例談放縮法在求解導數問題中的妙用

李丁

放縮函數與放縮參量在取值范圍、不等式恒成立等問題中經常使用，其重要性不必贅述.很多導數題目可以轉化為上述問題，學生在使用上述方法時，往往會出現一種傾向，即看到題目就想構造函數然后求函數的最值，以至于導致后續函數式過于復雜，而不能求解.事實上，我們要認識到每一種方法的運用都不能教條主義，本文通過幾個典型例題的分析求解，旨在幫助學生們辯證處理此類題目，多一種考慮問題的角度，進而做到擇其優者而選之.

題目1 （2018年高考數學全國卷I文科第21題）已知函數若fx=aex－lnx－1.（１）設x=2是fx的極值點，求a，并求fx的單調區間；（２）證明：當a≥1e時，fx≥0.

解：（1）解法同高考參考答案，不再贅述.

（2）法一：（放縮函數法）當a≥1e時，fx≥0等價于aex－1≥lnx

令gx=aex－1，hx=lnx；如圖1，易求函數hx=lnx在1，0處的切線方程為mx=x－1，并且易證mx≥hx，下面證明gx≥mx.

做輔助函數k（x）=g（x）－mx=aex－x，k′x=aex－1，k′x=0，x=－lna當a≥1時，x∈（0，+∞），k′x≥0，kx單調遞增，kx>k0=a>0，所以gx≥mx；

當1e≤a<1時，x∈0，－lna，k′x<0，kx單調遞減，

x∈－lna，+∞，k′x>0，kx單調遞增，kxmin=k－lna=1+lna≥0，kx>kxmin=1+lna≥0，所以gx≥mx綜上述，當a≥1e時，gx≥mx.

由以上分析可知，gx≥mx≥hx，所以，當a≥1e時，aex－1≥lnx，即fx≥0.

法二：（放縮參量法）當a≥1e時，fx=aex－lnx－1≥ex－1－lnx－1.令gx=ex－1－lnx－1，欲證fx≥0，只需證gx=ex－1－lnx－1≥0.由g′x=ex－1－1x，則y=g′x在0，+∞上單調遞增且g′1=0，所以當x∈0，1時g′x<0，則gx=ex－1－lnx－1在0，1單調遞減，當x∈1，+∞時，g′x>0，則gx=ex－1－lnx－1在1，+∞單調遞增，所以y=gx的最小值是g1=0，所以fx≥gx≥g1=0，所以，當a≥1e時，fx≥0.

題目2 （2018年高考數學全國卷III文科第21題）已知函數fx=ax2+x－1ex.（1）求曲線y=fx在點0，－1處的切線方程；（2）證明：當a≥1時，fx+e≥0.

解法：（1）解法同高考參考答案，不再贅述.

（2）法一：（放縮函數法）fx+e≥0即ax2+x≥－ex+1+1.令mx=ax2+x，gx=－ex+1+1，如圖2，做gx在－1，0處的切線hx=－x－1.

欲證fx+e≥0，只需證mx≥hx≥gx，下面證明hx≥gx.令Fx=hx－gx，即Fx=ex+1－x－2，即證明Fx≥0.F′x=ex+1－1，F′（x）=0，x=－1，當x∈（－∞，－1）時，F′（x）<0，則F（x）在（－∞，－1）單調遞減，當x∈（－1，+∞）時，F′（x）>0，則F（x）在（－1，+∞）單調遞增，F（x）min=F－1=0，所以F（x）≥0，即h（x）≥g（x）.下面再證明m（x）≥h（x），即證明m（x）－h（x）≥0，令H（x）=m（x）－h（x）=ax2+2x+1，由于a≥1，Δ=4－4a≤0，所以H（x）=m（x）－h（x）≥0，即m（x）≥h（x）.由以上可知m（x）≥h（x）≥g（x），即f（x）+e≥0.

法二：（放縮參量法）當a≥1時，f（x）+e≥x2+x－1ex+e，欲證f（x）+e≥0，只需證明x2+x－1ex+e≥0，即ex+1+x2+x－1≥0.令g（x）=ex+1+x2+x－1，則g′（x）=ex+1+2x+1.當x<－1時，g′（x）<0，g（x）單調遞減；當x>－1時，g′（x）>0，g（x）單調遞增.所以g（x）≥g－1=0，因此，f（x）+e≥0.

題目3 （2018年北京市朝陽區一模理科第18題）已知函數f（x）=lnxx－ax．（1）當a=2時，（ⅰ）求曲線y=f（x）在點1，f1處的切線方程；（ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（2）若1

解：（1）易解，不再贅述.

（2）法一：（放縮函數法）f（x）<－1即lnx

欲證f（x）<－1，只需證m（x）>h（x）≥g（x），下證h（x）≥g（x）.令F（x）=h（x）－g（x）=x－1－lnx，F′（x）=x－1x，F′（x）=0，x=1，當x∈0，1時，F′（x）<0，F（x）單調遞減，當x∈1，+∞時，F′（x）>0，F（x）單調遞增，所以F（x）≥F1=0，即h（x）≥g（x）.

下證m（x）>h（x）.令H（x）=m（x）－h（x）=ax2－2x+1，由于10，即m（x）>h（x）.

法二：（放縮參量法）f（x）<－1，即ax2－x－lnx>0.令g（x）=ax2－x－lnx，由于1x2－x－lnx，令h（x）=x2－x－lnx，所以欲證f（x）<－1，只需證明h（x）=x2－x－lnx≥0.下證h（x）=x2－x－lnx≥0.h′（x）=2x2－x－1x，h′（x）=2x2－x－1x=0，x=1，當x∈0，1時，h′（x）<0，h（x）單調遞減，當x∈1，+∞時，h′（x）>0，h（x）單調遞增，所以h（x）≥h1=0，所以g（x）=ax2－x－lnx>x2－x－lnx≥0，因而f（x）<－1.

總結：放縮函數法運用以直代曲思想，做出切線，把曲線根據需要放縮為直線，利用切線與曲線的位置關系加以證明.放縮參量法運用放縮參量的方法成功避免了求含有參數函數的最值，使不等式證明變得簡單化.

參考文獻

［1］薛金星.2018年全國及各省市高考試題全解（11）［M］.陜西人民教育出版，2018，6.

本文是北京高教學會數學研究分會/北京交叉科學學會項目課題的部分研究成果.