籃球運動中的幾個力學問題

岳國聯

(六盤水市教育科學研究院 貴州 六盤水 553000)

黃紹書

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553004)

籃球可以看成是質量均勻分布的球殼,雖然其形變尺度比較顯著,但在一些特定運動過程中,是可以從剛體或準剛體的角度進行分析的.籃球運動過程是比較復雜的,往往既有平動,又有轉動.籃球運動是最為普及的體育健身項目之一,這里來討論分析一下籃球運動中的幾個力學問題.

1 轉動慣量

根據

(1)

可知,求剛體的轉動慣量,關鍵是結合實際剛體模型確定3個要素[1],即剛體質元dm的表示式,質元dm到轉軸的距離r的表示式,積分的下限r0和上限rs也就是積分范圍.對于如圖1所示的籃球,取其上半部來分析.

圖1 求籃球的轉動慣量

半徑為r處的圓環,有

r=Rsinθ

(2)

(3)

(4)

以上各式中,m均為籃球質量(下同),R均為籃球半徑(下同).

順便說明,若對于實心均勻球體的轉動慣量,可以借助均勻圓盤對其對稱軸的轉動慣量公式并結合圖1所示的圖示來進行分析.這樣,半徑為r處的圓盤的轉動慣量元為

(5)

而

r=Rsinθ

(6)

(7)

所以,實心均勻球體的轉動慣量為

(8)

說明一下,這里在求解籃球和均勻實心球體的轉動慣量過程中的積分運算時,都直接應用了

(9)

這個重要的數學公式.

2 轉動角速度及其變化

在運球行走中,籃球與地面碰撞的瞬間,由于地面的靜摩擦力對籃球的瞬時切向沖量矩,導致籃球旋轉或改變籃球的旋轉狀況.如圖2所示,籃球具有水平平動速度vc,與地面碰撞瞬間受到地面沿水平方向的靜摩擦力f和豎直方向的作用力Fn(地面彈力和重力的矢量和)的共同作用.若籃球與地面的第一次碰撞使籃球獲得繞水平對稱軸(直徑)轉動的角速度ω1,設籃球與地面的作用時間為Δt,那么

圖2 切向沖量矩使籃球旋轉

fRΔt=Jω1

(10)

即摩擦力對籃球的沖量矩等于籃球的動量矩增量.所以

(11)

將式(4)代入式(10),得

(12)

籃球每次與地面碰撞,都會受到地面靜摩擦力的切向沖量矩.因此,籃球的轉速原則上會隨著運球行走過程中(設手每次對籃球的作用力均保持豎直向下)籃球與地面碰撞次數的增加而增大.如果籃球每次與地面碰撞過程受力情況都相同,那么,第n次碰撞后籃球的角速度將變為

(13)

在實際情況下,由于空氣阻力作用等多重因素,籃球的轉動角速度增大到一定程度后就不會繼續增大了.

一般地,有

(14)

式中fm為最大靜摩擦力,μm為最大靜摩擦因數.

當籃球的水平平動速度和豎直平動速度都比較大時,籃球與地面碰撞的過程中,地面對籃球豎直方向的作用力Fn和靜摩擦力f都會很大,且靜摩擦力可達到最大靜摩擦力fm.這時,轉動角速度也是最大的,可能達到最大值.因此,結合式(14),可將式(13)改寫為

(15)

從式(15)可以看出,運球行走過程中,籃球轉動的最大角速度與籃球的質量無關.

3 機械能的轉化

假定籃球以平動速度vc從某一高度h0處無轉動地水平拋出,讓籃球只在重力和地面作用力的作用下運動.籃球初始時刻的機械能可表示為

(16)

與地面第一次碰撞后獲得轉動角速度ω1.那么,根據機械能守恒定律,這時的機械能可表示為

(17)

(18)

根據前述分析,以后籃球每次碰撞,其轉動角速度都將增大.仍假定每次碰撞過程籃球的受力情況都相同,那么,根據式(13),第n次碰撞后籃球的角速度為nω1.因此,籃球第n次反彈達到某一最高位置hn時,其機械能表示式為

(19)

隨著碰撞次數n的逐次增加,反彈最大高度hn將逐次減小,而轉動角速度ωn將逐次增大.當hn減小到零時,ωn達到最大值ωm,這時機械能表示式為

(20)

(21)

從式(21)可以看出,籃球的初始位置越高,籃球的半徑越小,最終獲得的轉動角速度就越大.需要說明,式(21)與式(15)的意義是不盡相同的.

綜上可以認為:籃球只在重力和地面作用向前自由彈跳的過程,實際就是重力勢能逐次轉化為轉動動能的過程.