利用數(shù)形結(jié)合思想 巧思妙解幾何問(wèn)題

羅志山

(海安市角斜鎮(zhèn)老壩港初級(jí)中學(xué),江蘇 南通 226634)

初中數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練基本技能、形成基本數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主陣地,也是培養(yǎng)學(xué)生高階數(shù)學(xué)思維的主陣地[1].數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考的一種思想.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,教師需培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí),提高數(shù)形結(jié)合能力,從而提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1 利用數(shù)形結(jié)合思想妙解平行四邊形問(wèn)題

平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的平面圖形,它的性質(zhì)在解題中有著廣泛的應(yīng)用.在與平行四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,其主要涉及平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定等知識(shí),利用這些知識(shí)解決問(wèn)題時(shí),數(shù)形結(jié)合思想可以發(fā)揮重要作用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可以借助數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生理解平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定,還可以幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性和機(jī)動(dòng)性.

在“平行四邊形”教學(xué)中,教師可以給學(xué)生展示一些平行四邊形的實(shí)際例子,比如鐵路軌道、籃球場(chǎng)地等,通過(guò)觀察這些實(shí)際對(duì)象的特點(diǎn),學(xué)生可以直觀地感受到平行四邊形的形狀和性質(zhì).然后,教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察并描述這些平行四邊形的特點(diǎn),如對(duì)邊是否平行、對(duì)角是否相等等,從而幫助學(xué)生建立對(duì)平行四邊形的初步認(rèn)識(shí).接著,教師可以為學(xué)生展示課堂例題,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.

例1如圖1,在平行四邊形ABCD中,設(shè)點(diǎn)E,F分別為邊BC,AB上的一點(diǎn),CF與AE相交于一點(diǎn)P,CF=AE.求證:∠APD=∠CPD.

圖1 例1題圖

為使學(xué)生熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決本題,教師可幫助學(xué)生回顧平行四邊形的性質(zhì).指導(dǎo)學(xué)生繪制平行四邊形的幾何圖形,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形中的邊、角、對(duì)角線,并與平行四邊形的定義結(jié)合起來(lái),探索平行四邊形的性質(zhì).教師可要求學(xué)生測(cè)量平行四邊形各邊的長(zhǎng)度和各角的大小,通過(guò)比較,學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對(duì)邊相等、平行四邊形的對(duì)角相等.同時(shí),教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察平行四邊形的對(duì)角線的特征,學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”.針對(duì)本題,在教師的指引下,學(xué)生積極思考,踴躍發(fā)言,得到了問(wèn)題的證明方法.

證明如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE,DH⊥CF,垂足分別為G,H.連接DF,DE.

圖2 例1題證明圖

除此之外,教師還可以設(shè)計(jì)一些與實(shí)際生活相關(guān)的問(wèn)題,要求學(xué)生利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和解答.例如,教師可以給學(xué)生一個(gè)房間的平面圖,要求學(xué)生找出平行四邊形.通過(guò)這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì),能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際情境相結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和問(wèn)題分析能力.

借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,可為學(xué)生解決問(wèn)題提供良好的數(shù)學(xué)解題思路,提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可借助數(shù)形結(jié)合的思想方法,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)生的幾何直觀和幾何推理能力.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想妙解全等三角形問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用非常廣泛,不僅可以解決與平行四邊形有關(guān)的幾何問(wèn)題,還可以解決與全等三角形有關(guān)的幾何問(wèn)題.教師可引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形相結(jié)合,幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念和幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,從而提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

在“全等三角形”教學(xué)中,教師可展示一些全等三角形,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特征,從而得到全等三角形的性質(zhì).首先,教師給學(xué)生展示兩個(gè)全等三角形,并提醒學(xué)生注意圖形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的大小關(guān)系.然后,教師讓學(xué)生通過(guò)觀察和比較,找出兩個(gè)全等三角形中具有相等關(guān)系的邊或角,從而發(fā)現(xiàn)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.接下來(lái),教師可以設(shè)計(jì)一些有趣的幾何問(wèn)題,讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決.

例2 如圖3,在△ABC中,點(diǎn)D在線段AC上,線段BD平分∠ABC,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E處,使得BE=BC,連接DE,若∠ADE=38°,求∠ADB的度數(shù).

圖3 例2題圖

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形特征,對(duì)已知條件和所求角度之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行思考,利用數(shù)形結(jié)合思想求解.學(xué)生指出,從角平分線入手,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出對(duì)應(yīng)角相等,然后再借助假設(shè)法和等量代換得出最后的結(jié)果.教師對(duì)學(xué)生的求解思路給予充分肯定,并請(qǐng)學(xué)生寫出求解過(guò)程.

解因?yàn)锽D平分∠ABC,所以∠DBE=∠DBC.

在△BDE和△BDC中,

因?yàn)锽C=BE,∠EBD=∠CBD,BD=BD,

所以△BDE≌△BDC,所以∠BDE=∠BDC.

設(shè)∠BDA=α,則∠CDB=∠EDB=α+38°,又因?yàn)椤螩DA為平角,所以α+α+38°=180°,解得α=71°,即∠ADB=71°.

除此之外,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活中的問(wèn)題相結(jié)合,讓學(xué)生意識(shí)到全等三角形在生活中的廣泛應(yīng)用.例如,教師可以給學(xué)生講解全等三角形在建筑設(shè)計(jì)、地圖繪制等領(lǐng)域的應(yīng)用等.

借助數(shù)形結(jié)合思想方法,學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)有了更深入的理解,提高了學(xué)生觀察和比較的能力.全等三角形的判定與性質(zhì)是解決與全等三角形有關(guān)幾何問(wèn)題的工具,數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生提供了一種有效解決幾何問(wèn)題的方法,使學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決幾何推理問(wèn)題.因此,掌握全等三角形的概念可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題,為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[2].

3 利用數(shù)形結(jié)合思想妙用最值阿氏圓

阿波羅尼斯圓是一種特殊的圓,簡(jiǎn)稱為阿氏圓,其特點(diǎn)是它的半徑與焦點(diǎn)之間的距離成反比例關(guān)系,學(xué)生學(xué)習(xí)阿波羅尼斯圓的意義在于它代表了幾何學(xué)中的一個(gè)重要概念,不僅具有理論上的價(jià)值,還有實(shí)際應(yīng)用的意義.通過(guò)學(xué)習(xí)阿波羅尼斯圓,教師可以引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)中的比例關(guān)系和圖形的性質(zhì),幫助學(xué)生更好地理解和解決最值問(wèn)題.

在“圓”的教學(xué)中,教師可以指出阿波羅尼斯圓的研究對(duì)于幾何學(xué)發(fā)展的重要意義,擴(kuò)展學(xué)生對(duì)圓形的認(rèn)識(shí),使學(xué)生能夠更加全面地理解和應(yīng)用圓的性質(zhì).通過(guò)研究阿波羅尼斯圓,教師可以引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探索圓的曲率、切線和法線等方面的特性.在教學(xué)實(shí)踐中,教師可以給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)最值問(wèn)題,求解一個(gè)三角形內(nèi)切圓半徑的最大值問(wèn)題,然后引入阿氏圓的概念,并通過(guò)對(duì)幾何圖形的觀察,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)阿氏圓的半徑與三角形的邊長(zhǎng)之間存在著某種關(guān)系.接著,教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),如勾股定理和三角形面積公式,結(jié)合阿氏圓的性質(zhì),推導(dǎo)出最值問(wèn)題的解決方法.通過(guò)這樣的教學(xué)方式,學(xué)生不僅能夠理解數(shù)學(xué)規(guī)律,還能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和分析問(wèn)題的能力.

圖4 例3題圖

結(jié)合圖形特征和已知條件,教師可以鼓勵(lì)學(xué)生自主解答,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).其中一名學(xué)生提供了如下解題思路:

借助數(shù)形結(jié)合思想解決與阿氏圓有關(guān)的最值問(wèn)題,為學(xué)生提供了鍛煉幾何推理思維的機(jī)會(huì),幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的幾何意義,從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更加豐富和深入的活動(dòng)體驗(yàn)[3].

總之,數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法,在初中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.幾何問(wèn)題不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何推理能力,而且可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.因此,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師也可以將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形相結(jié)合,讓學(xué)生能夠更直觀地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)形結(jié)合思想是一種有效解決幾何問(wèn)題的思想方法,可以提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.