持續約束下基于模糊性的最優消費和投資組合研究

呂會影,李 鈺

(安徽機電職業技術學院 公共基礎教學部,安徽 蕪湖 241002)

0 引言

在過去十年中,英國脫歐和中美貿易戰導致經濟發展不確定性激增,這將影響公司投資決策和投資者的行為.近三年新冠疫情導致世界經濟衰退,它對經濟整體影響的規模和持續時間仍極不確定.在這種不確定的環境下,一些投資機構仍被要求在可持續消費約束下做出投資組合選擇,Campbell和Sigalov[1]表明默頓模型中,當實際利率下降,而風險溢價不變時,投資者為了追求收益率,往往需要追加一個附加要素:那就是承擔更多風險,并且只消耗預期的財富回報.當投資者考慮模型的模糊性時,Anderson等[2]采用魯棒控制來避免經濟環境中不確定性帶來的模型誤設問題.為研究在可持續消費約束下模糊性對投資者決策的影響,本文將模糊性引入到投資組合問題中,探討約束下模糊性對風險投資的影響.

關于在決策模型中考慮模糊性的文獻,Yi等[3-4]討論了在Heston隨機波動模型和均值-方差模型下對模糊性的魯棒性投資和再保險問題.文獻[5]引入模糊性來研究魯棒的長期合同,關注相對績效評估.文獻[6]研究魯棒性最優配對交易問題,目標是在隨機波動性框架中使用資產之間的協整性來統計套利策略.文獻[7]預測增加模糊性會降低費用和索賠的價值.不同于以往研究中模糊性增強保守投資傾向的觀點,本文研究了模糊對冒險行為的雙向效應.特別是當無風險利率為負時,模糊性使得投資者在可持續約束下將更多財富投資于風險資產.

1 具有模糊性的無約束模型

(1)

其中:μ表示風險溢價;σ>0表示風險資產的波動率;B是定義在濾波概率空間(Ω,F, {Ft}t≥0,P)上的標準布朗運動.

投資者將財富Wt的一部分.比例πt分配給風險資產,在t時將剩余的部分財富(1-πt)Wt分配給無風險資產.則財富Wt隨時間的變化過程為

(2)

1.1 優化問題

對于具有連續時間表征的Epstein-Zin偏好的投資者[10-11],投資者通過在備選方案集的最壞情況模型下選擇最優消費C和風險投資π來最大化Epstein-Zin偏好的預期效用.值函數為

1.2 模型的解

應用動態規劃原理,投資組合最優化問題的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI)方程為

(3)

JW和JWW分別表示值函數J對財富W的一階和二階偏導數.

由于式(3)的右邊關于g是單調遞減的,所以當g=κ時,有一個唯一的解可以最小化.將g=κ代入式(3)可得

關于消費C的一階條件為fC(C,J)=JW,關于風險投資π的一階條件為

π=-(μ-σκ)JW/σ2WJWW.

命題1假設投資者的價值函數J(W)是

J(W)=DW1-γ/1-γ.

(4)

則最優的風險投資為

(5)

最優的消費與財富比為

(6)

常數D為

式(5)的結果與文獻[12]中π= (μ-r)/[ (γ+κ)σ2]一致,無論無風險利率如何變化,模糊性的增大都會降低風險投資比例.但模糊性以不同的方式進入回歸動態過程,本文中的模糊性會侵蝕風險溢價,而在文獻[12]中模糊性會增加風險厭惡系數.由于ψ<1,式(6)反映了模糊性增大會降低收益,從而減少消費.

從式(5)和(6)可推出

即最優風險投資和消費財富比對模糊性的一階導數都為負數,也就意味著在財富水平不變時,隨著模糊性程度κ的增大,投資者會減少對風險資產的投資,同時也會縮減消費水平.

2 具有模糊性的約束模型

2.1 算術持續約束

對可持續消費的一種解釋是,保持永久的影響,使投資者的支出不能超過或低于預期收益.首先考慮算術持續約束.

根據文獻[1],算術上的可持續支出約束要求消費等于模糊厭惡型投資者的財富乘以投資組合的預期收益,

將這種消費約束代入財富的動態變化過程式(2),得

(7)

由上式知,財富的變化方程是一個鞅.因此,算術持續約束阻止投資者安排積累或消耗財富.

在算術持續約束下,投資者基于最悲觀情況選擇最優的風險投資π來最大化Epstein-Zin偏好的期望效用.值函數為

上式受約束于財富動態過程式(7).為了求解最優的風險投資和消費財富比,采用動態規劃原理,對應的HJBI方程為

(8)

g=κ時有一個唯一解可以最小化.將g=κ代入式(8),得

上式關于的π一階條件為

命題2假設算術持續約束下投資者的價值函數J(W)為

(9)

最優的風險投資

(10)

消費與財富比為

C/W=

常數E為

2.2 幾何持續約束

在算術持續約束下,當t→∞時,幾乎可確定Wt→0和Ct→0,這違背了可持續性的意義.因此,根據文獻[1],考慮幾何持續約束.

在不扣除消費的情況下,投資者投資組合的價值過程為

(11)

幾何持續消費約束的定義:在t時刻的消費等于模糊厭惡型投資者的財富乘以預期投資組合收益的對數值.在式(11)中應用Ito引理,得

將此消費規則代入財富變化過程(2),得

(12)

在幾何持續約束下,在最悲觀情況下投資者最大化Epstein-Zin偏好的期望效用.值函數為

上式受約束于式(12).采用最優隨機控制原理,投資者的投資組合優化問題的HJBI方程為

(13)

當g=κ時,有一個唯一解可以最小化.將g代入式(13),得

(14)

式(14)關于π的一階條件是

命題3假設幾何持續約束下投資者的價值函數為

(15)

則最優的風險投資滿足:

消費財富比滿足:

常數F滿足

當風險厭惡系數大于1時,即γ>1時, 存在臨界值r*=δ/(1-γ)(1+ψ-1)<0.當r>r*時,最優風險投資π關于是模糊性程度κ的遞增函數;當r

2.3 福利損失

為了使約束條件下的值函數與無約束基準條件下的值函數相等,將福利損失量化為模糊厭惡型投資者補償所需的財富W的百分比.因此損失L滿足

JM(W)=Ji((1-Li)W),i∈{A,G},

JM,JA和JG分別表示默頓,算術和幾何持續約束下的價值函數.

根據式(4)和(9),在算術約束下推導出福利損失為

LA=1-

根據式(4)和(15),在幾何約束下推導出福利損失為

3 數值評估

本節將定量分析結果.參考文獻[1]設置了大部分參數值,并對其余參數值進行了微調:無風險率r= 0.01,時間偏好率δ= 0.075,風險資產的預期收益μ= 0.06,風險資產的波動率σ= 0.14,模糊性程度κ= 0.1,相對風險厭惡系數γ= 4,跨期替代彈性ψ= 0.3.

對比算術和幾何持續約束情況下,最優風險投資隨著無風險利率的降低而增加.模糊性程度對風險投資的影響如圖1所示,比較各曲線的斜率,發現變化趨勢與文獻[14]中相似,存在參考點r*.

圖1 模糊性程度κ對風險投資π的影響

模糊性對風險投資的效應表現在兩個方面:①去風險(投資債券):當r>r*,曲線是向下傾斜的,即模糊度越大,投資者對風險資產的投資越少,這與無約束模型的效果相似.隨著模糊性的增加,投資者獲得的信息越來越少,也傾向于投資更少的風險.此時投資無風險債券是有利可圖的,具有足夠的吸引力.因此,隨著模糊性的增加,投資者更喜歡無風險資產而不是風險資產.當r繼續增大時,這種效應更加顯著.下面的曲線比上面的曲線更陡.②冒險(投資股票):當r

雙向效應在現有的模糊性文獻中是新的[15-16].在以往研究中[3, 4, 7],模糊性只會讓投資者和機構減少冒險行為.

考慮標準默頓情形,即無模糊性的情況下(κ = 0),風險資產的波動率σ對投資組合選擇的影響,如圖2所示.

與考慮模糊性的影響不同,σ的增加會抑制投資者的冒險行為.在同一個波動率水平下,隨著無風險利率r的增大,投資者會減少對風險資產的投資.

當無風險利率一定時(設r=0.01),模糊性程度對消費財富比的影響如圖3所示.在無約束模型和有約束模型中,由于模糊降低了收益,從而減少了消費.此外,與有約束的投資者的有限選擇相比,無約束的投資者可以自由選擇他們的平滑消費計劃.當模糊程度相對較小時,無約束的消費低于有約束的消費,因為投資者傾向于平滑他們的消費,為“糟糕”的情況做準備.當模糊性程度較大時,消費平滑可以緩解模糊性對消費的侵蝕,因此無約束消費較高.最終,在約束情況下的消費財富比將低于無約束情況下的消費財富比.

圖3 模糊性程度κ對消費財富比C/W的影響

模糊性程度對約束模型的福利損失影響如圖4所示.在標準默頓模型中,投資者同時選擇最優風險投資和消費以實現效用最大化.將無約束消費作為基準解決方案.在可持續約束條件下,投資者在滿足約束條件的情況下會選擇相對平滑消費能力較強的消費計劃.因此,有約束的消費通常不同于無約束的最優消費.同樣地,在約束情況下,任何不等于基準的消費都會導致福利損失.

圖4 模糊性程度κ對福利損失L的影響

當沒有模糊性時,只有約束起作用.遵循可持續消費的投資者必須過度消費以滿足需求,而不受約束的投資者則可以平穩消費以達到預防性儲蓄的目的.受約束的投資者過度消費將導致福利損失.隨著模糊性的增加,它將削弱無約束和有約束情況下的收益和消費.此外,約束模型的削弱效應更強.因此,當模糊性相對較低時,模糊性和約束對消費的影響是相反的,相互抵消.可以將其視為對過度消費的修正,將受約束的消費均值回復到基準消費.因此,隨著模糊性的增加,福利損失開始減少.在兩種受約束的情況下存在某種程度的模糊性,有約束的消費恰好等于無約束的消費,不產生福利損失.從那以后,消費繼續被模糊性污染.然而,不受約束的投資者可以平滑消費,以彌補模糊的損失;而具有可持續消費約束的投資者則存在消費不足的問題,受約束消費低于無約束消費.隨著模糊性的不斷增加,它會強化約束的效果,模糊性和約束都會導致消費的減少.受約束的消費進一步偏離無約束的情況,福利損失持續擴大.

4 結論

本文分析了一個具有Epstein-Zin偏好的典型投資者在基于悲觀模型下的最優投資組合選擇問題,該投資者的消費受到可持續需求的進一步約束.本文的主要研究結果如下:

(1)在標準默頓無約束模型中,當模糊性增加時,投資者總是傾向于減少風險投資比例.但在約束模型中,模糊性對冒險行為存在雙向效應.無風險利率存在一個臨界值r*,當r>r*,無風險債券具有足夠的利潤和吸引力,此時當模糊性程度增加時,投資者更傾向于投資無風險資產(債券),將其稱為去風險;當r

(2)在無約束和有約束的情況下,由于模糊性降低了收益,都會導致消費者減少消費.但在約束下,模糊性減少消費的程度更大,因為投資者只能選擇滿足約束的相對平滑的消費計劃,而在無約束下,可以無限制地進行平滑消費.

(3)模糊性程度越高,將會導致福利損失越大.