滲透模型思想 優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂

林功光

(福建省永泰縣葛嶺中學(xué),福建 福州 350715)

模型思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想.在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,滲透模型思想不僅可以使抽象問(wèn)題具體化、生動(dòng)化,而且可培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和數(shù)學(xué)思維能力.因此,教師要抓住初中階段學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期,在課堂上滲透模型思想,在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,尤其要重視挖掘數(shù)學(xué)教材中隱含的模型思想,并用模型思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,讓學(xué)生真正感受到模型思想的應(yīng)用價(jià)值.

1 初中數(shù)學(xué)滲透模型思想的原則

結(jié)合初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際,從學(xué)生基本學(xué)情來(lái)看,初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透模型思想應(yīng)遵循以下原則.第一,數(shù)學(xué)化原則.模型思想的本質(zhì)是將數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化為生活問(wèn)題,并利用數(shù)學(xué)方法解決生活問(wèn)題.因此,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透模型思想要明晰數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析、理解生活問(wèn)題,從而為建模教學(xué)奠定基礎(chǔ).第二,注重過(guò)程原則.思想的滲透屬于意識(shí)活動(dòng)范疇,要注重思維體驗(yàn),而非結(jié)果.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生全程參與假設(shè)問(wèn)題、搭建模型、求解模型、模型解釋等活動(dòng),通過(guò)親身實(shí)踐改變學(xué)生思維認(rèn)知,使其更加深入理解模型思想的本質(zhì).第三,長(zhǎng)期性原則.思想的形成是一點(diǎn)一滴積累而來(lái)的,并非是一蹴而就.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視滲透模型思想,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟模型思想,并形成長(zhǎng)效機(jī)制.

2 滲透模型思想,優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂措施

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,感知模型

數(shù)學(xué)知識(shí)的理論性、抽形象決定了數(shù)學(xué)課堂比較枯燥、單一,學(xué)生容易失去學(xué)習(xí)興趣[1].感知模型是學(xué)生接觸模型思想的第一步,若無(wú)法改變數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)氛圍,調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí).因此,教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的教學(xué)情境,激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)模型的興趣.

例如,在“圓”第1課時(shí)的教學(xué)中,為了活躍課堂學(xué)習(xí)氛圍,搭建生活問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的紐帶,教師可設(shè)計(jì)如下游戲情境:讓學(xué)生站成一個(gè)圓形,并在中心放置布娃娃,然后邀請(qǐng)學(xué)生套圈,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就能很快被調(diào)動(dòng)起來(lái).游戲結(jié)束后,教師提出問(wèn)題:這個(gè)游戲?qū)λ型瑢W(xué)是公平的嗎?為什么?正處于思維活躍階段的學(xué)生聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題后,會(huì)自動(dòng)將其與圓的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起,初步形成用數(shù)學(xué)模型解決生活問(wèn)題的意識(shí).接下來(lái),教師可以繼續(xù)提問(wèn):你能用之前所學(xué)圓的知識(shí)及生活經(jīng)驗(yàn)回答上述問(wèn)題嗎?進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)圓的形成過(guò)程的理解,并引出有關(guān)圓的定義.通過(guò)上述案例可以發(fā)現(xiàn),創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的主要目的是在活躍課堂學(xué)習(xí)氛圍,刺激學(xué)生感官,使其主動(dòng)探索問(wèn)題,感知數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系,初步形成模型認(rèn)知[2].

2.2 知識(shí)授課,構(gòu)建模型

在學(xué)生基本具備模型認(rèn)知能力時(shí),教師可繼續(xù)強(qiáng)化模型思想,通過(guò)設(shè)計(jì)遞進(jìn)式的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生深入思考,采用小組合作、自主學(xué)習(xí)的方式促使學(xué)生參與到數(shù)學(xué)模型構(gòu)建活動(dòng)中,從而達(dá)到深化模型思想的目的.需要注意的是,在模型構(gòu)建過(guò)程中,教師要給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間,使其能在意識(shí)活動(dòng)范疇將抽象的模型思想轉(zhuǎn)化具體的實(shí)踐行為,并再次通過(guò)實(shí)踐行為使模型思想根植于腦海中.在這一過(guò)程中,教師的主要作用是引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生深入思考.

2.2.1圓的集合定義

仍以上述圓的教學(xué)為例,在完成情境創(chuàng)設(shè)后,教師可設(shè)計(jì)以下問(wèn)題串:

(1)你是如何畫(huà)圓的?你能想到幾種畫(huà)圓的方法?向你的同伴展示畫(huà)圓的過(guò)程.

(2)觀察自己和同伴的畫(huà)圓過(guò)程,說(shuō)出如何畫(huà)圓,如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示?

在學(xué)生展示畫(huà)圓過(guò)程后,教師提問(wèn):如圖1所示,用圓規(guī)畫(huà)圓和用短線畫(huà)圓有什么不同?這時(shí)學(xué)生就會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋用圓規(guī)、短線畫(huà)圓的意義.可能學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確表達(dá),所以教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)、概括:用圓規(guī)畫(huà)圓的關(guān)鍵是確定一個(gè)定點(diǎn),用短線畫(huà)圓的關(guān)鍵是確定一個(gè)固定的距離.從畫(huà)圓過(guò)程可以看出:①圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng);②到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.因此,可得到圓的集合定義:圓心為O,半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

圖1 短線畫(huà)圓與圓規(guī)畫(huà)圓

2.2.2聯(lián)系生活,構(gòu)建模型

建立圓的定義后,教師可引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)圓模型與生活實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系,從而促使學(xué)生形成更牢固的模型意識(shí).問(wèn)題1:回想我們玩的套圈游戲,每個(gè)同學(xué)到布娃娃的距離是不是一樣?每個(gè)同學(xué)是不是可以看成圓上的點(diǎn),每個(gè)同學(xué)到布娃娃的距離是不是代表圓上所有點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.由此,你能總結(jié)出圓的集合定義嗎?問(wèn)題2:如果將圓形車(chē)輪設(shè)計(jì)為正方形車(chē)輪,會(huì)出現(xiàn)什么情況?在提出問(wèn)題后,教師應(yīng)給予學(xué)生一定的思考時(shí)間,并適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生探索圓的概念及要素,感受生活與數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系.針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題,教師還可以充分利用多媒體,動(dòng)畫(huà)演示套圈游戲?qū)嵨飯D及其對(duì)應(yīng)的幾何圖形,并展示其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,讓學(xué)生充分感受生活問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

2.2.3圓的有關(guān)定義

為了使學(xué)生理解圓的有關(guān)定義,教師可先出示圖2,并提出問(wèn)題:你能說(shuō)出弦、直徑、弧、半圓的定義嗎?然后讓學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行討論,并選派出一名代表結(jié)合圖形進(jìn)行交流.最后,教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié),得到弦、直徑、弧、半圓的定義.

圖2 圓示意圖

2.2.4聯(lián)系生活,構(gòu)建模型

在完成教學(xué)內(nèi)容后,教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題,并在解決問(wèn)題過(guò)程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

問(wèn)題1:為了證明圓有沒(méi)有最長(zhǎng)的弦,小明、小強(qiáng)進(jìn)行了大量的測(cè)量,最后得到了“直徑是圓中最長(zhǎng)的弦”這一結(jié)論,你認(rèn)為他們的結(jié)論對(duì)嗎?你能用其它方法證明嗎?

問(wèn)題2:聯(lián)想蒙古包、圓形蚊帳支撐、自行車(chē)車(chē)輪中的鋼條等,這些實(shí)物用到了圓的相關(guān)知識(shí)了嗎?能將其結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)化為圓形嗎?

問(wèn)題3:如圖3所示的地形,在A地正北300米的B處有一變電設(shè)施,正西400米的C處有一幢民房,在BC的中點(diǎn)D處有一古建筑.因施工需要,必須在A進(jìn)行爆破.為了保證民房、變電設(shè)施、古建筑不會(huì)遭到破壞,問(wèn)爆破半徑應(yīng)控制在什么范圍?如果BC是一條馬路,且路上有行人和車(chē)輛,為了避免爆破影響到人和車(chē)輛,則爆破半徑應(yīng)如何控制?

圖3 地形圖

上述問(wèn)題既可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓的相關(guān)知識(shí)在生活中有著重要的應(yīng)用,也能滲透模型思想,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)[3].最重要的是能夠改變圓的理論知識(shí)的抽象性,降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.學(xué)生在探究問(wèn)題1時(shí),會(huì)自動(dòng)畫(huà)圓,并進(jìn)行測(cè)量、分析、總結(jié).在探究問(wèn)題2時(shí),則會(huì)將具體的實(shí)物轉(zhuǎn)化為平面圖形,并在思維層面建立兩者之間的聯(lián)系,然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題.解決問(wèn)題3時(shí),學(xué)生會(huì)將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并能夠綜合運(yùn)用勾股定理、圓的相關(guān)知識(shí)、中線等數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.如圖3,根據(jù)題意可確定爆破點(diǎn)位置為A.如果民房、變電設(shè)施、古建筑不會(huì)受到爆破影響,則要保證B,C,D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心、半徑為r的圓的外部.即點(diǎn)A到三點(diǎn)的距離要大于半徑r.這時(shí)生活問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題.根據(jù)勾股定理可得到AC2+BC2+=AC2,其中AC=400米,BC=300米,從而得到BC=500米.由根據(jù)中點(diǎn)知識(shí),BD=250米.依據(jù)直角三角形斜邊中線定理,可得到AD=250米.也就是說(shuō)半徑r要小于250米,才能保證B,C,D三點(diǎn)在以A為圓心、半徑為r的圓的外部,即爆破半徑控制在250米以內(nèi),才能保證爆破不會(huì)影響到民房、變電設(shè)施、古建筑.如果BC是一條馬路,且路上有行人和車(chē)輛,保證爆破不會(huì)影響行人和車(chē)輛的最小距離應(yīng)為點(diǎn)A到直線BC的距離.根據(jù)直角三角形高線的性質(zhì)可計(jì)算得到其最小距離應(yīng)為150米,即保證行人和車(chē)輛不受影響的最小爆破半徑為150米.在整個(gè)問(wèn)題解決的過(guò)程中,學(xué)生會(huì)反復(fù)進(jìn)行生活實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化、求解、解釋,其模型思想也會(huì)不斷加深,特別是其模型應(yīng)用能力也會(huì)得到鍛煉、提升,非常有利于學(xué)生對(duì)其它數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)和應(yīng)用.

2.3 課堂小節(jié),完善模型

在引導(dǎo)學(xué)生完成感知模型、構(gòu)建模型、解決問(wèn)題之后,教師應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理、總結(jié),并突出學(xué)生主體作用,使其自主完成模型結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建,形成模型思維體系.

首先,教師可引導(dǎo)學(xué)生共同參與知識(shí)回顧,促使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí);其次,教師可讓學(xué)生自主利用思維導(dǎo)圖梳理知識(shí),理清圓的集合定義、弦、弧、等圓、等弧之間的邏輯關(guān)系,使學(xué)生系統(tǒng)且有條理地掌握數(shù)學(xué)知識(shí),并在這一過(guò)程中實(shí)現(xiàn)圓的理論知識(shí)與生活問(wèn)題之間的相互轉(zhuǎn)化,從而使學(xué)生真正理解圓的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意義;最后,在學(xué)生歸納完成后,教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng),及時(shí)糾正學(xué)生的認(rèn)識(shí)誤區(qū),確保學(xué)生能完全掌握所學(xué)知識(shí).

2.4 作業(yè)設(shè)計(jì),鞏固模型

為了深化學(xué)生的模型思想,鞏固學(xué)生模型認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力,教師應(yīng)創(chuàng)新作業(yè)設(shè)計(jì),注重實(shí)踐性、探索性和層次性作業(yè),并給予學(xué)生多元化的評(píng)價(jià).例如,教師可設(shè)計(jì)如下作業(yè):請(qǐng)同學(xué)們查找資料,搜集圓在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用.

總之,在初中數(shù)學(xué)課堂中滲透模型思想是落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的有效措施.教師應(yīng)在嚴(yán)格遵循模型思想滲透原則的基礎(chǔ)上,持續(xù)優(yōu)化課前、課中、課后教學(xué),保證每個(gè)環(huán)節(jié)都能滲透數(shù)學(xué)模型,促使學(xué)生不斷感知、體驗(yàn)、參與模型應(yīng)用,最終形成模型思想.