改進的Ambrosio-Tortorelli模型及其圖像分割應用

范 琴,胡 華

(寧夏大學 數學統計學院, 寧夏 銀川 750021)

0 引言

Mumford-Shah模型是偏微分方程圖像處理模型的典型代表之一[1],它以泛函變分、偏微分方程等數學原理和方法為基礎,將圖像分割問題轉化為泛函極小化問題,具有很強的幾何物理意義,能夠克服傳統圖像分割方法的許多弊端,吸引了眾多學者研究.早期泛函建立在C1類函數空間上,數值求解局限性較大,Giorgi E D等[2]將其放寬到特殊有界變差(SBV)函數空間上,提出了Mumford-Shah泛函的弱形式;在此基礎上,Ambrosio L等[3]利用橢圓泛函近似弱形式中的幾何項,得到Ambrosio-Tortorelli模型,使得模型數值求解容易實現.

近年來,不少學者對Ambrosio-Tortorelli模型進行了深入研究,主要集中在模型的數值求解研究和改進研究兩個方面.關于模型數值求解,部分學者[4-6]考慮采用有限差分和有限分方法進行求解,通過改進網格剖分方法,有效解決了數值求解過程中產生的各向異性阻礙和邊界圖像過厚且模糊的問題;Foare M等[7-8]用離散微積分框架表示了AT泛函的離散微積分公式,該方法對于復雜的拓撲框架,也能清晰地表示邊界,并且對噪聲具有較好的穩定性.關于模型改進,Trieu H,Foare M等[9]推導出PALM和SL-PAM兩種迭代格式來求解Ambrosio-Tortorelli泛函,并提出了一種多分辨率的網格搜索策略進行參數選取,數值實驗表明PALM格式具有更優的圖像分割效果,但SL-PAM格式由于計算成本過大,導致時間成本較大、分割效果相對較差;Burger M等[10]分別用Laplacian和Hessian二階邊緣項代替模型中的一階懲罰邊緣項,提出了兩個改進模型,該方法具有邊緣輪廓更平滑清晰、算法迭代次數顯著減少、收斂更優的特點.

本文在Ambrosio-Tortorelli模型基礎上,考慮其圖像分割應用中邊緣檢測能力不足的問題,在確保模型解的存在性等良好性質前提下,對模型的邊緣懲罰項進行改進,提出了一種新的圖像邊緣測度的逼近形式,采用變分法、梯度下降法和有限差分法等設計了有效的數值求解算法,通過數值實驗實現了圖像弱邊緣檢測能力的提高.

1 Ambrosio-Tortorelli模型

Mumford-Shah模型是由Mumford D等[11]在1989年針對計算機視覺中的圖像分割問題提出的解決方法.該模型如下:

MS(u,Γ)=?Ω(u-g)2dxdy+
λ?ΩΓ|?u|2dxdy+α|Γ|.

(1)

其中:g是要進行處理的原始圖像,g∈L∞(Ω);Ω為有界開集合,Ω?R2;u∈C1(ΩΓ),u是對圖像g的逼近光滑圖像;Γ是圖像g中的不連續點集;|Γ|代表組成Γ的弧的總長度;λ,α>0是調節參數.

求解Mumford-Shah模型就是要找出最優的u和Γ,使得能量泛函MS值最小.Mumford-Shah模型由3項組成:第一項是保真項,表示逼近光滑圖像u與輸入圖像g的近似程度;第二項是平滑項,強調u在區域ΩΓ上盡量平滑;第三項是幾何測度項,確保邊緣不致填滿整幅圖像,即要求邊界曲線Γ盡可能光滑.

Mumford D和Shah J提出的泛函建立在C1類函數空間上,且其中的幾何項是非下半連續的,使得該泛函求解十分困難.Giorgi E D等[2]在有界變差(BV)函數空間的基礎上,發展了特殊有界變差(SBV)函數空間,將原泛函放寬到特殊有界變差函數空間上,并將Γ集用u的不連續集Su替代,得到了Mumford-Shah模型的弱形式:

MSw(u)=?Ω(u-g)2dxdy+
λ?Ω|?u|2dxdy+αH1(Su).

(2)

其中,u∈SBV.

雖然Giorgi E D等[12]證明了Mumford-Shah泛函在SBV空間下的弱形式的解的存在性,但因為其中幾何項的存在使得弱泛函是不可微的,從而無法推導得出弱泛函對應的歐拉-拉格朗日方程,所以該弱泛函的數值求解仍然是十分復雜的.Ambrosio L和Tortorelli V M[3]對式(2)進行了改進,在Γ收斂相關理論基礎上,利用輔助函數

Mε(v)=
?Ω(ε|?v|2+W(v)/4ε)dxdy,

近似式(2)中的幾何項H1(Su),其中W(v)=1-v2,從而得到了Mumford-Shah模型的逼近形式—Ambrosio-Tortorelli模型:

(3)

Maso G D等[13]證明了泛函ATε擴展到W1,2(Ω)×W1,2(Ω)之外的+∞,在ε→0+時,Γ收斂到泛函MSw.在Ambrosio-Tortorelli模型中,求解對象u仍然是分割后的平滑圖像,但另一求解對象v不再是原泛函中的邊緣Γ,而是輸入圖像g的邊緣圖像,所有積分都定義在同一二維區域Ω,并用橢圓泛函Mε(v)近似不連續集Su的Hausdorff一維測度,使得數值求解更容易實現.

2 改進的Ambrosio-Tortorelli模型

Ambrosio-Tortorelli模型可利用變分法、梯度下降法和有限差分法等方法直接進行數值求解[14],利用數值求解結果進行數值實驗,可以發現,該模型對圖像弱邊緣檢測能力較弱,易導致分割后的邊界圖像v產生邊緣信息弱化現象.

為克服這一缺點,本節對Ambrosio-Tortorelli模型進行了改進,在保證模型解的存在性等良好性質前提下,對輔助函數Mε(v)中W(v)項進行修改,構建了新的圖像邊緣測度逼近項.從原模型W1(v)=(1-v)2的圖像特征出發,尋求與其具有類似圖像特征的W(v),最終確定將其修改為W2(v)=e-5v2.

W2(v)和Vr2(v)函數對比如圖1所示,從圖中可發現,在[0,1]區間內,W1(v)與W2(v)具有類似的性質:圖像都呈現單調遞減趨勢;圖像都經過點(0,1);W1(v)函數圖像經過點(1,0),W2(v)函數曲線無限趨近于點(1,0).

圖1 W1(v)和W2(v)函數對比圖

不同性質:W2(v)函數值降低,呈現先緩慢再加速的趨勢.具體表現:在v→0+時,W2(v)函數值緩慢降低,保證了圖像分割過程中邊界清晰處能夠較好、較完整地收斂,隨著v的增大,W2(v)函數值加速降低,意味著平滑不清晰、較淺邊界,即在近邊緣處減緩衰減而在遠邊緣處加快衰減,從而提高對圖像的弱邊緣檢測能力.

建立改進的Ambrosio-Tortorelli模型為

(4)

基于變分法計算式(4)對應的歐拉-拉格朗日方程:

(5)

其中,邊界處滿足紐曼邊界條件.

采用梯度下降法計算出式(5)對應的梯度下降流:

(6)

其中

最后采用有限差分法離散式(6),得到改進Ambrosio-Tortorelli模型的迭代方程為

(7)

其中,

3 數值實驗分析

3.1 圖像分割介紹

3.2 收斂性分析

本節實驗在Window 10操作系統下,利用Matlab R 2017a軟件編寫程序實現.利用數值實驗結果,分析改進Ambrosio-Tortorelli模型的收斂性.將原始圖像(圖2)進行分割實驗,參數設置為α=0.4,λ=180,ε=0.7,迭代次數為1 000,得到圖像分割后光滑圖像u和邊界圖像v(如圖3、圖4).

圖2 原始圖像

圖3 光滑圖像u(迭代次數從1～1 000)

圖4 邊界圖像v(迭代次數從1～1 000)

圖5 平均能量泛函變化圖

圖6 Nu值變化圖

3.3 對比分析

注:下圖為上圖放大呈現圖9 平均能量泛函變化圖

圖10 Nu值變化圖

4 結語

數值實驗結果說明,改進Ambrosio-Tortorelli模型的圖像分割應用具備有效性,且具有更恰當的衰減模式,能改善原模型中圖像邊緣測度逼近項隨梯度模衰減過早且速度較慢等不足,在一定程度上提高了對圖像弱邊緣的辨識能力,即實現了圖像弱邊緣檢測能力的提高.