基于數學核心素養之“數學抽象”下的初中數學解題教學策略
——以“探索三角形全等條件”為例

唐 麗

(連云港市和安中學,江蘇 連云港 222006)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》確立了核心素養導向的課程目標,旨在通過數學學習,培養學生運用數學眼光觀察現實世界、運用數學思維思考現實世界、運用數學語言表達現實世界的素養.數學抽象是數學核心素養的重要組成部分,是學生理解數學知識、提煉數學問題、解決數學問題的關鍵.可以說,數學抽象素養是學生學習數學的關鍵,也是學生運用數學知識解決實際問題的基礎.在教學實踐中,受傳統教育觀念的影響,教師將大量時間和精力集中在數學知識和解題技巧訓練方面,忽視了數學抽象素養和解題之間的關系,弱化了思考、辨析過程,導致學生難以理解數學問題本質,無法從根本上提升學生的數學解題能力.為此,初中數學教師需認真學習新課程理念,立足數學抽象素養和解題的內在聯系,優化和完善解題教學模式,探索和改進初中數學解題教學策略,提升解題教學效果,不斷提升學生的數學解題能力.

1 數學抽象與數學解題教學概述

初中階段,核心素養主要表現為:抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識.數學抽象作為數學核心素養的重要組成部分,是引領學生解題的基礎和關鍵.顧名思義,數學抽象是一種思維過程,主要是將共同、本質的特征從事物中抽象出來,并將非本質性的特性舍去.數學抽象是數學研究過程中的一個思維過程,借助必要的數學抽象素養,通過層層抽象,可以精準把握數學問題的本質,進而抓住解決數學問題的關鍵.另外,在新課程理念下,數學問題日漸生活化,賦予了數學問題的生活背景,其中存在一定的干擾信息.鑒于此,學生在解決這一類數學問題時,必須要具備極強的數學抽象素養,才能將數學問題從中抽象出來,進而運用所學的數學知識進行分析和解決[1].可以說,在初中數學學習中,學生的數學抽象素養直接影響了其解題能力.

2 基于“探索三角形全等條件”探索數學抽象下的解題教學策略

2.1 融入數學思想解決問題

數學思想實際上是一種數學思維,是思考數學問題時的一種思路,是學生進行數學學習的前提,也是解決數學問題的重要條件.因此,鑒于數學抽象和數學解題的內涵,在引領學生進行解題時,應全面加強數學思想的滲透[2].

例1如圖1,已知△ABC中,AB=AC,D為AB上一點,E為AC延長線上一點,連接DE,交BC于點G,DG=EG.求證:BD=CE.

圖1 例1題圖

分析根據圖形特征,需借助全等三角形的性質證明BD=CE.基于此,應充分利用數學轉化思想,通過構造全等三角形解決問題.

證明如圖1,過點D作DF∥AE,交BC于點F.

易知∠E=∠FDE,∠DGF=∠EGC.又因為DG=EG,所以△DFG≌△ECG,所以CE=DF.因為DF∥AE,所以∠ACB=∠DFB.又因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠DFB,所以DB=DF.又因為CE=DF,所以BD=CE.

2.2 巧妙添加輔助線解題

在解決與全等三角形相關問題時,很多題目中并未直接給出三角形,給解題帶來了極大的難度.為此,在數學解題教學中,應指導學生巧妙添加輔助線,構造全等三角形,為問題解決創造條件.

例2如圖2,在△ABC中,AC=5,AB=7,求△ABC中線OA的取值范圍.

圖2 例2題圖

分析根據已知條件及所求結論,需借助輔助線將線段AC,AB,OA轉化到一個三角形中,使其分別為三角形的三邊,然后利用三角形全等、三角形三邊之間的關系解決問題.

解如圖2,延長AO到E,使OE=OA,連接BE.易知△AOC≌△EOB,所以AC=BE.在△ABE中,AB-BE

2.3 加強數學思維訓練

數學學科素有“思維體操”的美稱,極具邏輯性和抽象性,對學生的思維水平要求比較高.尤其是在解題教學中,解題教學模式固化,弱化了學生解題思維.在這種解題教學模式下,難以真正提升學生的數學解題能力.為此,在數學解題教學中,教師應立足學生在數學解題中面臨的“思維黑洞”,結合不同的題目,借助不同的方式,對學生展開思維訓練.

例3如圖3,AB=DC,AC=DB,AC與DB相交于O點.求證:∠A=∠D.

圖3 例3題圖

分析針對這一題目,學生只要結合三角形全等判定條件,即可完成題目的高效解答.在具體的解題教學實踐中,為了培養學生的數學抽象思維能力,切實提升學生的數學解題能力,教師應以此題為中心,對學生開展變式訓練.

變式1去掉圖3中的線段BC,其他條件不變,據此提出問題:∠A和∠D是否相等?

變式2改變題目中所求結論,引導學生思考:如圖3,已知AB=DC,AC=DB,求證:∠ABD=∠ACD.

變式3改變題目中所求結論,引導學生思考:如圖3,已知AB=DC,AC=DB,求證:AD∥BC.

針對變式訓練,教師引導學生多角度思考,加深學生對三角形全等判定條件的認識,不僅增強了學生的學習效果,也促進了學生數學抽象素養的發展,提升了學生的數學核心素養,為提升學生的解題能力奠定了堅實的基礎[3].

2.4 強化數學符號轉化訓練

在初中階段,新課程標準不僅要求學生學會具體知識,更要求學生掌握知識的本質,能夠運用數學知識和數學模型分析與解決生活中的問題.為此,初中數學教師必須樹立“生活即教育”的觀念,立足數學知識和實際生活的內在聯系,帶領學生從數學學習拓展到實際生活,引領學生在生活化的數學學習中促進數學知識遷移和應用能力的發展.在解題教學中,教師應強化學生的數學符號轉化能力訓練,使學生能夠從實際生活中抽象出數學問題,并運用所學的數學知識進行解答.

例4金水河河道有一段平行的兩岸,如圖4所示.數學學習小組利用課余時間進行距離測量:數學小組在河道的南岸選擇了一棵樹B,觀察到河對岸正對著B處有一個燈柱A,他們設計了若干個測量方案.請你運用所學的知識,設計出一種無需過河即可測量出A,B兩點之間距離的方案,并說明理由.

圖4 例4題圖 圖5 例4測量方案圖

分析本題極具生活化,將“三角形全等條件”的相關知識和實際生活結合在一起.解答本題時,學生不僅要具備扎實的基礎知識,還應具備極強的數學抽象能力,從實際問題中抽象出數學問題,并提出具體的解決方案.

解如圖5,從點B出發,沿著河邊向東走至點C,在此處插上標桿之后,繼續向東走至點D,使得CD=BC,然后以點D為起點向南走至點E,使A,C,E三點處于同一條直線上.此時,即可通過測量線段DE的長度而得出線段AB的長度,此即A,B兩點之間的距離.理由如下:

在△ABC和△EDC中,

因為∠B=∠EDC,∠ACB=∠ECD,BC=DC,

所以△ABC≌△EDC,即AB=DE.

2.5 強化學生數學審題能力

正所謂“工欲善其事必先利其器”,學生唯有具備極強的審題能力,才能理解題目的內涵,理清題目中的數量關系,并由此形成明確的解題思路.在新課程理念下,初中數學問題考查方式發生了變化,呈現出了全新的特點,對初中生的數學審題能力提出了更高的要求.為此,為強化學生的數學抽象能力,培養其解題能力,教師應重視培養學生的數學審題能力.一方面,教師應指導學生在日常審題中認真閱讀題目,仔細分析已知條件,并借助圈點的方式,找出關鍵詞.還應深層次剖析,挖掘題目中的隱含條件,剔除迷惑性的條件,尋找數學問題的本質;另一方面,鑒于數學審題的要求及學生數學審題能力現狀,教師還應借助一定的數學工具,并通過系統化的訓練,使學生逐步形成一定的審題能力[4].

綜上所述,新課程理念下,發展初中學生的數學抽象素養,提升學生的數學解題能力,已經成為數學教學的重中之重.在初中數學教學中,教師唯有改變傳統數學解題教學模式,立足數學抽象和解題之間的內在聯系,并據此開展針對性訓練,從而強化學生的數學抽象素養,提升學生的解題能力.