一種聯合修正的穩健Capon波束形成算法

唐佳雨,楊競舟,胡登輝,張 暘,李大鵬

(1.南京郵電大學 通信與信息工程學院,江蘇 南京 210003;2.中國電子科技集團新一代移動通信創新中心,江蘇 南京 210019)

0 引言

自適應波束形成(Adaptive Beamforming)是陣列信號處理的一個重要分支[1],它是一種空域濾波技術,可以根據通信環境狀況,不斷地調整權重矢量,以達到增強期望信號、抑制干擾的目的。

20世紀60年代,Capon在文獻[2]中提出了具有高分辨率和高干擾抑制能力的自適應波束形成算法,但該算法在某些情況下輸出的SINR會大幅降低。為了提高Capon波束形成算法的穩健性,文獻[3-5]提出了對角加載技術,本質是在接收信號的協方差矩陣上加上一個對角陣,等同于擴大了接收信號中噪聲的功率。其中,文獻[3]通過在樣本協方差矩陣中加載一個縮放的特征矩陣,從而提高了算法的穩健性,但是在實際的應用過程中,很難確定加載量的大小。文獻[4-5]雖然可以自動選擇加載量,快拍數較低時仍能夠輸出較大的SINR,但在輸入信號的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)較高時,性能會明顯下降。

近來又提出了可以提高算法穩健性的導向矢量優化技術。文獻[6-9]提出了基于特征空間的優化技術。其中,文獻[6]將協方差矩陣特征分解,但是在低SNR的環境下,噪聲子空間與信號子空間的特征向量容易發生誤判,所以輸出性能會急劇惡化。文獻[10-13]提出了不確定集約束技術。其中,文獻[10]的主要思想是將導向矢量約束在假定的球面或橢球面上,導向矢量可通過求解二次約束二次規劃(Quadratic Constrained Quadratic Programming)問題得出。文獻[11]為了解決積分帶來的運算量問題,將積分區域劃分為網格,對每個網格的計算結果進行累加,極大地減小了計算量。文獻[12]表明,如果積分的范圍越大,則收集的冗余信號越多,在文獻[10]的基礎上增加了約束條件,使導向矢量被約束在一個不確定集內,將球面積分轉化為圓環積分,但減少了一個干擾抑制的自由度。文獻[13]由推導出的閉式解,采用圖像法確定參數,完成算法的優化求解。

導向矢量優化僅優化了信號來向估計不準的問題,并未考慮協方差矩陣的影響。據此,文獻[14-16]提出了協方差矩陣重構的技術。其中,文獻[14]提出了基于線性積分的協方差矩陣重構算法,并且給出了積分求解的約束條件。除此以外,文獻[16]基于干擾導向矢量和功率估計將干擾信號導向矢量約束在一個不確定集內并通過優化求解得出干擾噪聲協方差矩陣。這一方法可以得到穩健的波束形成器,但是計算繁瑣,一般需要借助工具包實現。

本文首先構建了一個遠場窄帶勻直陣列模型,得到了接收天線的接收陣列信號。接著由Capon波束形成算法的最優權矢,分析需要優化的問題。根據問題引出本文提出的聯合修正的穩健Capon波束形成算法并進行求解,得到修正后的期望信號導向矢量和干擾噪聲協方差矩陣,帶入Capon波束形成器即可得到優化后的最優權矢,最后通過仿真驗證本文提出的算法性能。

1 系統模型與問題分析

1.1 勻直陣列系統模型

設想一個如圖1所示的勻直陣列模型。假設有一個1×N的SIMO信道,且位于遠場的發射端有一個期望信號和M個互不相關的干擾信號,它們都是窄帶信號,則接收的信號為:

X(t)=AS(t)+n(t)=

(1)

式中:A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θM)]為N×(1+M)的導向矢量矩陣,a(θ0)為期望信號導向矢量,a(θ1)、a(θ2)、…、a(θM)為M個干擾信號的導向矢量,其中a(θk)=[1,ejβk,…,ej(N-1)βk],βk=2πdsinθk/λ,λ為波長,d為陣元間距,S(t)為期望信號與干擾信號的復包絡,n(t)為N×1的噪聲向量。

1.2 Capon波束形成技術

根據接收信號X(t),可以得到接收信號的協方差矩陣為:

R=E[X(t)XH(t)]=

(2)

式(2)中:

(3)

(4)

式中:Rs、Ri+n分別表示期望信號協方差矩陣和干擾加噪聲協方差矩陣。

接收信號協方差矩陣可通過下式計算得到:

(5)

式中:K表示快拍數,X(k)表示第k個快拍的接收信號。

Capon波束形成器原理是通過在將信號來向的響應設置為常量的約束條件下,選擇能將陣列接收到的信號的功率最小的權矢[17]。所以,標準Capon波束形成的權重矢量為:

(6)

式中:P為Capon波束形成器的功率譜。

1.3 問題分析

在應用過程中,一般使用譜估計的方法得到信號的入射角度,進而得到導向矢量,這會產生導向矢量失配的問題,即由于信號入射的角度估算偏差而導致的導向矢量誤差。對導向矢量估計不準,就會使輸出的SINR降低。

在SNR較高時,由于期望信號功率較高,接收信號協方差矩陣中包含期望信號,根據式(6)可知,此時輸出SINR將急劇降低。如圖2所示,期望信號方向為0°,干擾信號為-27°和45°,當協方差矩陣中含有期望信號時,期望信號0°位置也產生了零陷。

圖2 協方差矩陣中含有期望信號的方向圖Fig.2 Directional patterns containing expected signals in the covariance matrix

近來,圍繞Capon算法的優化,都基于這兩個問題開展。但現有的很多算法的靈活性和穩健性都不夠高。

本文提出一種聯合修正的穩健Capon波束形成(Joint Modified Robust Capon,JMRC)算法,首先將接收信號協方差矩陣特征分解為信號空間和噪聲空間,基于導向矢量與噪聲空間的正交性,使期望信號導向矢量在噪聲子空間的投影最優,對估計的期望信號導向矢量進行修正。該算法采用拉格朗日乘子法求解,可通過動態調節約束參數,達到在不同通信環境下都能在期望信號方向上獲得最大輸出響應的目的。再基于對殘余噪聲消除和對干擾功率的估計,對期望信號協方差矩陣特征分解,并由此得到投影矩陣,消除接收信號中的期望信號,修正協方差矩陣。將結果帶入即可得到修正后的Capon最優權矢。該算法可以很大程度上解決現有很多算法穩健性和靈活性不足的問題。

2 聯合修正的穩健Capon波束形成算法(JMRC)

JMRC算法包含兩部分:導向矢量修正和干擾噪聲協方差矩陣重構。

2.1 導向矢量修正

假設期望信號個數與干擾信號個數之和小于陣列天線數,即1+M

(7)

對于協方差矩陣R,右乘En可得:

(8)

而由式(2)可得:

(9)

式中:A=Span{a(θ0),a(θ1),…,a(θM+1),…,a(θN)}為導向矢量張成的矩陣空間。

由式(8)和式(9)可得:

ARsAHEn=0,

(10)

(AHEn)HRs(AHEn)=0。

(11)

式(11)成立的充要條件為AHEn=0,即:

(12)

可改寫為:

(13)

式中:‖·‖2為矩陣-2范數。

(14)

由于其最小值一定取在約束條件的邊界上,對于式(14)的求解可使用拉格朗日乘子法。所以構造如下拉格朗日函數:

(15)

式中:λ為拉格朗日乘子。式(15)中,對a0求偏導可得:

(16)

令式(16)等于0得:

(17)

帶入約束條件可得:

(18)

(19)

對式(19)求逆:

(20)

帶入式(18)可得:

(21)

(22)

解出λ為:

(23)

結合式(17)～式(23)的結果可以得解出修正后的期望信號導向矢量a0。

2.2 干擾噪聲協方差矩陣修正

設有一個功率為σ2的信號從δ角度入射,此時接收信號的協方差矩陣為:

(24)

由式(6)可知此時的功率譜為:

(25)

在實際過程中殘余噪聲可以用式(26)求得:

(26)

式中:K為采樣點數,θ∈Θ且Θ為除期望信號與干擾信號所在角度外的區域,θk為角度區域上第k個采樣點。

由式(24)～式(26)可得實際噪聲功率與噪聲協方差矩陣為:

(27)

殘余噪聲會影響協方差矩陣重構的穩健性。可以在消除殘余噪聲后對功率譜在期望信號角度區域內積分求得期望信號協方差矩陣,即:

(28)

(29)

(30)

圖3 與子空間的正交性Fig.3

QHXi(k)+QHXn(k),i(k)+QHXn(k),

(31)

帶入式(31):

(32)

而:

(33)

(34)

式中:Θi為干擾信號所在角度區域。則修正后的干擾噪聲協方差矩陣為:

(35)

2.3 算法流程

綜合前文,本文JMRC算法步驟如下:

步驟1對接收信號協方差矩陣特征分解,由式(7)得到噪聲特征向量并由此張成噪聲子空間En。

步驟2基于En對期望信號導向矢量修正。選定約束參數ε,結合求得的pl,由式(23)計算出拉格朗日乘子λ的值。將λ的值帶入式(17)即可得到修正后的導向矢量a0。

步驟3由式(29)對消除殘余噪聲后的期望信號協方差矩陣特征分解。選定參數J,得到子空間B1。

(36)

3 仿真分析

為了驗證本文JMRC算法的性能,選取最優算法、文獻[13,16]對角加載與本文提出算法進行對比,其中最優算法指導向矢量不存在失配且協方差矩陣中不含期望信號的Capon算法。設陣元個數N=8,陣元為間距為半波長的勻直陣列(Uniform Linear Array,ULA)。快拍數為K=512。為仿真方便,本文假設有一個來自0°的期望信號和兩個分別來自-27°、45°的干擾信號。兩個干擾信號的功率均為30 dBm,各個信道噪聲是功率為0 dBm互不相關的高斯白噪聲。假設存在5°的角度失配,即期望信號來向被估為5°。

輸出SINR與拉格朗日乘子的關系如圖4所示,由圖可知,拉格朗日乘子λ的值接近0時的歸一化輸出SINR近乎最大。拉格朗日乘子與約束參數的關系如圖5所示,若拉格朗日乘子的值近似于0,此時的約束參數ε的值約為2.5。故為了獲取最佳性能,本次仿真的ε=2.5。

圖4 輸出SINR與拉格朗日乘子的關系Fig.4 Relationship between output SINR and Lagrange multiplier

圖5 拉格朗日乘子與約束參數的關系Fig.5 Relationship between Lagrange multiplier and constraint parameter

圖6給出了各算法的方向增益圖,可以看出,本文的優化算法不僅在干擾方向-27°、45°上形成了很深的零陷,而且在期望信號0°方向獲得了最大歸一化輸出SINR。其他算法雖然也在干擾方向上形成了零陷,但是文獻[13]與對角加載技術在期望信號方向上也形成了較深的零陷,說明此時接收到的協方差矩陣中包含大量期望信號。文獻[16]相較于上述兩個算法性能有了很大提升,但是輸出SINR與本文JMRC算法相比還存在一定差距。

圖6 各算法方向圖Fig.6 Directional diagram of each algorithm

圖7給出了輸出SINR與輸入SNR變化的關系,可以看出,在SNR很低時,仿真的5種算法輸出SINR都呈遞增趨勢,但對角加載技術由于未對導向矢量進行優化,輸出SINR最低,且在-5 dB左右位置對角加載技術的輸出SINR開始急劇下降,這是因為協方差矩陣中已包含了大量的期望信號。在10 dB附近,文獻[13]算法輸出SINR也出現了下降趨勢。而本文JMRC算法呈一條直線,未出現輸出SINR下降的情況,且在SNR較高時,相較文獻[16],輸出SINR也有較高的提升。

圖7 輸出信號SINR與輸入SNR的關系Fig.7 Relationship between output signal SINR and input SNR

圖8給出了輸出SINR與導向矢量失配角度的關系,可以看出,當不存在導向矢量失配的問題時,5種算法的輸出SINR大體一致。當角度誤差增大時,對角加載技術、文獻[13]和文獻[16]算法的輸出SINR明顯降低,而本文JMRC算法輸出SINR降低的幅度較小。

圖8 輸出SINR與導向矢量失配角度的關系Fig.8 Relationship between output SINR and steering vector mismatch angle

圖9給出了輸出SINR與快拍數的關系,可以看出,除對角加載技術與文獻[13]算法外,其他算法對于快拍數K的變化并不敏感。對于本文JMRC算法而言,其與最優算法幾乎有相同的輸出SINR,且性能優于其他算法。

圖10給出了SNR=20 dB下的輸出SINR與干擾個數的關系,可以看出,本文JMRC算法、文獻[16]算法對于干擾個數并不敏感,但本文算法對干擾個數的容忍程度大于文獻[16],且輸出SINR與最優算法相比并無較大差異。而對角加載技術和文獻[13]算法的輸出SINR顯著降低。

圖10 輸出SINR與干擾個數的關系Fig.10 Relationship between output SINR and the number of interferences

在算法復雜度方面,文獻[13,16]在求解時需要解決的凸優化問題復雜度高,一般需要使用CVX工具包實現。而本文算法主要使用特征分解求解,復雜度低且系統可以復用這一結構,減小了系統的額外開銷。

4 結論

本文首先對導向矢量進行修正。優化求解采用了拉格朗日乘子法,因為約束參數ε與拉格朗日乘子λ的關系,所以可以動態調節ε的取值而獲得最大的輸出SINR,具有較高的靈活性。選取ε=2.5即可得到最大的輸出SINR,解決了導向矢量失配導致輸出SINR降低的問題。然后對協方差矩陣進行修正,利用構造的投影矩陣Q對期望信號消除后再對干擾功率積分得到修正后的協方差矩陣,解決了協方差矩陣中存在期望信號而導致的期望信號方向產生零陷的問題。仿真結果表明,本文JMRC算法的輸出SINR不會因為輸入SNR增大而減小,且對于導向矢量失配角度、快拍數、干擾個數的變化不敏感。在通信質量較差的環境下仍然能夠獲得較高的輸出SINR,穩健性高。但JMRC算法要求各個干擾信號之間相互獨立,且入射信號需為遠場窄帶信號。因此,在未來的工作中,需要進一步研究適用于相干干擾、近場非平面波的穩健算法。