基于Delta 3D打印機的剛柔耦合運動學分析

李曉光,王志偉

(1.安徽糧食工程職業學院 機電工程系,安徽 合肥 230011;2. 寶時得科技(中國)有限公司,江蘇 蘇州 215000)

相對其他成型工藝,3D打印機能夠完成更復雜的成型工藝,且成型周期短、效率高,從而得到廣泛應用.目前市場上主要存在兩種形式的打印機,即Delta打印機和Reprap打印機,前者構型較為復雜,其有效工作空間往往會因為結構而受到一定的限制,但是其體積小、精度高、承載能力強,因此在成型較為復雜的零件時也具備更多的優勢[1-3].

隨著時代的不斷發展,3D打印機在實際工作中存在的問題也逐漸顯現出來,因此人們對打印機的研究也在逐步深入.張俊等[4]對陶瓷打印機噴頭及結構設計進行了詳細分析.曾達幸等[5]對3-CUR解耦并聯3D打印機進行了深入研究,并通過遺傳算法對機構進行相應優化,提高3D打印機的定位;李小汝等[6]通過對3-DOF冗余并聯式機構學研究,也為3D打印機的進一步發展奠定了基礎.本文針對目前市場上的主流Delta打印機進行了研究與分析,并結合模型的實際尺寸建立了打印機的數學模型,結合Adams和Hypermensh等軟件完成對模型的驗證以及傳動的誤差分析.

1 Delta打印機工作概述

本文主要針對Delta運動模型進行分析,因此對三維模型進行了適當簡化,結構主要由靜平臺、轉臂、擺臂以及動平臺構成,其中靜平臺主要安裝轉臂的驅動電機以驅動轉臂完成復雜的打印動作;轉臂及擺臂主要輔助動平臺能夠多自由度完成相應的打印動作,并對動平臺起到主要支撐作用以滿足其工作強度要求.動平臺主要作為打印噴嘴的安裝平臺,Delta打印機結構如圖1所示.

圖1 Delta打印機簡易模型

2 打印機位姿求解

為便于模型研究及運動學方程建立,將上述模型簡化為幾何關系表達式,因為動平臺運動方式受從動臂聯合約束作用的影響,所以將其轉嫁到單側主動臂和從動臂各關節的主動驅動.針對3臂綜合的運動效果可簡化為單臂運動方式,具體結構如圖2(a)所示.其數學模型如圖2(b)和(c)所示,其中R為靜平臺半徑,即圖2(a)中的a1,r為動平臺半徑.

圖2 Delta單傳動臂薩哈-DH坐標系

Delta打印機動平臺在工作過程中受到3個主動臂和從動臂的影響,其動平臺具備平動運動的特點,因此可將其數學模型再次簡化為單主動臂、從動臂及平動平臺.用薩哈-DH參數法建立其運動學方程,由圖2可得3D打印機的薩哈-DH參數如表1所列.

表1 Delta打印機薩哈-DH參數表

由坐標變換關系可知,相鄰量坐標之間可通過4個齊次坐標變換進行描述,關系表達式為:

(1)

通過計算最終可得其表達式為:

(2)

綜合上式得出運動方程為:

(3)

其中:k表示坐標系的編號,c和s分別代表cos和sin的縮寫;Ttz為坐標系k沿Zk軸平移距離bk,使Xk和Xk+1軸相交;Trz為坐標系k的Xk軸繞Zk軸旋轉θk,使Xk軸和Xk+1軸共線;Ttx為坐標系k沿Xk+1軸平移距離ak,使Ok和Ok+1點重合;Trx為坐標系k的Zk軸繞Xk+1軸旋轉角度ak,使得Zk軸和Zk+1軸重合[8].

將初始值a1(84.4),a2(260),a3(640cosa4),b4(640sina4),a5(33.75)帶入上式中,經過Matlab計算可得坐標點X5、Y5、Z5相對坐標系原點的坐標的位置為:Px=260cosθ2-640cosa4sinθ2sinθ3+640cosθ2cosθ3cosa4+422/5,Py= 260sinθ2+640cosθ2cosa4sinθ3+640cosθ3cosa4sinθ2,Pz=640sina4.

從而可得動平臺的質心相對靜平臺質心的位置為:x=260cosθ2-640cosa4sinθ2sinθ3+640cosθ2cosθ3cosa4+422/5-33.75,y= 260sinθ2+640cosθ2cosa4sinθ3+640cosθ3cosa4sinθ2,z=640sina4.

為保證模型從初始位置進行運動,將仿真時各關節的角位移設置如下:θ2=time+0.41;θ3=time+1.57;a4=time.從而可得其驅動角位移曲線如圖3所示.

圖3 各關節驅動的角位移

將各轉角位移帶入運動學方程,利用Matlab求解可得其動平臺末端質心的位移曲線如圖4所示.

圖4 動平臺質心位移

3 Adams和Hypermesh剛柔耦合運動學分析

將三維模型導入到Adams中并按照其運動關系在各關節加入對應的約束副,并對其上述運動參數進行驗證.Delta打印機在Adams中的約束副如圖5所示.

圖5 Delta打印機在Adams中的約束副

由于模型中針對θ2、θ3、a4的初始角度分別為0.41 rad、1.57 rad、0 rad,因此為保證仿真時的各轉角位移保持一致.這里分別給予θ2、θ3、a4轉角的驅動值分別設置為:θ2=time;θ3=time;a4=time.

為保證和上述運動時間一致,這里將仿真時間設置為為0.15 s,步數設置為500步,仿真結束后,利用Adams/Processor功能調出動平臺的質心坐標如圖6所示.

圖6 Adams中動平臺質心位移

從圖6可以看出,其Adams仿真結果和理論結果相符,從而驗證了本文模型建立的合理性.可進一步的得到動平臺質心的速度及加速度結果如圖7和圖8所示.

圖7 Adams中動平臺質心速度

圖8 Adams中動平臺質心加速度

從圖7、圖8中可以看出,動平臺在運動過程中其位移、速度、加速度曲線變化相對較為平順,沒有出現突變等不良情況,從而也進一步的驗證了模型在運行過程中的穩定性.

由于打印機在工作過程中,在其動臂承受一定的負載的情況下,往往導致其動平臺的質心會偏移其理論位置,從而導致其打印精度受到一定的影響,導致零部件精度誤差較大[9-10].其Delta并聯機構3D打印機具有一定的承載能力,其打印精度往往相對其理論設定打印位移偏差較小,這里主要借助Hypermesh軟件對關鍵承載部件的主動臂和從動臂進行柔性化處理.劃分結果如圖9所示,使其生成Adams軟件可識別的mnf網格文件,并將其導入到仿真模型中進行驗證.

圖9 Hypermesh柔性體網格劃分

將上述柔性體導入Adams中,再次進行仿真可得,其動平臺的末端質心位移和剛性體末端質心位移曲線如圖10所示.

圖10 Hypermesh柔性體網格劃分

由圖10可知,在主動臂和從動臂進行柔性處理的情況下,其仿真結果和剛性體仿真結果基本重合,在誤差允許的范圍內,進一步驗證了設計的合理性.

4 結語

本文對Delta打印機的工作原理和結構進行了說明,并結合其工作原理,完后了三維模型的繪制.結合其結構特點,利用薩哈-DH坐標法,建立其運動學方程,同時借助Matlab和Adams軟件驗證其數學模型的合理性,利用Hypermesh對Delta打印機的主動臂和從動臂進行了柔性化處理,并將其導入到Adams中進行特定工況下Delta打印機的剛柔耦合分析,結合仿真實驗,對理想剛性體和柔性體情況下的動平臺質心位移傳動誤差進行了分析,驗證了模型設計的合理性.