一個時間分數階擴散方程的精確解和動力學性質

黎超玲，趙云梅

(1.重慶師范大學數學科學學院，重慶 401331；2.紅河學院數學與統計學院，云南蒙自 661199)

1695 年，洛必達在給萊布尼茨的信中問道：當n階導數中的階數為這樣的分數時，導數怎么計算？有什么意義？自那以后，通過好幾代數學家們的共同努力，并且經過300 多年的不斷發展，分數階微積分理論終于被逐步地建立起來了，而且分數階導數的定義也多達一二十種.相比于整數階微積分，分數階微積分的發展比較緩慢，主要是因為分數階導數它沒有一個像整數階導數那樣的統一定義，而且早期的分數階微積分理論也沒能夠與實際的應用背景相結合.自上個世紀60 年代以來，后面這種情況得到了極大的改善，人們逐漸發現一些自然現象，如反常擴散現象、記憶現象、粘彈性問題等均可以用分數階微分模型來描述，而且其精準度往往優于整數階微分模型.從而，分數階微積分理論在應用方面得到了快速的發展.如今，分數階微積分理論已經廣泛涉及到許多自然科學領域和工程技術領域，如在熱傳導技術領域、粘彈性材料性能研究領域、生物科學研究領域、信號處理技術領域以及磁力學研究領域等[1-16].然而，跟整數階非線性微分方程的求解相比，分數階非線性微分方程的求解就顯得十分地困難，這是因為整數階非線性微分方程領域的一些有效方法無法直接地應用到分數階非線性微分方程的求解中去，因此即便是一些非常簡單的分數階非線性微分方程，人們也很難獲得其精確的解析表達式.

最近，文獻[17]中，Sahadevan 和Prakash 用不變子空間法[18,19]研究了下列時間分數階擴散方程：

其中u=u(x,t),0 <α<1,κ,δ為任意非零常數，為Riemann-Liouville 微分算子.在文獻[17]中，Sahadevan 和Prakash 只有獲得方程(1)的一個精確解.在本文中，我們將利用Rui在文獻[20,21]中提出的半固定式變量分離方法與動力系統方法相結合的方式，重新研究方程(1)的精確解，將獲得更為豐富的結果.

1.擴散方程的約化以及相應的非線性平面動力系統

本節，我們通過半固定式變量分離的方法，將方程(1)約化成一個非線性平面動力系統，然后討論該系統的相空間結構以及相應的動力學性質.

設方程(1)的解為:

其中v=v(x)為x的待定函數，γ為待定常數.把(2)代入(1)得：

由(4)解得：

其中是一個參數.通過變換式(8)可以將奇異系統(7)簡化為以下規則的平面系統：

無論函數v如何變化，此時方程(6)和系統(9)是等價的.顯然，系統(7)和 (9)具有相同的首次積分.當δ≠-κ2 時，首次積分為：

這里h是一個積分常數.為了便于后面的討論，我們將方程(10)和(11)改寫成如下的形式：

根據平面動力系統理論，我們有以下兩個引理:

引理1.設(vi,0)為系統(9)的任意一個平衡點，那么下列結論成立：

(i) 若平衡點的雅克比行列式值J(vi,0)<0,則該平衡點為鞍點；

(ii) 若平衡點的雅克比行列式值J(vi,0) >0且traceM(vi,0)=0,則該平衡點為中心點；

(i) 若a=b,則微分方程(6)的解v(x)是具有孤立波形狀的同宿解；

(ii) 若a≠b,則微分方程(6)的解v(x)是具有扭結或反扭結形狀的異宿解.

根據平面動力系統理論的相關知識可知，平面相圖軌道分布中軌道的走向與分布取決于系統平衡點的類型，從而決定了方程(6)的解的不同類型與動力學行為，同時也確定了原方程的解的類型和動力學性質.

由上面的信息和引理，很容易看出系統(9)的平衡點O(0,0)可能是尖點或高階平衡點，由于J(0,0)=0并且平衡點指數也為零，根據平衡點的特征，我們下面分別對當δ≠-κ2 和δ=-κ2 時繪出平面系統(9)的相圖，并對方程(6)的解進行討論.為了方便查看圖形，在下面的圖形（圖1～圖3）中，用黑色線條標記h=0定義的軌道，用紅色線條標記h>0定義的軌道，用藍色(或綠色)線條標記h<0定義的軌道.

圖1.當δ≠-κ2 時，系統(9)在κδ>0時的平面相圖（原點為尖點的情況）

2.擴散方程的各種精確解

根據上一節的分析，我們通過沿相圖中相應軌道積分的方法來獲得擴散方程的精確解.

當δ≠-κ2 且h=0時，由方程(10)定義的黑色軌道的表達式可化為：

取原點為初值點，將(18)式代入(7)的第一個方程后沿軌道進行積分，可得到：

完成(19)式的積分，可得常微分方程(6)的一個無界解：

將（20）和（5）式代入（2）式中，可得到方程（1）的一個精確解：

其中(21)是一個無界且隨時間增加而衰減的解，顯然當t→∞時，u→0.

當h<0,?0κ>0且δ=-κ時，系統(9)有無窮多個用藍色（或綠色）標記的閉軌道，如圖2（a）和（b）所示.在這種情形下，方程(10)可簡化為：

圖2.當δ≠-κ2 時，系統(9)在κδ<0時的平面相圖（原點為高次平衡點的情況）

求解(23)，我們得到常微分方程(6)的兩個周期解族如下:

將上述兩個周期解和(5)代入(2)中，我們可得到方程(1)的兩個具有周期性質的解:

盡管解(24)和(25)是兩個周期解，但是解(26)和(27)卻不是周期解，而是兩個具有周期特征且隨時間增加而衰減的解，當t→∞時，u→0.分數階微分方程一般沒有周期解，文獻[22,23]中的研究表明，線性的分數階動力系統不存在周期解.

對(30)進行積分，可得到常微分方程(6)的周期解如下:

這里δ=-κ2 滿足圖3(a)和(b)的條件，因此兩個圖中的軌道可以由(38)式定義，但這里無法通過(39)的積分計算出方程（6）的精確解，但是可以獲得它的數值解，這里就不介紹了.

圖3.當δ=-κ2 時，系統(9)的平面相圖（原點為高次平衡點的情況）

為了能夠直觀地展示上述解的動態特性，作為例子，分別繪制了解(21)（26）（27）和(32)的三維坐標圖形,見圖4(a)（b）（c）和（d）.從圖4可以看出，擴散現象是隨著時間的增加而衰減的，大部分情況下，擴散現象在橫向上發生周期性的振蕩，但擴散物濃度（或熱量）整體上隨著時間的增加而衰減.

圖4.解(21)（26）（27）和(32)的三維坐標圖形