基于APOS理論的概念教學設計探究*
——以“指數函數的概念”為例

? 哈爾濱師范大學教師教育學院 于沛琳 陳建強

由于概念本身的抽象性會導致學生學習難度增大,且數學概念的學習效果與學生在課堂上的主觀能動性和主體地位息息相關,因此教學中要以學生的發展為出發點,探索高效的教學模式.本文中以“指數函數的概念”為例,結合APOS理論進行教學設計的探究.

1 APOS理論

APOS由Action,Process,Object和Schemas的首字母縮寫組成,它最初是由美國學者埃德·杜賓斯基在皮亞杰的反射抽象概念基礎上發明的.APOS理論指出,個體通過活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段四個環節,來掌握數學的基本原則,從而形成一個完整的、有機的、有意義的、有系統的、有規律的數學思維模型.

APOS理論是一種從學習者的角度分析學習者如何階段性地學習概念的學習理論.學習者的學習過程一般要經歷APOS理論的前三個階段.通過前三個階段和其他與模式相關的數學概念的構成形成圖式,達到對問題情境內外的概念的理解.

如圖1,活動階段是個體將對象轉換為外部對象,需要逐步說明如何執行活動.通過對活動的反思,人可以將活動內化,并進行稱之為過程的內部心理建構,個人可以在沒有外部刺激的情況下進行轉變.當個體將過程抽象為一個整體并且可以對這個過程執行轉換時,即構造了一個對象.最后,圖式是個人的活動、過程、對象和其他圖式的集合,這些圖式由一些一般原則聯系起來,在個人的頭腦中形成一個連貫的框架.四個階段的教學應該有條不紊,逐步深入,不可跨越.也就是說,教學不應該局限于具體的、直觀的階段,而應該通過深入的思考和實踐,將數學概念轉化為抽象的的知識.

圖1

2 基于APOS理論的概念教學設計

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在指數函數的教學提示中指出:“指數函數的教學,應關注指數函數的運算法則和變化規律,引導學生經歷從整數指數冪到有理數指數冪、再到實數指數冪的拓展過程,掌握指數函數的運算法則和變化規律.”

2.1 教材內容與分析

在必修一人教A版第四章第二節“指數函數”第一課中,指數函數被視為一類關鍵的初等函數,它不僅可以幫助學生掌握對數函數和等比數列的基礎概念,還可以利用這些概念的學習更好地理解和掌握相關基礎概念.

2.2 學情分析

學習指數函數的過程可以說是一個漫長而復雜的過程,因為需要從初中就開始積累函數的基本概念,需要對函數進行更加系統的分析,以及更好地理解函數的特征、運算規律與變換規律,這樣才能更好地掌握指數函數,培養創新意識,以及思考、分析、總結的能力,提升自身的綜合素養.

2.3 教學重點及難點

重點:深入研究指數函數的定義、特性,以及在實際應用中的具體表現.

難點:指數函數模型的理解.

3 教學過程

3.1 活動階段(Action)——創設情境,激發想象

“指數函數的概念”的內容相對比較抽象,因此傳統教學的重點一直放在如何讓學生初步理解指數函數的概念之上,只有理解了指數函數到底是什么,學生才有可能將其與圖象、性質等內容結合起來.在活動階段,讓學生動手參與活動,比如,拿一張1 mm厚的紙,通過反復折疊分析折疊次數和折疊后紙張厚度的關系,進而真切感受函數的存在.通過直觀感受和思考,學生很容易在活動階段就獲得對指數函數的概念的初步認知,具備進入過程階段的基礎.

活動1:把一張1 mm厚的紙對折1次,可以得到紙張的厚度為2 mm,對折2次得到紙張的厚度為4 mm,對折3次得到紙張的厚度為8 mm,如此下去,設第x次對折得到的紙張的厚度為ymm.

問題1紙張厚度y與對折次數x的函數關系式是什么?如何描述這兩個變量之間的關系?

預設:y=2x.

活動2:當生物死亡后,它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率),若年衰減率為p,把剛死亡生物體內碳14含量理解為1.

問題2死亡生物體內碳14的含量y與其死亡年數x存在什么樣的相關性?

預設:y=(1-p)x(0

設計意圖:一開始,就清楚地指出要研究的是函數變量之間的相互影響.學生可以通過分析函數變量之間的關系,來理解指數函數的形成規律.

3.2 過程階段(Process)——抽象本質,初步概括

過程階段是掌握概念的關鍵階段.這一階段中學生需要經過反思活動、抽象分析過程、組織數學語言、形成數學概念這四個環節,因此,要給學生足夠的思考時間.比如,在活動階段,學生經歷折紙活動之后進行思考,探究折疊后紙張的厚度和折疊的次數之間的抽象關系,并將這種抽象關系用數學語言表示出來,這一系列的過程就是對指數函數本質概念的思考過程.一旦學生思考完畢,就可以形成自己的數學概念.由于學生在接觸指數函數之前己經有一定的函數基礎,因此在思考的過程中能夠比較容易提煉出其中的數學關系.此時,教師應當積極鼓勵學生進行歸納,可以采用列表法(如表1,表2)幫助學生提煉數學概念.

表1 折疊次數x與紙張厚度y之間的關系

表2 死亡年數x與死亡生物體內碳14含量y之間的關系

問題3由示例得到的兩個關系式y=2x(x∈N)和y=(1-p)x(0

預設1:是函數.

預設2:不是函數.

師:經過仔細觀察,我們可以發現對于任意一個x是都有唯一的y與之相對應,所以它們是函數.

設計意圖:幫助學生理解并應用所學的知識,從而更好地掌握函數的概念和應用,并能夠輕松地推斷出相關結果.

問題4這兩個函數表達式有什么共同特征?

預設:這兩個函數表達式的未知量x都在指數的位置.

師:非常好.我們通常把未知數x出現在指數位置的函數表達式稱為指數函數.

設計意圖:通過對比觀察,探究指數函數的各種特性,學生可以更好地理解它們的整體性質.

通過對比兩個函數表達式,幫助學生更好地理解它們之間的差異,從而順利歸納總結出指數函數的一般表達式.

問題5如何用一般形式來表達剛才提到的函數?

預設:y=ax.

設計意圖:通過對指數函數的深入研究,學生可以更清晰地理解其一般形式,從而更好地掌握指數函數的基本概念.

3.3 對象階段(Object)——加強鞏固,概念深化

當學生能夠自由地把“過程”作為一個整體進行轉換和活動的時候,就已經進入到了對象階段.在“活動”和“過程”的基礎上,“對象”的出現,使得抽象的概念得到了具體的表達,并且變得更加形式化、精確,從而讓學生能夠更好地掌握與之相關的數學運算.

問題6指數函數y=ax中的底數a的取值是否受到限制?a取任何數都可以嗎?

引導學生對底數a分三種情況進行討論:

(1)若a<0,會有什么問題?

(2)若a=0,會有什么問題?

(3)若a=1,又會怎么樣?

(2)若a=0,x>0時,ax=1,x≤0時,ax無意義.

(3)若a=1,ax=1是常量,沒有研究的必要.

設計意圖:通過數形結合和小組討論,幫助學生關注并思考底數的取值范圍,并通過實際操作來驗證結論,最終得出底數的取值范圍是a>0且a≠1.

3.4 圖式階段(Schemas)——初步建構,形成圖式

對象階段只是意味著學生對于指數函數相關知識的掌握,而對相關知識的運用才是教學的最終目的.知識的靈活運用需要學生將指數函數的知識與自己原有的函數知識體系統一起來,形成一個初步的概念圖式.這樣學生在之后遇到任何與指數函數相關的問題,都會首先考慮這些問題與自己的圖式是否有相似之處,是否能夠利用自己的圖式來解答這一問題.因此,在圖式階段,教師需要用具體的實例來幫助學生強化運用能力.

在這個階段,我們的目標是幫助學生從已有的認知結構中提取出新的概念,并幫助他們建立綜合的心理模型,擴展這些概念的范圍,以便更好地理解和運用新的知識.在這個階段,一方面通過綜合訓練,幫助學生將新的概念與他們現有的認知結構聯系起來,進行綜合思考;另一方面通過課堂總結,幫助他們使用簡單的思維導圖或結構圖來鞏固對新概念的定義和本質特征的理解.

例1判斷下列函數是否為指數函數:

(1)y=2x; (2)y=(-2)x;

(3)y=2x+1; (4)y=2-x; (5)y=2x+1.

例2已知指數函數f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(3)=π,求f(0),f(1),f(-3)的值.

通過深入研究發現,圖式階段不僅是將概念應用到現實世界的過程,而且還能幫助學生更好地掌握指數函數的知識及應用.

APOS理論的四個步驟可以幫助我們更好地掌握數學知識,從而更好地運用它們解決問題.使用APOS理論來指導數學課堂,除了充分利用具體的案例幫助學生掌握指數函數的定義外,還需根據課堂的具體情況,充分發揮APOS理論的優勢,靈活運用,進而更好地指導學生的學習.