初中數學應用題解答中數學建模的應用

盧建順

(福建省龍巖市永定區龍潭中學,福建 龍巖 364120)

應用題是利用語言或文字敘述有關事實,反映某種數學關系,如位置關系、數量關系等,并求解未知數量的一類題目,每道應用題中都包含有已知條件與所求問題.數學建模則是先結合實際問題構建數學模型,再對數學模型展開求解,最后根據結果解決實際問題.在初中數學應用題解題教學中,教師需重點培養學生的建模思維,利用數學模型把復雜問題簡單化,把抽象問題具體化,使學生能夠準確理解題意,理清題目中已知條件與所求量之間的邏輯關系,為解決問題創造條件.

1 建立方程模型解答數學應用題

方程是初中數學教學的重要內容.因為實際生活中不少問題都能夠通過方程應用題的形式展現出來,故方程模型也是初中數學應用題解題教學中最為常用的一種數學模型.構建方程模型時,教師需重點培養學生尋找題目中已知量與未知量之間等量關系的能力,尤其是面對污損文字、圖表、圖案、情景對話等方式展現題目內容的新型應用題,教師需指導學生認真觀察、識別、篩選與比較,順利建立相應的方程模型,找到最佳解題方案[1].

例1 在某次實戰演習中,一名坦克兵往遠處1 700米的目標瞄準開炮,7秒后聽到炮彈擊中目標的聲音,另外有一名記者距離這名坦克兵1 000米,距離目標2 020米,他聽到開炮聲響后5秒,又聽到炮彈擊中目標的聲音,那么炮彈與聲音的速度分別是多少?

分析這道應用題中存在兩個等量關系,第一個是炮彈發出后至擊中目標所用的時間與擊中目標后聲音傳回坦克兵處的時間之和是7秒.第二個比較隱蔽,關鍵在于對“記者聽到開炮聲5秒后炮彈擊中目標的聲音”這句話的理解,前半句是記者聽到開炮聲后5秒,即為炮聲傳出1 000米的所用時間和5秒之和,后半句是“記者聽到炮彈擊中目標的聲音”,包括炮彈飛行1 700米的時間與擊中目標響聲后傳出2 020米的時間之和,這兩段時間相同,由此建立方程組模型.

由此可知炮彈與聲音的速度分別是850米/秒與340米/秒.

2 建立統計模型解答數學應用題

統計模型是以概率論為基礎,采用數學統計方法構建的一種模型.部分過程無法通過理論分析的方法導出相應的模型,但是可以利用數學試驗的方式測定數據,經過數理統計法求得各種變量之間的關系就稱之為統計模型.在初中數學應用題解題訓練中,當題目中出現的數據較多,內容比較復雜時,可以構建統計模型,對數據展開收集、整理與分析,幫助學生簡化解題思路,找到正確的解題方向,有效提高學生解答應用題的準確度[2].

例2 已知有一個正方體小木塊,現在要往小木快的六個面上分別刻上1,2,3,4,5,6個數字,且1和6,2和5,3和4需分別刻在對面,那么一共有多少種不同的刻法?

解析本題中出現的數據較多,且關系復雜,學生可利用建立統計模型的方式進行解題,只需考慮數字1,2,3可能刻的位置即可,剩余4,5,6三個數字的位置就能夠隨之確定,其中1可以選擇這個小方塊6個面中的任意一個面,共有6種刻法,6的位置也確定;2可以刻在剩余4個面中的任意一個面,共有4種刻法,5的位置同樣得到確定;3只能刻在剩余2個面中進行選擇,共有2種刻法,4的位置也得到確定.結上所述,所有不同的刻法一共有6×4×2=48(種).

3 建立不等式模型解數學應用題

不等式模型是一類比較特殊的數學模型.構建其他數學模型時,學生需要找到題目中的等量關系,而不等式模型則需要找到不等關系,能夠起到意想不到的效果.針對初中數學應用題解題訓練來說,當建立不等式模型時,教師需要指導學生合理設未知數,根據已知或隱含的不等關系,列出含有未知數的不等式或不等式組,然后解不等式或不等式組,最后驗證解的合理性,從而讓學生準確、快速地解答應用題[3].

例3 某家公司經營甲、乙兩種商品,其中甲種商品的進價是12萬元,售價是14.5萬元,乙種商品的進價是8萬元,售價是10萬元,且甲、乙兩種商品的進價與售價均保持不變,現在計劃一共購進甲、乙兩種商品20件,總價控制在190萬元至200萬元之間.

(1)一共有多少種進貨方案?

(2)該公司使用哪種進貨方案可獲得最大利潤?并求出最大利潤.

分析通過閱讀題目內容,學生發現有對進貨總價范圍的控制,明顯涉及到不等關系,故可以通過建立不等式模型進行解題,學生只要準確找出題目中的不等關系即可輕松求解.

解(1)設購進甲種商品x件,則購進乙種商品(20-x)件.根據題意,得190≤12x+8(20-x)≤200,解得7.5≤x≤10.考慮到實際情況,x只能取正整數,即甲商品是8,9,10件,所以一共有三種進貨方案,對應的乙商品分別是12,11,10件.

(2)甲、乙兩種商品各購進10件或獲得最大利潤,最大利潤為10(14.5-12)+10(10-2)=25+20=45(萬元).

4 建立幾何模型解答數學應用題

在初中數學應用題解題教學中,除了以上幾種代數方面的數學模型,還可以構建幾何方面的數學模型,主要用來解決一些特殊的應用題.此類應用題中文字敘述繁瑣,字母符號較多,概念也不少,難度相當較大.建立幾何模型,通過直觀的圖像把題目中的復雜關系清晰地呈現出來,有助于應用題的順利解答.對此,初中數學教師可指引學生認真分析題意,將實際問題抽象轉化成幾何圖形,通過建立幾何模型的方式解答應用題[4].

分析本題是一道有關位置與方向類的試題,涉及到三角形與圓的相關知識,較為復雜,教師可以指導學生根據題意建立幾何模型,畫出如圖1所示的幾何圖形,通過觀察發現,A市會受到本次沙塵暴的影響,影響時間是沙塵暴從C移動到D處所用的時間,利用勾股定理和垂徑定理即可求解.

圖1 位置與方向示意圖

5 建立一次函數模型解答應用題

函數是學生進入初中階段以后接觸與系統學習的數學知識,同其他內容相比,函數知識難度較大,其中一次函數作為最簡單的函數,與實際生活聯系的較為密切,不少數學應用題中蘊涵一次函數關系,學生需建立一次函數模型進行解答.在初中數學應用題解題訓練中,教師應引導學生觀察題目中的數據,使其根據已知數據構建具體的一次函數模型,促使學生應用模型解答應用題[5].

例5 張華同學參加100米短跑訓練,2022年1至4月的訓練成績如下表所示,體育老師稱他為百米短跑天才,請你預測張華同學5年(60個月)后100米的短跑成績是( )(溫馨提示:當前世界100米短跑記錄是9.58s)

表1 短跑訓練成績表

A.14.8 s B.3.8 s

C.3 s D.預測結果不可靠

分析通過觀察表中數據可以發現,每訓練一個月,張華的100米短跑成績提升0.2s,設他的成績是ys,時間是x月,y與x之間是一次函數關系,可設為y=kx+b,然后代入相關數據求出一次函數關系,當x=60時即可求得60個月后的成績.

解設張華同學的100米短跑成績是y,月份是x,根據題意可得y=kx+b,代入前兩個月的數據分別得到15.6=k+b,15.4=2k+b,聯立方程組,解之得k=-0.2,b=15.8,即為y=-0.2x+15.8.當x=60時,y=-0.2×60+15.8=-12+15.8=3.8,因為當前世界100米短跑記錄是9.58s,顯然這一結果并不符合實際意義,故正確答案是選項D.

綜上所述,在初中數學應用題教學實踐中,教師應謹慎對待這種以文字描述為主的特殊試題,要求學生認真閱讀題目內容、仔細審題,并以此為前提,理清題干中的數量關系,根據題意建立方程、統計、不等式、幾何、一次函數、二次函數、三角函數等數學模型,使其找到更為簡便的應用題解題方法與技巧,促使學生切實感受到數學建模的實用性與價值,從而提高學生的數學核心素養.