數學建模方法在施工管理中的應用分析

宮驚立(安徽三建工程有限公司建設工程研究院，安徽 合肥 230000)

0 引言

數學作為跨越人生教育十年以上的基礎教育學科，其本質是揭示自然界各種量之間的變化關系。數學的誕生和發展就是為了給人類在生產實際中遇到的問題進行解答。隨著計算機分析軟件的迅速發展，數學建模研究不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且迅速向經濟、管理、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等各類領域滲透，數學分析技術正在成為重要工具。但另一方面，在建筑施工決策領域，大部分工程管理人員從一開始就失去了對數學的興趣，認為數學就等于考試，一定程度上阻礙了數學成為建筑企業生產建設決策領域有力分析的工具。

1 淺談數學建模

所謂數學建模，就是把各類應用題細節化、全面化、現實化，運用量與量之間的變化關系去模擬分析事物的變化規律。數學建模思想方法在各生產制造領域的理論研究已經相當成熟，很多政府層面的政策研究和制定就是建立在數學建模的分析上，但在施工管理決策領域，數學建模思想應用還尚未得到應有的重視。相比BIM 技術的實體建模而言，它是一種虛擬的理論建模分析技術，其本質就是根據各類事物的運行規律去挖掘條件，自己提出問題，定量分析得出一定的最優解決方案，當然這對管理分析者的數學功底和邏輯思維水平提出了較高的要求。全國各理工類高校都有數學建模課程的教學，國家每年也舉辦數學建模競賽活動，但數學建模工作似乎只在校園中存在，它往往變成了一種學生裝點在校簡歷的工具，走出校門后很少有人真正堅持把這種思想往生產實踐中去探索推廣并付諸行動。誠然，要做好這一工作絕非易事，它不但需要長期的理論知識學習積累，還需與具體管理實踐相結合，結合建筑施工領域特點，使數學建模可切實地優化生產成本，并為管理決策提供理論層面的指導。

作為工程領域管理者，建模工作的本質僅僅是培養把實際問題翻譯為數學語言的能力，現有的文獻資料對數學建模在各類工程問題上的理論研究都已比較成熟，但絕大部分都是從純數學專業角度去介紹建模方法的，公式參數復雜加上語言晦澀難懂，讓非數學專業出身的人望而生畏，給實際入門學習帶來不小的困難，導致這項具有深刻意義的分析工作無法在實際項目中得到落實推廣。下面針對建筑工程中的鋼筋下料問題，將其中一些復雜的數學理論本質通俗化、簡單化，刪去對生產實際無用的繁瑣概念，用大眾能接受的形式呈現數學建模的用處。

2 鋼筋下料成本優化問題

鋼筋工程作為建筑主體結構的重要組成部分，其成本造價往往能占到整個項目總造價的三分之一以上，因此對鋼筋下料過程加以慎重分析考慮就顯得尤其重要，好的決策安排可以做到最大程度地優化材料成本，為企業節省大量不必要的材料浪費，在數學建模領域解決此類問題的知識點被稱為多元線性規劃（知識點來自運籌學和線性代數）。

2.1 問題定義

鋼筋工程大家再熟悉不過，如針對一道梁，根據圖紙可以算出此梁所需的各類鋼筋工程量（長度），而采購進場的鋼筋都有其固定的長度規格（比如9 米定長一根），而配這道梁所需的鋼筋有很多種長度，那么這里就存在一個問題，即工人下料鋼筋時是怎么拿取原料的。那么有沒有一個可行的決策辦法做到盡量減少鋼筋的浪費？可以這么考慮：例如對一混凝土構件，已算出清單工程量需要1.7m、3.2m、5.5m 和7.6m 四種實際下料長度鋼筋各為100 根、80 根、90 根和60根，現場只有足量的定長9m 鋼筋，到底最少要多少根定長鋼筋可以配好此構件（暫時忽略加工損耗問題）。

每根9m 長鋼筋可以被怎樣切割利用（使切割后的余料盡可能小），可以把各種切割情況一一列舉出來。

下料方案1：每根9m 鋼筋用來下料1根7.6m筋，剩下余料1.4m。

下料方案2：每根9m 鋼筋用來下料3.2m和5.5m筋各1根，剩下余料0.3m。

下料方案3：每根9m 鋼筋用來下料1.7m筋5根，剩下余料0.5m。

下料方案4：每根9m 鋼筋用來下料1 根3.2m 筋和3 根1.7m 筋，剩下余料0.7m。

下料方案5：每根9m 鋼筋用來下料1 根5.5m 筋和2 根1.7m 筋，剩下余料0.1m。

2.2 建模思路

現在每根9m 鋼筋有5 種切割下料選擇（實際工程中鋼筋種類更多，組合方式種類更復雜），靠人工去一一組合枚舉往往無能為力，需要動用分析軟件，市面上主流的數學建模分析軟件有MATLAB 和LINGO，MATLAB 適用于大型綜合問題的編程分析，入門學習和實際推廣難度較大這里不做介紹，只討論LINGO 下面把已列舉的下料方案制成表1。

表1 鋼筋下料切割方案匯總

表2 報告部分數據表

在這個問題中，目標是找到滿足完成工程量的最少定長鋼筋消耗量，而完成工程量所消耗的9m 定長鋼筋總量就是這5 種下料方案分別使用的次數總和（稱為目標函數），這里設下料方案1-5分別使用的次數分別為x1,x2,x3,x4,x5，即x1+x2+x3+x4+x5。

現在有5 種下料方案，那么每種下料方案各使用多少次（或5 種方案不全用，只用其中的某幾個）可完成所需的工作量？這里可以用中小學學過的列方程來表述這一問題，根據所需完成工作量可以列出以下的方程組，

此方程組建立的含義即為所需完成的工程量，1～4 行表示下料方案分別對四種鋼筋所生成的總量，例如第一個方程表示5 種下料方案對1.7m 鋼筋生成的總量：使用x1次下料方案1會形成0根1.7m 鋼筋，使用x2次下料方案2 會生成0 根1.7m 鋼筋，使用x3次下料方案3 會生成5 根1.7m 鋼筋，使用x4次下料方案4 會生成3 根1.7m 鋼筋，使用x5次下料方案5 會生成2 根1.7m 鋼筋，而這些使用次數生成的根數總和應不小于1.7m鋼筋的所需工程量100 根，后三種鋼筋同理。最后行表示這5 類方案使用次數均不為負。

現在這個下料問題就轉化成在x1～x5滿足上面方程組所列的約束條件下，求表達式x1+x2+x3+x4+x5的最小值。這顯然是個五元一次函數求最值問題，若采用筆算則需要數學專業碩士研究生最優化課程相關知識，已經走出校門多年的工程管理者自然沒必要再去學習這些較難的理論，有現成的建模計算器來完成結果運算工作。

2.3 利用分析軟件進行模型求解

所謂模型求解就是從已找出的各變量約束條件下求出問題答案。對于鋼筋這類多元線性規劃函數問題，通常使用LINGO 軟件進行模型求解（LINGO 專門為求解線性/非線性規劃函數最優化問題開發）。

LINGO 對于求解一般線性規劃問題容易上手，沒有復雜的編程語法語句，基本上和使用計算器輸入差不多，打開軟件進入輸入主界面就可以直接按照數學式的書寫樣式輸入方程組的各行。此問題的輸入代碼如圖1 所示；注意這里是求x1+x2+x3+x4+x5的最小值，稱為目標函數放在第一行，前面加上“min=”。代碼最后一行的“@gin（）”字符串的含義是定義自變量為非負數。輸入完畢后點擊上方工具欄中的“solve”按鈕即可對模型進行求解，結果輸出如圖2所示，下面將對求解結果文本做一個全面解釋。

圖2 LINGO12.0模型求解結果報告

2.4 查看求解結果、分析問題

對其結果報告進行分析，并根據報告做出科學合理的管理決策。

結果報告第一行英文意為已找到全局最優解（全局最優解是數學優化分析的專業概念，在鋼筋工程優化問題上不必關注）。第二行“Objective value（目標值）”即為建模問題答案，本鋼筋下料問題的最優解是完成這一工程量最少需消耗166 根9m 的定長鋼筋，也就是在生產實際中任何使用了超過166 根鋼筋的行為都必存在不合理的材料浪費，管理者可根據建模求解結果制定現場定量包干包料制度，最大程度的做到節約材料成本。光知道一個結果還不夠，還需進一步觀察分析各個變量的具體屬性。對于鋼筋下料工程需重點關注以下部分數據。

前面的Variable 意為全部變量，下面的X1～X5的值即為取得目標最優值時（鋼筋消耗最小時）5 個切割下料方案各自的使用次數。后面的Reduced Cost欄數據的實際意義是各變量的取值對目標函數值的影響程度大小，通俗地說就是哪個變量最重要，對建模結果的影響最大?？梢钥吹絏1～X5 的Reduced Cost 全為1，說明5 種切割下料方案對建模最終結果的影響程度是相等的，在實際工程中鋼筋種類繁多下料方案也更多，各方案的Reduced Cost 值不盡相同，應特別關注那些Reduced Cost值較高的變量，它們往往對問題結果的影響很大，在管理中應予以重視。另外結果中可以看到達到最優解時第3 種下料方案的使用次數為0 且Reduced Cost 值為1，說明這種下料方式不宜采用，而生產實際中這種單獨把定長鋼筋斷為多段小鋼筋往往是構件箍筋的下料做法，理論證明這種下料模式達不到鋼筋用量的最小化，應采取與其它型號鋼筋混合下料的方式。

最后對比一下如果不用數學建模方法，隨意采取一個下料方案和建模分析的方案結果有什么不同，假設對1.7m筋，用9m 定長筋下料5 根，總鋼筋消耗量為100/5=20 根。對3.2m 和5.5m 筋合并用9m定長筋下料需消耗90根。對7.6m 筋需消耗9m 定長筋60 根?？傆嬒?0+90+60=170 根，比建模分析的結果（166 根）多消耗4 根，足足36m 長，如果現場實際中再不仔細做好剩余料筋的合理利用工作，僅一個構件就有如此的差距，整個項目整個企業的龐大鋼筋工程量造成的消耗差距可想而知。

當然，不管使用什么技術都只是一種輔助手段，最關鍵的是真正在生產實際中推廣落實。像以上的建模問題，要真正落實需要改變鋼筋工的下料習慣，并提前說明加上包料監督，這往往需要時間并且存在一定的難度，這對企業的管理水平和力度提出了新的高度要求。

3 結語

目前數學建模在建設施工領域的理論研究成果已經非常廣泛，涉及土方工程、現場放線、鋼筋下料、塔吊布置、施工方案比選、建設投資預測等很多方面。尤其是鋼筋下料問題，其理論背景容易學習理解，并且可和算量軟件一樣發展為成熟模塊化工作。然而這些研究成果很少真正應用在實際項目中。在建筑業市場競爭日益激烈及綠色建造+雙碳目標要求日漸嚴格的環境下，尋求更加科學先進的創新管理方法已成為建筑企業發展的必修課，數學建模研究推廣不失為一個非常好的創新發展方向，它更是建筑企業科研項目課題的有力分析工具，建筑企業科研技術部門應予以特別重視，注意培養相關科研人員的數學思維和建模素養。