妙用質心巧解高考壓軸題

程志強

(山東省濟鋼高級中學 山東 濟南 250100)

1 質心知識回顧

設N個質點系統中各個質點的位置分別為x1、x2、x3、…、xN,我們定義此質點系的質心位置xc為

質心速度為

質心加速度為

系統的合動量是質心的動量

系統的牛頓第二定律可以寫成

F=Mac

此式告訴我們:質心的運動行為可以代替質點組的運動行為,質點組的質量等于質心的質量,作用在此質心的力等于系統所受到的外力矢量總和.這個結論稱為系統的質心運動定理[1-2].

質心運動定理表明,牛頓定律具有一種獨特的性質,即如果它在某一小尺度范圍內是正確的,那么在大尺度范圍內也將是正確的.鑒于此,實驗室中證實質點運動規律的一切實驗,利用多質點系統(例如小球)去實現才成為可能.在解決有多個物體相互作用的問題時,如果在質心系中解決問題,會給人以柳暗花明又一春的感覺,會將很復雜的問題變得十分簡單[3],將壓軸題快速破解.

2 應用比較

2.1 巧解高考壓軸題1

【例1】(2014年高考安徽理綜卷第22題)在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物塊B.物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖1所示,L為1.0 m,凹槽與物塊的質量均為m,兩者之間的動摩擦因數μ=0.05,開始時物塊靜止,凹槽以v0=5 m/s初速度向右運動,設物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失,且碰撞時間不計,g取10 m/s2,求:

圖1 物體與凹槽位置圖

(1) 物塊與凹槽相對靜止時的共同速度;

(2) 從凹槽開始運動到兩者相對靜止物塊與右側槽壁碰撞的次數;

(3) 從凹槽開始運動到兩者剛相對靜止所經歷的時間及該時間內凹槽運動的位移大小.

方法1：一般解法

解：(1)B在A中左右運動,與左右邊碰撞及兩者間摩擦力都是內力,系統動量守恒,最后達到共同速度,由動量守恒得

mv0=2mv1

解得

(2)A和B間的滑動摩擦力f=μmg,系統動能的減少等于產生的熱量,即

代入數據得

s相對=12.5 m

考慮到L=1 m,物塊最后停在凹槽左側,兩者達到共同速度,物塊與前邊碰撞6次.設A、B碰前的速度分別為v1、v2,碰撞后的速度分別為v′1、v′2,因為是彈性碰撞,所以

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

m1=m2

解得

v′1=v2v′2=v1

即A、B兩個物體不斷碰撞,每碰一次兩者交換速度一次,以地面為參考系畫出兩者的v-t圖像,由于加速度大小都為μg,圖像具有對稱性,且兩者圖像不斷轉換,根據碰撞次數可以分成13段,如圖2所示.

圖2 物體與凹槽碰撞速度時間圖

對凹槽

所以

t=5 s

凹槽的v-t圖像與時間軸所圍面積即為凹槽的位移,也就是圖中陰影的面積,上面等腰三角形面積被分割成13份,第一份陰影面積0.5L,其余均為L.

由以上解法可知:本題難在兩個物體的不斷碰撞,不斷交換速度,過程復雜,即使借用圖像也不易畫對,面積也不易算對,本題是典型的壓軸難題.

方法2：在質心系中的解法

(1)設A和B的質量均為m,由于系統不受水平方向外力作用,因此系統水平方向動量守恒.系統動量為2mvc,其中質心速度vc等于A和B相對靜止時的共同速度.由動量守恒可求得

A和B間的相對運動分析:第一階段,B從A中央右行,B受摩擦力加速,A受摩擦力減速,A快于B;第二階段,B與A左端互碰,交換速度(彈性碰撞,A和B質量又相等),A以B碰前的速度運動,并受摩擦力加速,B以A碰前的速度運動,并受摩擦力減速.因此,可以認為B由第一階段的加速運動,在第二階段中被A取代.如此繼續下去,直至A和B相對靜止,以共同的質心速度向右前進.

從以上分析,就B相對A運動的相對路程可以等價地看成B在足夠長的A內運動,直至相對靜止為止,設所經歷的路程為s相.

因為作為一對作用力和反作用力的摩擦力做功的大小等于摩擦力與相對路程的乘積

Af=-μmgs相

根據動能定理

由于s相是B相對A運動的相對路程,所以B可與A碰撞12次(L=1.0 m),最后停在箱A與右壁接觸處(只接觸,不碰撞).

(2)為考查從B開始運動到A和B相對靜止經歷的時間,仍然采用上面的等價法,即B在足夠長的A內運動.

仍采用這種等價法,以物體B 為研究對象,采用動量定理,求出A和B 相對運動經歷的時間,即

-μmgt=mvc-mv0

解得

(3)因過程中系統質心速度vc不變,質心位移為

又因初態時系統質心在A中央,末態時B相對A靜止在A左側,系統質心在凹槽中點左側0.25 m處,位置圖如圖3所示,所以A的位移(以A中央處為代表)為

圖3 碰撞前后物體與凹槽位置圖

xA=xc+0.25 m=12.75 m

可以看出:利用系統質心概念避免了復雜的計算,方便簡潔.

2.2 巧解高考壓軸題2

【例2】(2015年高考安徽理綜卷第12題)由3顆星體構成的系統,忽略其他星體對它們的作用,存在著一種運動形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下,分別位于等邊三角形的3個頂點上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動(圖4所示為A、B、C3顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m,B、C兩星體的質量均為m,三角形的邊長為a,求:

圖4 三星轉動位置圖

(1)A星體所受合力大小FA;

(2)B星體所受合力大小FB;

(3)C星體的軌道半徑RC;

(4)三星體做圓周運動的周期T．

方法1：一般解法

分析:3個星體分布在等邊三角形頂點上,可以求出相互間的萬有引力,夾角成60°,可以用余弦定理求得合力,B與C是對稱的,共同圓心應在B、C連線中垂線上.

(1)由萬有引力定律,寫出三星體間的萬有引力

(1)

(2)

(3)

根據余玄定理

(2)同上,B星受到的A、C施加的萬有引力分別為

(4)

(5)

根據余玄定理

(6)

(3)如圖5所示,△ABC為等邊三角形,邊長為a,通過對B的受力分析可知,合力的方向經過BC的中垂線AD的一點,記作O點,所以3個圓的圓心O一定在BC的中垂線AD上,從D點做AB的平行線交BO延長線于P,連接AP.

圖5 三星受力分析圖

由圖5中的幾何關系可得

由式(4)、(5)得

即

DP=2BD=a(D為中點)

由圖5中的幾何關系同理可得

即

故O為平行四邊形的對角線的中點.由圖得

(4)由題可知C的受力大小與B的受力相同,對C星

整理得

方法2:利用質心概念,結合對稱性

因為系統不受外力,質心加速度、速度都為零,3個星體將繞質心做勻速圓周運動,系統質心一定在BC邊垂線AD的中點上,即圖中的O點,A、B、C3個星體轉動的半徑分別是OA、OB、OC,如圖6所示.

(1)根據對稱性知∠BAD=30°,A星體受到B、C的萬有引力的合力為

FA=FBAcos 30°+FCAcos 30°=

(2)由圖可知

(4)對A有

解得

可以看出:在上面的解法中,利用質心概念快速解出3個星體轉動的共同圓心,進而解出運動半徑,很快將所有問題方便地解出.

3 總結

質心概念在物體系中是非常重要的概念,在一些高考題,尤其強基計劃考試和物理競賽中如果在質心系中解決問題,在宏觀上進行研究,將對問題大大地簡化,避免了復雜的過程運算,起到意想不到的效果.

下面看一道清華大學某年自主招生題.

【試題】質量相同的兩個小球,質量都是m,用長2L輕繩相互連接,然后靜止放在光滑水平面上,繩處于伸直狀態,如圖7所示,現在用恒力F作用于繩的中央,F方向水平,并且垂直于繩的初始長度方向,兩球從靜止開始運動.試問:在兩球第一次相碰前的瞬間,小球在垂直于F作用線方向上的分速度v⊥的值為多大?

圖7 清華自由招生試題附圖

方法1:在質心系中求解

應用動能定理,F相對質心做功W=FL.每個小球相對質心碰撞前的速度為v⊥,根據質心系的動能定理

所以

方法2:在桌面參考系中求解

設小球在桌面上運動了s距離小球即將相碰,速度沿繩方向分量為vx,垂直于繩方向分量為v⊥,根據動能定理

對其中一個小球水平方向應用牛頓二定律

聯立以上幾式得

顯然:利用質心系解決問題,更方便、更簡潔.