軸向柱塞泵球面配流副可靠性評估

張翔宇，許順海，王少萍，耿藝璇，石健，白林迎

(1.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191；2.中鐵工程裝備集團有限公司，河南鄭州 450016)

0 前言

軸向柱塞泵作為液壓系統的核心動力元件，具有功率體積比大、結構緊湊、變量方便等優點[1]，廣泛應用于航空航天、船舶海工[2]、機械工程[3]等領域。但柱塞泵突然出現故障，將會影響整個系統的正常運行，從而給企業帶來不必要的損失。因此，對柱塞泵進行可靠性評估，為系統視情維修及健康管理奠定基礎，具有重要意義。

球面配流副具有結構緊湊、承載面積大、抗傾覆力矩能力強等諸多優點[4]，被廣泛應用于高壓大流量柱塞泵中。當前，球面配流副的研究大多是針對油液及球面配流結構展開的。對于球面配流副間隙的油液，許賢良等[5]在N-S方程和連續方程的基礎上，推導出球面縫隙流的基本運動方程，進而求出速度分布。向倫凱[6]、李小寧和畢諸明[7]通過引入歐拉角表征缸體位姿，建立球面配流副油膜分布的數學模型，并且建立了基于N-S穩態層流的間隙流體動力學模型，獲得了配流副密封區的壓力表達式。對于球面配流副的結構，李小金等[8]推導出了基于球面坐標系的貼體網格生成方程，基于雷諾方程得到了球面配流副的二維穩態壓力場。鄧海順、許賢良[9]將球面配流副和平面配流副的油膜情況進行了對比，并提出了球面配流副的最佳平均間隙的概念，進一步完善了球面配流副的理論。薛亞峰[10]針對球面配流和平面配流2種不同的配流方式，分別推導了磨損量的預測公式，結果表明：球面配流副可以比平面配流副減少約50%的磨損量，可有效提高柱塞泵的使用壽命。關于可靠性，曹智等人[11]通過時域特征參數分析了火箭發射和航天器在軌等極端環境下循環泵的可靠性。張育洋、馬驥[12]根據威布爾分布壽命評估方法，對污染磨損的液壓柱塞泵進行了可靠性評估。關新等人[13]對風力葉片進行ANSYS疲勞分析，并計算了風力機葉片的疲勞可靠性。杜尊令等[14]在隨機攝動理論和四階矩技術的基礎上，建立了軸向柱塞泵容積效率可靠性及可靠性靈敏度分析方法。RUHI和KARIM[15]通過Kolmogrov-Smirnov準則建立了基于威布爾分布、正態分布和指數分布三重混合模型的液壓泵可靠性模型。

上述學者從配流副的結構和配流副間隙的油液出發，對球面配流副展開了研究，建立其力學模型和油膜分布模型；或者對其他機械結構從數學理論和軟件分析兩方面進行了疲勞和容積等可靠性的分析。配流副作為軸向柱塞泵最易磨損和失效的三大摩擦副之一，缸體受力大的地方在長時間的高壓大流量工作情況下會產生嚴重的應力集中，導致缸體表面出現裂紋，最終使軸向柱塞泵無法工作。而且球面配流副在高壓的情況下產生的磨損很大，所以球面配流副工作狀態是否良好是決定軸向柱塞泵是否能夠正常工作的關鍵因素之一，對其進行疲勞和磨損可靠性計算十分必要。

考慮以上情況，本文作者以柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵為研究對象，提出一種球面配流軸向柱塞泵的動態疲勞裂紋可靠性和磨損可靠性評估方法。通過考慮柱塞傾斜和油液的影響，對軸向柱塞泵中球面配流副的受力情況進行分析，并利用Miner準則和逆高斯理論對球面配流軸向柱塞泵進行可靠性分析[16]。

1 球面配流副的力學模型

1.1 柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵

軸向柱塞泵主要由斜盤、缸體、配流盤和柱塞組成，此處研究的柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵結構如圖 1所示。其中，球面配流副由配流盤的凸球表面、缸體的凹球表面及兩者間的密封間隙組成，并且具有徑向結構緊湊、承載面積大、抗傾覆力矩能力強等特點。

圖1 柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵結構

此研究以750 mL/r軸向柱塞泵為研究對象，軸向柱塞泵整體模型的主要參數如表 1所示。

表1 模型主要參數

1.2 球面配流副油液壓力及流速

軸向柱塞泵中的配流盤凸球表面與缸體凹球表面之間的間隙充滿了油液，在軸向柱塞泵運動時，缸體旋轉并且晃動，此時會把油液旋入配流副間隙從而形成油膜。軸向柱塞泵中傾斜柱塞和油液壓力等變動的力和力矩會造成油膜幾何形狀的時變，使得壓力場分布非常復雜，形成的油膜對于軸向柱塞泵的運動分析十分重要。因此，對軸向柱塞泵的球面配流副進行受力分析時，主要考慮油液和柱塞產生的力，并且遵循以下假設條件：

(1)流體不可壓縮，假設流體定常?vr/?t=?vθ/?t=?vφ/?t=0；

(2)與液壓力相比，可忽略質量力等，即ρg=0；

(3)油膜厚度較小，故忽略徑向移動vr=0；

(4)環形槽φ對稱，假設vφ=0，?f/?φ=0。

查閱資料可知N-S方程為

(1)

對于球面配流副，以配流盤方向的圓心為原點，建立圖 2所示的球面坐標系(r,θ,φ)。

圖2 缸體-球面配流副坐標系

已知連續性方程為

(2)

動量方程為

(3)

(4)

(5)

其中：vr、vθ、vφ分別為r、θ、φ3個方向的流體運動速度；?vr/?t、?vθ/?t、?vφ/?t分別為r、θ、φ3個方向的流體運動加速度；ρ、μ分別為液體密度和運動黏度。

根據動量方程(3)(4)(5)以及假設(1)(2)(3)和(4)，推導簡化可得

(6)

(7)

(8)

再根據連續性方程(2)可得

(9)

所以

(10)

(11)

由于p和r、φ無關，則?p/?θ=dp/dθ；并且由平行平面間隙流理論可知，壓力p在間隙任意半徑的微環上服從線性分布規律，即dp/dθ與r無關，式(11)可進一步簡化為

(12)

對式(12)積分可得

(13)

根據邊界條件vθ(R0)=vθ(R0+h)=0可求得

(14)

所以最終可得油液速度為

(R0≤r≤R0+h)

(15)

對圖3所示的球面配流副球面縫隙壓力進行分析。

圖3 缸體-球面配流副縫隙壓力示意

在r、θ處取微元面積dA=rsinθdφdr，微流量為

r(2R+h)]sinθdφdr

(16)

由式(16)可知流量為

(17)

其中：φf=φ2-φ1=2π(z-1)α0/(2z)為配流盤上高壓流體作用范圍包角，α0為缸孔油窗口對應的圓周角。

式(17)可變換為dp的微分式

(18)

對式(18)兩邊積分可得

(19)

球面配流副沿內密封帶(r1～r2；θ1～θ2)的壓力邊界條件為θi=θ1、pi=pd和θ′i=θ2、p′i=ps，令Δp=ps-pd可得球面配流副內密封帶的壓力分布表達式

(20)

同理，球面配流副外密封帶(r2～r3;θ2～θ3)的壓力邊界條件為θo=θ2、po=pd和θ′o=θ3、p′o=ps，可得球面配流副外密封帶的壓力分布表達式

(21)

1.3 球面配流副對柱塞的反推力

球面配流副所受油液的壓力不僅會反饋到缸體和配流盤上，也會反饋到傾斜的柱塞上面，因此需要對柱塞所受球面配流副的反推力進行分析。將球面間隙內油液的反推力F0分解為沿z軸方向(缸體軸向)的分力F0z和垂直z軸方向的缸體徑向分力F0r。球面配流副力學模型如圖4所示。

圖4 球面配流副力學模型

(1)軸向反推力

根據圖4可以計算球面配流副所受的軸向反推力為

(22)

軸向反推力矩為

(23)

(2)徑向反推力及總反推力矩

在球面結構下，液壓力P的方向都指向曲率中心(球心)，且均為正壓力。由力的平衡四邊形法則和共點力系的合成定理可知，配流副對缸體的反推力合力F0的方向也必然通過球心。

根據上述特點和已知的軸向反推力F0z，可求出徑向反推力F0r。

由F0z和Mobz可知F0z的力臂為

Lbz=Mobz/Foz

(24)

sinβf=Lbz/R

(25)

(26)

其中：βf為F0和F0z的夾角。

根據公式(26)可知徑向反推力為

(27)

因為徑向反推力F0r與缸體中心桿支點B處的距離為

Lbr=(Lco-Lb+R)-Rcosβf

(28)

所以徑向反推力對支點B的力矩為

Mobr=F0rLbr

(29)

因此總反推力矩為

Mob=Mobz+Mobr

(30)

1.4 柱塞孔對缸體的壓緊力

在軸向柱塞泵的工作過程中，柱塞的往復運動會對缸體產生一定的作用力，其大小為

(31)

假設m個柱塞在排油區，則柱塞孔對缸體的總壓緊力為

(32)

2 基于受力分析和疲勞裂紋的可靠性

2.1 柱塞泵的薄弱環節分析

基于上述對柱塞泵的受力分析，在軸向柱塞泵的工作壓力為35 MPa、柱塞傾角為5°的情況下，對于缸體所受的來源于柱塞副及配流副的壓力分布在ANSYS中進行仿真，代入所得數據，得到缸體的應變應力云圖分別如圖5和圖 6所示。

圖5 缸體應變ANSYS云圖

圖6 缸體應力ANSYS云圖

由仿真結果可得：缸體所承受的最大應變為1.330 4×10-3m/m，最大應力約為212.75 MPa，最薄弱環節為高低壓腔孔交界的尖角處。長時間的高壓大流量工作將使得缸體高低壓腔孔交界的尖角處產生嚴重的應力集中，導致缸體表面出現裂紋，最終使軸向柱塞泵無法工作。在正常工作情況下，球面配流副所受壓力較大，因而產生的磨損很大，所以球面配流副工作狀態是否良好是決定軸向柱塞泵是否能夠正常工作的關鍵因素之一，對其進行可靠性計算十分必要。

2.2 基于Miner準則的疲勞分析

當應力幅值低于疲勞極限，試件循環次數超過N0，若試件不發生損壞，則認為在疲勞作用極限下，試件可以無數次循環而不發生失效，這就是Miner準則，如圖7所示。

圖7 Miner準則

其中：δ0stat為靜載荷強度；N代表應力周期。1段是在靜強度區，不發生損壞；2段是在有限壽命區，其表達式為

(33)

式中：m和C為時間材料相關常數；Ni、δi表示斜線上任一點坐標；Ni表示產生疲勞損壞總的循環次數。3段是在無線壽命設計區域。

累計損壞Miner準則為

(34)

式中：ni為各應力δi對應的循環次數；Ni為單一應力作用下疲勞破壞總循環次數；D為應力幅值變化情況下的累計總損傷；m為疲勞載荷數。

對于缸體所用的42CrMo材料而言，應力疲勞是主要的作用形式，所以此處只考慮應力壽命疲勞?；谏鲜龅挠邢拊Ｐ秃蚆iner準則，將材料參數從ANSYS Workbench中映射實現動態結構周期疲勞，用以得到準確的應力疲勞壽命。此處假設缸體的存活率為50%，得到缸體的壽命云圖如圖 8所示，這里設置存活率為90%作為參考，其壽命云圖如圖9所示。

圖8 存活率為50%的壽命

圖9 存活率為90%的壽命

上述云圖表明，在給定的應力條件下，存活率為50%時，該設備的最低循環次數為4.839×109次，進而計算得出缸體壽命為31 839.52 h。相應地，存活率為90%時，缸體的最低循環次數為2.051×107，壽命為213 h。

2.3 疲勞可靠性計算

機械結構的疲勞失效是疲勞損傷隨著載荷循環增加不斷累積造成的。采用S-N曲線和疲勞累積損傷模型對疲勞失效過程進行建模，其表達式為

Nfσm=C

(35)

(36)

(37)

大多數金屬材料的壽命一般服從對數正態分布，一對一概率密度轉化法示意如圖10所示，其概率密度函數(Probability Density Function，PDF)[17]為

fn(Nf)dNf=fd(D)dD

(38)

累計損傷的概率密度函數為

lnD～N(rulnNf+lnη，(rσlnNf)2)

(39)

因此可知累計損傷和疲勞壽命具有類似的概率分布，累計損傷的對數標準差為

σlnD=rσlnNf

(40)

循環次數n的對數標準差σlnn在恒幅載荷下滿足公式[18]：

(41)

因此可得損傷D的對數標準差σlnD為

(42)

總累積損傷對數標準差為

(43)

(44)

關于累計損傷的功能函數為

ZD=lnDc-lnD

(45)

所以可靠度循環次數的變化規律為

(46)

式中：Nfi為根據S-N曲線獲得的疲勞壽命，若工作環境更為復雜，也可采用其他壽命預測模型獲得Nfi。

在實驗數據匱乏、ri求解困難時，可令ri=1，疲勞累計損傷模型變成Miner模型，可靠度計算公式[19]可簡化為

(47)

圖10 一對一概率密度轉化法

根據以上得到的缸體疲勞損傷的概率分布函數和標準差，在已知缸體的最低循環次數和壽命的基礎上，得到缸體疲勞可靠性，如圖 11所示。

圖11 缸體疲勞可靠性曲線

3 基于逆高斯理論的可靠性模型

隨著液壓產品可靠性的研究投入，以及各類國家重點基礎研究發展計劃的不斷開展和落實，核心機載部件液壓泵的可靠性研究得到了長足的發展。從早期對液壓泵失效機制的分析到通過加速試驗獲得故障樣件和故障數據，之后進一步完善了運行過程中的狀態監測，最終實現了利用實時數據對液壓泵進行評估?，F從液壓泵的性能退化過程出發，研究軸向柱塞泵的可靠性。在研究性能退化過程中，逆高斯過程模型起到了十分重要的作用，參數意義清晰，且具有隨機效應和協變量引入方便等特性。因此對于退化趨勢不可逆的退化過程，采用逆高斯模型分析軸向柱塞泵的性能退化過程。假設軸向柱塞泵的性能退化量{Y(t),t>0}服從一種參數μ、δ和形狀參數為Λ(t)的逆高斯過程，其具有以下性質：

(1)Y(0)≡0；

(2)對于任意的t4>t3≥t2>t1有Y(t2)-Y(t1)和Y(t4)-Y(t3)為相互獨立的退化增量；

(3)對任意t2>t1≥0，退化增量Y(t2)-Y(t1)服從逆高斯分布gIG(μΔΛ(t),δΔ2Λ(t))，ΔΛ=Λ(t2)-Λ(t1)，且Λ(t)是單調遞增函數，Λ(0)=0，其中Λ(t)=t，是時間t>0的線性函數，gIG(a,b)(a,b>0)的概率密度函數和累計分布函數分別為

(48)

(49)

其中：Φ[·]為標準正態分布的累積分布函數：

(50)

在逆高斯模型的基礎上，將ANSYS中相對應的一對仿真算例生成9組加速退化數據的樣本W(t)(N=9)，如圖12所示。

圖12 加速退化數據

依照流程生成的仿真數據與真實的退化數據存在一定誤差，所以考慮一個退化樣本的測量誤差值，如圖13所示。因為在退化過程中，仿真數據的測量誤差不大，對后續的研究影響較小，所以在之后的可靠性分析中不考慮測量誤差的影響。

圖13 退化過程測量誤差仿真數據(1個樣本)

由于逆高斯過程單調遞增的特性，因此，缸體的可靠度函數可以通過對概率密度函數積分直接求得：

R(t|Λ(t),b)=P(Y(t)-Y(0)

(51)

其中：D為失效閾值。

根據磨損可靠度函數得到的缸體磨損可靠性曲線如圖14所示，隨著循環次數的增加，可靠度的整體趨勢下降，但其可靠度始終位于其磨損可靠性95%的置信區間。在柱塞泵失效之前進行重要零部件的更換，或者進行一定的維修，可以有效延長軸向柱塞泵的壽命，使其具有更高的使用價值。

圖14 缸體磨損可靠性曲線

4 基于疲勞和磨損下的整體可靠性模型

軸向柱塞泵在復雜交變的載荷作用下，載荷、損傷和環境等不確定因素的分散性和隨機性會導致其球面配流副的可靠性呈現很大的分散性，因此從疲勞裂紋和磨損退化兩方面對柱塞泵的球面配流副進行可靠性評估。結合上述對柱塞泵球面配流副疲勞和磨損的研究，為了分析其整體可靠性，將疲勞可靠性和磨損可靠性，即公式(47)和(51)直接相乘并計算仿真，繪制出圖15所示的缸體-球面配流副的整體可靠性變化曲線。圖中可靠性曲線光滑平緩，整體應力循環次數的數量級與疲勞和磨損可靠性中循環次數數量級較低的一致，說明在考慮多種可靠性相結合時，會使得整體可靠性降低。

圖15 整體可靠性

5 結論

(1)考慮了球面配流副間隙的油液、缸體以及傾斜柱塞對球面配流副的作用，建立了配流副受力分析模型。

(2)結合有限元仿真，驗證了缸體的疲勞失效環節，并利用Miner準則進行了球面配流副的疲勞可靠性計算。結果表明：最薄弱環節為高低壓腔孔交界的尖角處，在給定的應力條件下，存活率為50%時，該設備的最低循環次數為4.839×109次，缸體壽命為31 839.52 h，到達最低應力循環次數時可靠性有較為劇烈的下降。因此在最薄弱環節到達使用極限之前進行必要的零部件更換，或者進行一定的維修，可以延長軸向柱塞泵的壽命，使它具有更高的使用價值。

(3)考慮油液、缸體、柱塞對球面配流副綜合作用的情況，采用逆高斯理論計算球面配流副的可靠性，結果表明球面配流副可靠度隨時間逐漸下降，并且其循環次數相較疲勞可靠性的循環次數降低了一個數量級，但球面配流副的可靠性在壽命工作范圍內仍較高，工作質量有保證。

(4)結合疲勞裂紋和磨損退化兩方面對缸體進行可靠性分析，對柱塞泵缸體-配流副的研究更為全面。文中的研究沒有考慮油液泄漏和油液溫度變化帶來的影響，退化數據較少，結果說服力較低，之后會在這方面繼續改進。