利用反比例函數性質解題的策略探究

崔蘭蘭

(江蘇省連云港市贛榆實驗中學,江蘇 連云港 222141)

反比例函數是初中數學學習中非常重要的知識點,其性質主要有積不變性、圖像與比例系數k的關系、增減性、對稱性以及面積相等性等,靈活運用這些性質可以幫助學生解決求函數解析式、求圖形面積、比較大小等問題.在傳統的數學教學中,學生運用反比例函數性質解決函數問題的能力得不到有效發展,學生的解題能力因此陷入停滯不前的狀態,這不符合素質教育理念下對反比例函數知識的考查要求.因此,提升學生利用反比例函數性質解決問題的能力勢在必行.

1 利用反比例函數性質解題的積極意義

1.1 利于強化學生函數解題能力

利用反比例函數性質解題,有利于提升學生的函數解題能力.反比例函數性質是學生解決反比例函數問題的主要工具,教師重點講解反比例函數的性質及反比例函數問題處理方法技巧,提升學生利用反比例函數性質解決問題的熟悉程度,并幫助學生建構完整的知識體系,為學生解題能力的進一步發展奠定基礎.學生也能在教師的幫助引導下,切實掌握利用反比例函數性質處理函數問題的具體方法,循序漸進地提升學生的函數解題能力[1].

1.2 利于發展學生學科核心素養

利用反比例函數性質解決問題能力的培養,有利于發展學生的學科核心素養.反比例函數性質包括積不變性、圖像與比例系數k的關系、對稱性、面積相等性等,利用這些性質解決問題,能帶動學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象及數學運算等方面思維能力的發展,幫助學生提升數學核心素養.

1.3 利于提升課堂教學育人效果

反比例函數性質的解題教學運用,有利于提升數學課堂解題教學效率,幫助學生全面認識反比例函數性質及處理函數問題的方法技巧,了解反比例函數性質轉化運用于解題的具體策略方法,積累相關解題經驗,提升學生的函數解題能力.

2 利用反比例函數性質解題的具體策略

2.1 巧用反比例函數圖像對稱性求函數解析式

圖像對稱性是反比例函數的重要性質,也是學生必須掌握的處理反比例函數問題的方法技巧.反比例函數圖像的對稱性主要表現為圖像關于原點對稱及關于y=x和y=-x對稱,這些圖像性質均可用于求反比例函數的解析式[2].為此,教師可引導學生靈活運用反比例函數圖像對稱性的性質,結合不同數學問題的已知條件,分析其圖像關于y=x,y=-x或原點O對稱,再根據不同的對稱情況,選擇最為恰當的解題方式解決反比例函數問題,最終達到求出函數解析式目的.

圖1 例1題圖

分析本題直接代入求算較為復雜,且運算難度較大,故教師可引導學生利用反比例函數的對稱性求反比例函數的比例系數k.

點評這種解法利用反比例函數圖像的對稱性巧妙地求出了反比例函數的解析式,而不需要學生機械性地代入求解.在求解過程中,學生能夠逐步掌握利用反比例函數圖像的對稱性求解析式的方法技巧,從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力,提升學生的數學核心素養.

2.2 活用反比例函數圖像增減性比較函數值大小

反比例函數圖像在單一象限內,具有增減性質,利用這一性質可幫助學生比較函數值的大小.因為反比例函數圖像的兩支曲線分布在不同的象限內,所以反比例函數的增減性并非連續性分布.因此,教師引導學生利用反比例函數的增減性比較函數值大小時,應當重點突出“反比例函數圖像不連續”的情況,以避免學生在比較函數值大小時,錯誤地將不同象限的函數值直接進行比較[3].

解析因為k<0,所以反比例函數的圖像位于第二、四象限,且在每一象限內y隨x的增大而增大.因為A、B兩點均位于第二象限,它們的橫坐標分別是-1和-2,且-1>-2,所以y2>y1>0.因為點C位于第四象限,所以y3<0,所以y2>y1>y3.

點評這種解法巧妙運用反比例函數的增減性得出y2>y1>y3,求解過程簡捷明了.通過這種解法,進一步加深了學生對反比例函數的增減性的理解,使學生掌握了利用反比例函數的增減性解決實際問題的具體技巧方法,提高了學生的解題能力.

2.3 利用反比例函數的性質求多邊形面積

圖2 例3題圖

點評這種解法巧妙運用反比例函數的性質求得了不規則四邊形的面積,避免了繁瑣的計算.通過問題解決,學生掌握了解決與反比例函數圖像有關的幾何圖形面積問題的方法,積累了處理相關問題的經驗,提升了學生的解題能力.

與反比例函數圖像有關的幾何圖形面積問題是歷年中考的熱點,是一種綜合性比較強的函數問題,需要學生綜合運用反比例函數的性質及幾何圖形的性質解決問題,從而提高學生的解題能力[4].

2.4 利用反比例函數圖像對稱性求代數式的值

與反比例函數有關的代數式求值問題也是中考熱點,這類問題通常以正比例函數圖像與反比例函數圖像相交為問題情境,求與交點坐標有關的代數式的值.這類問題可直接利用反比例函數圖像的對稱性質進行求解[5].為此,在處理與反比例函數有關的代數式求值、求點坐標等問題時,不妨引導學生畫出圖形,嘗試利用反比例函數圖像的對稱性求點的坐標和代數式的值,簡化求解過程.

點評這種解法利用反比例函數的圖像對稱性質,巧妙解決了與反比例函數有關的代數式求值問題,計算過程簡捷明了,提升了學生解決這類問題的效率,提高了學生的解題能力.

綜上所述,利用反比例函數的性質解決問題,一方面,能帶動學生數學思維能力的發展,提升學生的解題效率;另一方面,能發展學生的數學學科素養,落實學科思維發展理念,促使學生切實掌握反比例函數的性質.為此,教師應注重反比例函數性質的運用,針對反比例函數的不同性質開展解題教學,提高學生的解題能力,提升學生的數學核心素養.