一道聯考試題的命制背景探究與推廣

黃志斌

2023年3月份廣東省燕博園聯考的第21題解幾壓軸題是證明兩組向量的數量積相等，筆者探究發現，該題其實是用向量形式包裝的兩組線段之積相等問題.對要證明的問題進一步研究發現，該題有一個圓錐曲線的性質結論為背景.

試題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的短軸長為2，離心率為32.點P（4，2），直線l：x+2y－1=0.

（1）證明：直線l與橢圓C相交于兩點，且每一點與P的連線都是橢圓的切線；

（2）若過P的直線與橢圓相交于A、B兩點，與直線相交于點Q，求證：PA·QB=PB·AQ.

筆者探究發現，該試題的背景是如下命題：

命題1 過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）外一點P（x0，y0）作橢圓的兩條切線，切點分別為M、N，再作過P點的直線與橢圓相交于A、B兩點，與直線MN相交于Q點，則PA，PB，AQ，QB滿足恒等關系PA·QB=PB·AQ.

這一結論結構對稱，是一個非常漂亮的性質，下面給出證明.

證明：先對要證明的命題進行等價變形，要證PA·QB=PB·AQ，即證PAPB=AQQB.設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），即證x1－x0x2－x0=x3－x1x2－x3，即證2x1x2－（x0+x3）（x1+x2）+2x0x3=0.

先不妨假設直線AB的斜率存在，其方程為y－y0=k（x－x0）.如圖1所示，過P（x0，y0）作橢圓的兩切線，則切點弦所在直線MN的方程為x0xa2+y0yb2=1.Q點即直線AB與MN的交點，聯立直線AB、MN的方程解得x3=a2（kx0－y0）y0+b2a2ky0+b2x0.聯立直線AB與橢圓的方程消去y得（a2k2+b2）x2－2a2k（kx0－y0）x+a2（kx0－y0）2－b2=0，x1+x2=2a2k（kx0－y0）a2k2+b2，x1x2=a2（kx0－y0）2－b2a2k2+b2，k滿足Δ=（a2-x02）k2+2x0y0k-y02+b2>0，所以2x1x2－（x0+x3）（x1+x2）+2x0x3=2·a2（kx0－y0）2－b2a2k2+b2－x0+a2（kx0－y0）y0+b2a2ky0+b2x0·2a2k（kx0－y0）a2k2+b2+2x0·a2（kx0－y0）y0+b2a2ky0+b2x0=2a2·a2b2k（kx0－y0）－a2b2k（kx0－y0）a2ky0+b2x0a2k2+b2=0.

再驗證直線AB斜率不存在時，其方程為x=x0，要證PAPB=AQQB，即證y0－y1y0－y2=y1－y3y3－y2，即證2y1y2－（y0+y3）（y1+y2）+2y0y3=0，聯立x=x0與x0xa2+y0yb2=1，解得y3=a2b2-b2x02a2y0；聯立x=x0與x2a2+y2b2=1得y1+y2=0，y1·y2=－a2b2－b2x20a2.所以2y1y2－（y0+y3）（y1+y2）+2y0y3=-2·a2b2-b2x02a2+0+2·y0·a2b2-b2x02a2y0=0.

命題同樣成立，得證.

繼續探究還發現，該命題還可以推廣到雙曲線和拋物線.

命題2 過雙曲線x2a2－y2b2=1（a，b>0）外一點P（x0，y0）作它的兩條切線（存在兩條切線的條件下），切點分別為M、N，再作過P點的直線與雙曲線相交于A、B兩點，與直線MN相交于Q點，則PA，PB，AQ，QB滿足如下關系PA·QB=PB·AQ.

命題3 過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）作它的兩條切線（存在兩條切線的條件下），切點分別為M、N，再作過P點的直線與雙曲線相交于A、B兩點，與直線MN相交于Q點，則PA，PB，AQ，QB滿足如下關系PA·QB=PB·AQ.

上述命題證明仿命題1，請讀者完成.