基于快速傅里葉變換FFT 量化乒乓球拍底板性能的研究

于泓

（中國能源建設集團遼寧電力勘測設計院有限公司 遼寧 沈陽 110179）

隨著乒乓球運動高精準化發展，球員選擇適合自我特點的球板，越發感到困惑，原因是球板性能沒有明確的量化標識。為此，研究者們開展了相關的研究。文獻采用頻率計測試出球板的基頻表征試品的性能，但忽視了一階固有頻率以外高階的固有頻率的作用。文獻探討了固有頻率與球板結構的關系，涉及了專業軟件計算多階固有頻率的方法，列出的一階固有頻率數值未落在文獻歸納范圍內（220-660Hz），選取木材工程的經驗數據計算，難免偏離實際的結果。為彌補現有量化技術的不足，急需研究開發新的量化方法。

1、球板具有n 階固有頻率和n 階固有振型的屬性

任意一只球板都具有其唯一的多階固有頻率和對應的多階固有振型的屬性，其多階固有頻率數值與對應的模態剛度和模態質量相關，證明如下述。

1.1、n 階固有頻率

實際的球板結構可認為是一振動系統，其質量和彈性是連續分布的，具有無限多個自由度。為簡化分析，將系統簡化為有限多個自由度的振動系統。一般情況下，n 個自由度無阻尼系統的自由振動的運動微分方程具有以下形式：

設n自由度系統運動微分方程（1）的特解為

由（3）式可觀察到，要使A有不全為零的解，必須使其系數行列式等于零。于是得到該系統的頻率方程：它是關于2p的n次多項式，由它可以求出n個固有頻率（或稱特征值）。因此，n個自由度振動系統具有n個固有頻率，即：。

1.2、n 階固有振型（主振型、主模態）

將已求出的固有頻率（特征值）代入式（3），可分別求得相對應的A。對應pi可以求出，其各元素振幅的集合就是系統n 階固有頻率的主振型。

1.3、各階固有頻率與對應的模態剛度、模態質量的關系

質量、剛度對固有頻率的影響有以下分析，由式（6）可知

上式中Ki、Mi分別為第i 階模態剛度和第i 階模態質量。由式（8）可以看出，系統的某階固有頻率隨該階的模態剛度影響系數增大而增大，隨該階模態質量的增大而減小。

實際取得球板的剛度和質量的分布參數是很困難的。對于多階固有頻率以及振型，測試和實驗將是最好的實現方法。

2、傅里葉變換和快速傅里葉變換FFT

周期函數可展開為傅里葉級數：

式中1ω為基波角頻率；n為諧波次數；a0為常數分量；為各次諧波的幅值。經歐拉轉換，（9）式的復數形式為：，式中cn為各次諧波系數，它相當于幅值（11）。傅里葉級數式（10）是將時域數據分解為無窮多個離散的諧波。因此，對任意周期函數X(t)的傅里葉變換，得到的是頻率函數X(f)，實現時間域信息轉變為頻率域信息，即頻譜分析。

利用復指數函數的周期性和對稱性，學者庫利和圖基提出了快速傅里葉變換FFT 的算法，充分利用中間結果，大大減少了計算工作量，提高了計算速度,推動了FFT 分析儀的開發利用。由于測試輸入是真實的振動模擬信號，無需附加力學參數和邊界假定，當被測球板在激勵下，激振的頻率接近系統的各固有頻率，即ω≈Ρn時，振幅放大系數β 出現最大值，各階主振型振動幅值達至峰值，因這些峰值呈“鶴立雞群”樣明顯突出，特別利于對各階固有頻率值的抓取，達到實驗測試目的。

3、實驗

3.1、試件前5 階固有頻率的測試

實驗按圖1 左側布置，受試球板懸掛在實驗臺架，安靜環境下，啟動FFT 頻譜分析儀待測，用帶氈墊木槌輕擊球板中下部形成強迫激勵，當屏幕出現如圖1 右側的圖形，按停止鍵，該圖譜將保持在屏幕上靜止，撥動游標，與“鶴立雞群”的f1、f2、f3、f4、f5 波峰重合時，分別記錄它們的頻率數值，即完成測試。

圖1 FFT 測試受試球板裝置和測試的屏顯頻譜示意圖

實驗選擇各類型球板測試，經統計，前五階固有頻率均分布在240-2200Hz 范圍內。

3.2、前5 階固有頻率測試案例

兩只球板測試結果如圖2 所示，左側圖中顯現了1-5 階固有頻率的頻譜。圖2 右側圖的圖譜并未反映通常的f2 固有頻率屬性，原因是該球板采用了芳基碳素纖維編織材料，屬于特例。11只球板測試結果按直板和橫板分成兩組，以表1 和表2 列入。

表1 被測球板（直板）1 至5 階固有頻率測試結果表 單位（Hz）

表2 被測球板（橫板）1 至5 階固有頻率測試結果表 單位（Hz）

圖2 FFT 測試輸出實例截屏照片

3.3、球板的1 至5 階主振型實驗

為取得1-5 階的主振型，先從獲得節線入手。前面方法獲得各階固有頻率數值后，以低頻信號發生器用已知頻率值逐階激勵（見圖3 左側裝置），讓球板在其各階的固有頻率分別發生持續的同頻共振，事先球板表面均勻撒布輕顆粒體（見圖3 右側），顆粒體在球板的振動中獲得動能而跳躍，由高動能向低動能區移動。板面逐漸發生輕顆粒體聚集的現象，它們聚集而形成規則的線條（見圖4），這些線條經整理繪出各階振型的節線（見圖5）。再根據振動體節線上位移最小，節線兩側振動位移方向相反的特性，繪制出球板的1-5 階的主振型圖（見圖6）。

圖3 同頻共振連續激勵裝置和均勻散布輕顆粒的受試球板

圖4 1 階至5 階固有頻率同頻共振下小顆粒體匯聚成固有振型的波節線圖形

圖5 由同頻共振實驗的圖形結果繪制成節線圖

圖6 球板前五階固有頻率振型圖

4、推薦兩組數據作為比對基準值

為了實驗結果的比對方便，推薦（表1）中代號S5160 直板和（表2）中代號S2397 橫板試品兩組數據分別為直板基準數據組和橫板基準數據組。歸一化處理案例見（表3）和（表4）。

表3 被測球板（直板）1 至5 階性能量化比對系數表

表4 被測球板（橫板）1 至5 階性能量化比對系數表

5、實驗數據分析和主觀感受

由實驗觀察，低階到高階固有頻率的振幅（形變量）總趨勢是逐階下降的，5 階以后的振幅高度與非固有頻率的振幅差距越來越小，力學特征已不明顯，相應前五階固有頻率比較容易獲得。選擇多種類型球板參與測試發現，無論是橫板還是直板，無論是全木材料還是加混碳素纖維材料，幾乎所有受試球板的五階振型圖模樣都是相似的，球板性能之間的區別主要反映在各階固有頻率的數值大小。

一階固有頻率是主基調，傳統的敲球板子聽聲音辨球板來自于它。一階固有頻率的節線呈“一字”形，振型呈“魚尾”擺動樣。頻率值表征了球板總體縱向彎曲剛度的強與弱，主要貢獻因素來自于球板各層縱向木紋纖維材料的物理性能以及球板的總體厚度等。頻率過高的球板顯“僵硬”不易控制，頻率過低的球板顯“糠軟”乏力；

二階固有頻率的節線如圖，振型呈四瓣翹邊樣。頻率值靠近一階固有頻率，其頻率值表征了球板橫向邊沿彎曲剛度的強與弱，主要貢獻因素來自于球板力材橫向木紋纖維材料的物理性能。在一階固有頻率的振動的基礎上增加了一個振動層次，手感增加了“酥”的層次感；

三階固有頻率的節線呈“背心”形，振型呈縱橫對稱凹凸樣。頻率值表征了球板縱向和橫向彎曲剛度的強與弱，主要貢獻因素來自于球板表層面材和次表層力材（或外置芳基碳編織層）的物理性能。頻率過高的球板擊球“脫板”速度過快，不易控制；頻率過低的球板出球發不上力量；

四階固有頻率的節線似“桃形”，呈封閉的環，振型似“水母”樣，越靠近環中心區域形變越大，頻率值表征了球板中部環形區剛度的強與弱，形變的大與小。主要貢獻因素來自于球板芯材（和內置芳基碳編織層）的物理性能。頻率過高的球板擊球有“脫板”過快，形變小，有不“持球”感，影響旋轉的發揮；頻率過低的球板擊球有“脫板”過慢，形變大，有不“通透”感，影響擊打強度和速度的發揮；

五階固有頻率節線呈“T 裇”形，振型呈“Y 字”凹凸形。頻率值表征了球板面材縱向和橫向剛度的強與弱，決定頻率數值的主要貢獻因素來自于球板表層面材的物理性能。頻率高的球板“脫板”快，借力回彈快速，“脆感”反饋強；頻率低的球板借力回彈較慢，“脆感”反饋弱。

6、小結

一只球板從制造完成就確定了它的多階固有頻率的屬性，其屬性由其物理參數決定并與擊球性能存在內在的對應關系。基于快速傅里葉變換FFT 原理，采用實驗測試的方法，將激勵下球板的時間域振動信號轉變為頻率域的頻譜信息，將頻譜曲線中“鶴立雞群”的前5 項頻率檢出，完成獲取一階至五階固有頻率值。再采用巧妙的同頻共振方法獲得1-5 階對應的主振型。實驗結果與主觀感受符合基本規律，具有良好的精準性和重現性，形成一套新的乒乓球拍底板性能的量化方法。為方便比對數據，課題推薦直板和橫板兩組數據為基準數據，可做歸一化處理供用者使用。

課題展望，隨著測試數據和使用者的主觀感受研判的積累，客觀的屬性與主觀的感受終會相得益彰，會不斷提煉出測試參數與球板全面性能關系。依據每一只球板所標識的屬性參數選擇球板，會幫助球員提高訓練質量和比賽成績。對于千千萬萬的愛好者，以精準的量化參數選購球板，會減少廢棄和經濟損失，少走彎路。減少木材消耗，對保護森林、保護環境具有積極意義。