巧用振幅矢量法求解簡諧運動的時間

陳 龍 劉欽釗 馬仕彪

(安徽省濉溪中學,安徽 淮北 235100)

在高中物理中,能精確求解時間的運動過程并不多,常見的是勻速直線運動和勻變速直線運動。對于變加速直線運動偶爾也可以通過特殊方法求解,比如在機車啟動過程中可以利用牽引力做功等于恒定功率乘以時間來求解,在電磁感應現象中可以利用動量定理來求解。對于變加速運動求時間的問題,原則上都可以利用微積分求解,這種方法對學生的數學要求較高。如果利用簡諧運動的知識,很多變加速過程的時間問題都可以相對容易地得到解決,而不必借助微積分。

但是對于簡諧運動,高中階段也大多考查與周期等相關時間的求解,如果將簡諧運動與旋轉矢量相結合,簡諧運動中任意過程的時間都可以求解。

1 簡諧運動和振幅矢量法

物體在平衡位置附近的往復運動稱為振動。從力的角度來說,物體之所以在平衡位置附近做往復運動,是因為它離開平衡位置后會受到一個指向平衡位置的力,這個力稱為回復力。如果回復力的大小與物體相對平衡位置的位移成正比,且始終指向平衡位置,用公式表達為:f=-kx,其中負號表示回復力和位移的方向相反,k為比例系數,這種回復力稱為線性回復力,此時物體的振動為簡諧運動。

如圖1所示,水平放置的輕彈簧一端固定,另一端與滑塊相連,置于光滑水平面上,彈簧無形變時物塊處于O點,將其移動至a點由靜止釋放,滑塊開始做變加速運動,從a點開始通過O點到達a′點,然后又經過O點回到a點,此后重復上述運動過程。a點和a′點到O點的距離相等,這個距離稱為簡諧運動的振幅,記為A,它對應物體離開平衡位置的最大位移。從a→O→a′→O→a,這個往復過程具有周期性,周期為T。物塊在位移x處,彈簧彈力與位移的關系為:f=-kx,其中k代表彈簧的勁度系數,負號代表彈簧彈力與位移方向相反,可見彈簧振子滿足做簡諧運動的條件。

圖1

圖2

旋轉矢量的角速度對應簡諧運動的角頻率,旋轉矢量在計時開始時與x軸的夾角對應于簡諧運動的初相位,旋轉矢量的長度對應于簡諧運動的振幅。因此任意一個簡諧運動都與一個上述的旋轉矢量相對應,簡諧運動的任意一個位置都與旋轉矢量圓上的點相對應,這種處理簡諧運動的方法叫作振幅矢量法。如圖3所示,在物體做簡諧運動的過程中,經過的點分別與圓上的點對應。利用這種方法可以很直觀地描述簡諧運動,便于解決問題,特別是當問題所對應的簡諧運動過程不是四分之一周期的整數倍時,時間的求解就會變得非常直觀、簡單。

圖3

2 振幅矢量法的應用

例1:物體從傾角為θ的斜面頂端由靜止開始下滑,動摩擦因數從頂端到底端按照μ=kx變化,且物體未到達底部前已停止運動,求物體從開始到停止運動所經歷的時間。

圖4

圖5

例2:勁度系數為k的輕彈簧豎直固定在水平桌面上,將小球放于彈簧上端,靜止時彈簧的壓縮量為x1。按壓小球使彈簧繼續被壓縮,壓縮的距離為x2,且x2>x1然后松開,求小球上升到最高點所需時間。

圖6

圖7

點評:小球和彈簧構成了豎直方向的彈簧振子,小球做簡諧運動。但是從小球開始運動到脫離彈簧,整個過程大于四分之一周期而又小于半個周期,無法用常規的方法求解時間。利用旋轉矢量圓,時間的求解就轉化為旋轉矢量轉動角度的求解。

例3:輕彈簧勁度系數為k,一端固定在墻壁,另一端連接質量為m的物塊,物塊與桌面間的滑動摩擦力為f。開始時彈簧處于自然長度,物塊的初速度為v0,從開始壓縮彈簧到速度為零用時為t1,接著從速度為零到再次恢復原長用時為t2,求t1和t2。

圖8

圖9

圖10

點評:相比于例2,例3中物塊的平衡位置在改變,這是因為物塊在左、右運動時所受滑動摩擦力的方向發生了變化,所以本題的關鍵是確定好這兩個不同的平衡位置,以及由于不同的平衡位置所導致的不同振幅。

綜上所述,只要我們能夠確定物體的運動是簡諧運動,結合振幅矢量法,很多常規方法很難處理的時間、速度等問題都可以輕松求解。