比第①問的區別是有平均分組,在分組分配問題中,面對平均分組的問題,引導學生回顧該怎么處理,幫助學生鞏固解題方法。

(3)第②問是不定額的分組分配問題,通過這個問題幫助學生鞏固不定額的分組分配問題的處理思路——先分類再定額分組分配。

【探究三】現有編號為1,2,…,7 的7 個盒子,按編號排序,將紅色、黃色、藍色、黑色4個除顏色外完全相同的球全部放入7個盒子中,每個盒子最多放1個球,則恰好有2個相鄰的空盒且紅球與黃球不相鄰的放法共有______種。

師生活動:

問題1:有相鄰和不相鄰的問題,先考慮相鄰還是不相鄰呢?

可以先考慮相鄰。

問題2:我們要分步完成,可以分成幾步完成呢?

可以分三步完成。

第一步,先將4個球放到4個盒子中,在不考慮紅球和黃球不相鄰的情況下,共有種放法。

第二步,再考慮空盒相鄰的情況,只需要將兩個空盒捆綁,和剩余一個空盒插空即可,共有種放法。

第三步,最后考慮紅球和黃球不相鄰的問題。

問題3:紅球和黃球不相鄰的問題,我們能否轉化成相鄰的問題呢?

【設計意圖】

(1)結合實際情境幫助學生回顧相鄰和不相鄰問題的處理思路——插空法。

(2)面對不相鄰的問題,引導學生將不相鄰的問題轉化為相鄰的問題進行求解,滲透轉化與化歸思想。

【探究四】現有編號為1,2,3,4,5,6 的6個盒子,按編號排序,每個盒子中分別放有1個紅球和1個黃球,從每個盒子中任取1個球。

(1)若選出4 個紅球2 個黃球,則有多少種取法?

(2)從6個盒子中各取1個球,一共有多少種取法?

師生活動:

問題1:選出4個紅球2個黃球,即從4個盒子中選出了紅球,2個盒子中選出了黃球,共有多少種取法呢?

從6個盒子中任選4個盒子取出紅球,在剩下的2個盒子中取出黃球,所以共有種取法。

問題2:從6個盒子中各取1個球,要取多少次? 共有多少種取法?

取6 次,則可以分成6 步來完成這件事,如表3。

表3

共有26種取法。

問題3:在第①問的基礎上,換一種角度思考,抽取出來球的個數一共是6個,取出來的球有哪些情況呢?

共有7種情況,如表4。

表4

【設計意圖】

(1)第①問通過摸球模型解釋二項式展開式中a4b2的系數,利用計數原理分析問題,有效地幫助學生理解抽象的知識,從具體到抽象,增強了對二項式定理的直觀理解,起到鞏固知識的作用。

(2)第②問是在第①問的基礎上,通過摸球模型解釋二項式系數的性質,感悟排列、組合與二項式定理之間的關系,培養學生觀察歸納、抽象概括的能力。

2.總結提升

章節內容,如圖4。

圖4

核心知識:兩個基本計數原理

數學方法:圖示表格(實際問題直觀化)、化整為零(復雜問題簡單化)

數學思想:數形結合、轉化與化歸、分類討論

【設計意圖】

通過四個探究,引導學生經歷使用計數原理解決問題,從中提煉出排列與組合問題的核心其實還是計數原理。在具體到抽象的過程中,進一步發展學生類比、歸納等推理能力,體會數形結合、分類討論、轉化與化歸等思想。不但使學生“知其然”,而且讓學生“知其所以然”,體現以學生為本,讓學生在質疑、探究、理解、歸納和運用的過程中深刻理解排列、組合之間的關系,感悟排列與組合的聯系與區別,以及排列、組合與二項式定理之間的關系,發展數學運算、邏輯推理和數學建模等核心素養。

3.課后作業

(1)2名醫生和4名護士將被分配到2所學校為學生體檢,每所學校分配1名醫生和2名護士,共有多少種分配方法?

(2)6名同學排成一排,其中甲、乙兩人不相鄰的排法共有多少種?

(3)正六邊形有1個中心和6個頂點,若以這7個點中的3個點為頂點組成三角形,則共能組成多少個三角形?

四、教學反思

實踐證明,在“計數原理”章末總結課的教學中,采取“問題探究”的模式,能夠有效地彰顯學生在章末總結課中的主體地位,通過一類問題的探究,揭示知識的本質,突出知識之間的關系,通過問題引領學生在課堂上開展自主化數學探究活動,建構知識體系,促進數學思維能力的提升,從而高效地達到章末總結課的教學目標。