例談“阿氏圓”在求解三角形最值問題中的妙用

楊金鵬

阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡稱，即平面內到兩個定點的距離之比為一個不等于1的正數的點的軌跡是圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.

其具體定義如下：如圖1所示，已知A，B是平面內的兩個定點，若平面內的點P滿足PAPB=k（k>0，k≠1），則點P的軌跡是圓.若在線段AB及其延長線上分別上取點E，F，且使得AEEB=FAFB=k，則點P的軌跡就是以EF為直徑的圓，該圓就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

在解三角形問題中，若出現類似于線段比值的條件時，便可考慮構造阿氏圓來解決問題，從而達到事半功倍的效果.下面就通過幾個例題來探究如何構造阿氏圓來求解三角形中的最值問題.

解析：如圖2，由角平分線性質可知ABAC=BDDC=2，延長BC至E，使得EBEC=2，則由阿氏圓定義可知，頂點A的軌跡是以DE為直徑的圓（不含D，E兩點）.所以，當AO⊥BC時，ΔABC的面積達到最大.由于DE=8，此時高AO=4，所以（SΔABC）max=12×6×4=12，故選C.

例2 已知邊長為2的等邊ΔABC，D是平面ABC內一點，且滿足DB：DC=2：1，則ΔABD面積的最大值是（ ）.

解析：以BC的中點O為原點，建立如圖3所示的直

角坐標系，則A（0，3），B（－1，0），C（1，0），設D（x，y），因為DB：DC=2：1，所以x+12+y2=4x－12+4y2，得x－532+y2=169，所以點D的軌跡為以（53，0）為圓心，以43為半徑的圓，當點D距離直線AB距離最大時，△ABD面積最大，已知直線AB的方程為3x－y+3=0，AB=2，點D距離直線AB的最大距離為d+r=533+32+43=433+43，所以△ABD面積的最大值為S△ABD=12×2×433+43=433+43.故選C.

例3 以BC為底邊的等腰ΔABC中，腰AC邊上的中線長為9，當△ABC面積取最大時，腰AB長為（ ）.

解析：如圖4，取AC中點D，則ABAD=2，在線段BD及其延長線上分別上取點E，F，且使得BEED=FBFD=2，由阿氏圓定義可知，頂點A的軌跡是以EF為直徑的圓（不含E，F兩點），所以當AO⊥BO時，△ABC面積最大，由條件可求得AO=6，BO=12，所以AB=62+122=65，故選C.

解析：如圖5，在線段BC及其延長線上分別上取點E，F，且使得BEEC=FBFC=2，由阿氏圓定義可知，頂點A的軌跡是以EF為直徑的圓（不含E，F兩點），要使得BC最小，則要使得高最大，由圖可知，當AO⊥BO時，高最大.設BC=x，求得AO=23x，則SΔABC=12×x×23x=1，解得x=3，即BCmin=3，故選C.

例5 在△ABC中，AB=2，D，M分別是邊AB，AC的中點，CD與BM交于點G，若GC=3GB，則△ABC面積的最大值為（ ）.

圓定義可知，點G的軌跡是以EF為直徑的圓（不含E，F兩點），所以，當GO⊥BO時，ΔGBD的面積最大，此時GO=23，所以（SΔGBD）max=12×1×23=3.又由相似性可知SΔABC=6SΔGBD，于是（SΔABC）max=6（SΔGBD）max=63，故選C.

參考文獻

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