一道解三角形質檢試題的探究

蔡海濤

一、試題呈現

（武漢市23屆高三二調·題19）在△ABC中，AB=2，D為AB中點，CD=2.（1）若BC=2，求AC的長；（2）若∠BAC=2∠BCD，求AC的長.

本題以三角形問題為載體，主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想等，考查數學運算、邏輯推理等核心素養，體現基礎性和綜合性．

本題屬解答題中的中檔題，但學生答題情況不理想，大部分學生“卡殼”在第（2）問，主要原因是無法合理分析多個三角形中邊角關系，或是想快速答題而導致“欲速而不達”.

二、解法探究

先求解第（1）問.

解法1：（構造直角三角形）取BD中點M，則CM⊥BD，因為BM=MD=12，所以CM=BC2－BM2=72，則Rt△ACM中，AC=CM2+AM2=74+94=2.

評注：利用BC=CD，在等腰△BCD中，作BD邊上高，從而在Rt△ACM中求得AC的長.一般地，在解三角形的求邊問題中，若能把要求的邊歸結在一個直角三角形中求解，會使得運算簡化.

解法2：（在△BCA中利用余弦定理）在△BCD中由余弦定理得cosB=BC2+BD2－CD22BC·BD=24，則在△BCA中由余弦定理得cosB=BC2+BA2－AC22BC·BA=22+22－AC22×2×2=24，解得AC=2.

評注：分析圖形，在△BCA中求AC的長.由于△BCA中已知AB及BC的長，故只需求cosB即可，進而在△BCD中求得cosB的值，問題得解.

解法3：（在△ACD中利用余弦定理）在△BCD中由余弦定理得cos∠BDC=BD2+CD2－BC22BD·CD=24，則cos∠ADC=－cos∠BDC=－24，在△ACD中，AC2=AD2+CD2－2AD·CD·cos∠ADC=4，所以AC=2.

評注：在△ACD中求AC的長.由于△ACD中已知AD及DC的長，故只需求cos∠ADC即可，進而在△BCD中求得cos∠BDC的值，又cos∠ADC=－cos∠BDC，問題得解.本法與解法2類似，解題思路是尋找欲求的邊所在的已有三角形，分析已知的邊角條件，進而利用正、余弦定理求解，這是解三角形問題求邊（角）問題的常用方法.

下面分析第（2）問.

解法1：（在△BCD中及△ACD中尋找邊的關系）在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，即1sinA2=asin∠BDC①.在△ACD中，由正弦定理得CDsinA=ACsin∠ADC，即2sinA=bsin∠ADC②.因為sin∠BDC=sin∠ADC，由①除以②得cosA2=a2b③.在△BCD中得cosA2=BC2+CD2－BD22BC·CD=a2+122a④.由③④得a2=b2－b（※）.因為BC2+AC2=2CD2+AD2=6，即a2+b2=6，代入（※）式得b3－2b2－7b+12=0，即b－3b2+b－4=0，又2－1

解法2：（在△BCD中及△ACD中尋找邊的關系）在△ADC中，由正弦定理得sin∠BACCD=sin∠ADCAC，即sin∠BAC2=sin∠ADCb.在△BDC中，由正弦定理得sin∠BCDBD=sin∠BDCBC，即sin∠BCD1=sin∠BDCa.又sin∠ADC=sin∠BDC，得sin∠BACsin∠BCD=2ab.由余弦定理，在△BDC中有cos∠BCD=a2+2－122a.

由∠BAC=2∠BCD，有sin∠BAC=2sin∠BCD·cos∠BCD，所以2ab=2·a2+2－122a，整理得2a2=ba2+1①.又由cos∠ADC=－cos∠BDC，得1+2－b222=－1+2－a222，所以a2+b2=6②.聯立①②得b3－2b2－7b+12=0，下同解法1得b=17－12.

評注：根據∠BAC=2∠BCD，故對這兩個角所在兩個三角形△BCD及△ACD進行研究，得到a，b間的關系，結合中線長的性質，求得AC的長.

解法3：（利用平面幾何尋找邊的關系）延長BA到E，使得AC=AE，則∠BAC=∠E+∠ACE=2∠E，所以∠BCD=∠E.易知△EBC～△CBD，故EBCB=BCBD，即2+ba=a1，所以a2=2+b，與a2+b2=2CD2+AD2=6，聯立得b2+b－4=0，解得b=17－12.

評注：根據∠BAC=2∠BCD，構造∠BAC的半角∠E，利用三角形相似得a，b間的關系，結合中線長的性質，求得AC的長.利用幾何關系，運用平面幾何知識達到簡化運算的目的.

由以上解答不難看出，本題解題的切入點較多，很好地考查了解三角形的有關知識及思想方法，是一道質量較高的試題，教師可從不同角度剖析引導學生思考，掌握解三角形的基本方法；另一方面，解較為復雜的三角形問題，其解決問題的數學本質還是不變的，即在三角形中，利用正余弦定理尋找三角形基本元素（邊、角）的關系，或是結合圖形特征，力求簡化運算.

三、鏈接高考

（2021年新高考Ⅰ卷19題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC．

（本文系福建省基礎教育課程教學研究課題《挖掘高中數學育人價值的實踐研究》（課題編號：MJYKT2021-135）階段性成果.）