用“同構思想”解決函數問題的策略研究

李 波

(四川省南充高級中學,四川 南充 637901)

通過分析2020-2022年高考真題,發現在近三年的高考中頻繁出現通過構造函數解不等式題目(見表1).文[1]中研究了同構變形在函數問題中的3個基本應用,文[2]中說明了構造同構函數可以簡化哪些基本結構,常見的函數結構有哪些?文[3]闡述了通過同構變換實現變量分離,解決含參問題的基本優點與策略.通過研究該類題型的命題特點和解題方法,歸納出同構函數的基本策略.

表1 真題分布

1 觀察規律,直接構造

A．a

C．c

解析構造函數f(x)=(2-x)ex,則f′(x)=(1-x)ex.易知f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.

故選A.

2 雙元變量,歸類整理

將變量x1,x2歸類整理為(x1+1)f(x1)-m(x1+1)2<(x2+1)f(x2)-m(x2+1)2.

由t1>t2,知g(t)在(1,+∞)上單調遞減.

評析已知對?x1,x2∈D,x1

3 方程思想,地位對等

即g(lnx1)=g(x2).

又k<0,所以lnx1,x2∈(-∞,0),根據g(lnx1)=g(x2),可得lnx1=x2.

令F(x)=x2ex(x<0),則F′(x)=x(x+2)ex.

例4 (2022年新高考Ⅰ卷22題)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

解析(1)a=1,過程略.

(2)由(1)知,f(x)=ex-x在(-∞,0]單調遞減,在(0,+∞)單調遞增.

g(x)=x-lnx在(0,1]單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,圖象如圖1所示.

圖1 2022年新高考Ⅰ卷22題

若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,設三個交點的橫坐標分別為x1,x2,x3,且x1<0

由①②,知ex1-x1=x2-lnx2=elnx2-lnx2.

又f(x)=ex-x在(-∞,0)上單調遞減,所以x1=lnx2.

由②③,知

ex2-x2=x3-lnx3=elnx3-lnx3.

又f(x)=ex-x在(0,+∞)上單調遞增,x2=lnx3,所以x3=ex2.

由②可得,2x2=lnx2+ex2=x1+x3.

所以三個不同交點的橫坐標成等差數列.

評析針對和差型:ex1-x1=x2-lnx2,研究方案有兩種:一是以ex-x為基準,變形ex1-x1=elnx2-lnx2;二是以x-lnx為基準,變形ex1-lnex1=x2-lnx2.再構造對應的同構函數,結合函數單調性,利用對應地位相等解答.

4 確定外函數,拼湊內函數

A.a

C.a

即a

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)已知λ>0,若存在x∈(1,+∞),不等式λx2-λx≥(eλx-1)lnx成立,求實數λ的取值范圍.

解析(1)f(x)在(0,1),(1,+∞)單調遞減.

(2)由λx2-λx≥(eλx-1)lnx,知

λx(x-1)≥(eλx-1)lnx.

即f(x)≤f(eλx).

由λ>0,x∈(1,+∞),知eλx>1.

根據f(x)在(1,+∞)單調遞減,可得x≥eλx.

5 確定內函數,構造外函數

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)的兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

解析(1) 由題知,f(x)的定義域為(0,+∞).

易知h(x)在(0,1)單調遞減,在[1,+∞)單調遞增.所以當x=1時,h(x)有最小值1.

再令g(x)=ex+x(x≥1),

易知g(x)=ex+x在[1,+∞)單調遞增.

所以當x=1時,g(x)有最小值e+1,

所以a≤g[h(x)]min=e+1.

例8 對于任意實數x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,則a的取值范圍是____.

解析由2ae2x-lnx+lna≥0,知

e2x+ln2a-lnx+lna≥0.

不等式兩邊同時加2x+ln2,則

e2x+ln2a-lnx+2x+ln2a≥2x+ln2.

整理,得e2x+ln2a+2x+ln2a≥2x+ln2x.

令f(x)=ex+x,則f(2x+ln2a)≥f(ln2x).

易知2x+ln2a≥ln2x.

即ln2a≥ln2x-2x恒成立.

評析確定好內函數去構造外函數,積型:aea≤blnb,研究方案有三種:一是保留左邊aea≤lnbelnb,構造函數f(x)=xex;二是保留右邊ealnea≤blnb,構造f(x)=xlnx;三是兩邊同時取對數a+lna≤lnb+ln(lnb),構造函數f(x)=x+lnx.

在解決函數的綜合問題時,若嘗試將不等式H(x)≥0變形為F[f(x)]≥F[g(x)],利用函數的單調性轉化為解f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x),形式F[f(x)]≥F[g(x)]需要自己去構造,基本的思路為:

6 局部換元,簡化結構

即x09x0=-t9-t.

令h(x)=x9x,易知h(x)在(0,+∞)單調遞增.

由h(x0)=h(-t),知x0=-t.

解得9x0(x0-1)=1.故選B.

解析由題知a>0,則

不等式兩邊同時取自然對數,則x-lna≥lnt.

所以當x=1時,h(x)有最小值e+1.

即a≤e+1.

評析有些式子不能啟發我們同構,不易向同構的方向變形,可以嘗試換元法,通過換元的過程來啟發我們新的解題思路.

7 利用性質,整理變形

兩邊同時取自然對數,得alnx=xlna.

圖2 函數g(x)圖象

例12 設k>0,若存在正實數x,使得不等式log4x-k·2kx-1≥0成立,則k的最大值為 ( ).

解析由log4x-k·2kx-1≥0,知

令t=2k,t>1,則logtx≥tx.

則xlnx≥exlnt·(xlnt).

由t>1知,xlnx≥exlnt·(xlnt)>0.

所以x>1,xlnt>1.

由f(x)≥f(exlnt),知x≥exlnt.

即存在正實數x,滿足lnx≥xlnt.

8 同構路上,亦可放縮

不等式兩邊同時加x-1,得

易知g(x)在(1,+∞)單調遞增.

因為ex-1>x,所以g(ex-1)>g(x)恒成立.

由x>1知,a≥1.

例14 已知函數f(x)=lnx+ax+1(其中a∈R).對于任意x>0,不等式f(x)≤xex恒成立,求實數a的取值范圍

評析對解決某些指對混合不等式問題,往往要結合切線放縮,進行局部同構,這樣可以大大降低這類問題的難度,但要注意取等號的條件以及常見變形等[3].

同構法在近幾年的高考中頻繁出現,命題者立足教材基本知識、基本技能,把等式或不等式變形為兩個結構(形式)一樣的函數,利用函數的單調性比較大小、解決恒成立、求參數范圍等問題,既考查了學生的核心素養,又培養了學生的創新能力,體現考試的選拔功能,落實《深化新時代教育評價改革總體方案》的要求,改變相對固化的試題形式,增強試題的靈活性,減少死記硬背和機械刷題,讓試題變得更加開放與綜合.