求簡單多面體外接球的兩妙招

? 陜西省西安市田家炳中學 田向紅

簡單多面體外接球問題是高考中的重點和難點問題,近年來在高考考查中呈上升的趨勢,涉及到的題型主要是求多面體外接球的表面積、體積以及球心到指定截面的距離等問題.

1 考情分析,明析方向

通過表1對2016-2023年全國卷高考試題進行分析,發現關于棱錐(臺)的外接球問題基本上每年都會出現,題型集中在選擇題、填空題.試題有一定的綜合性,高考命題的角度主要有:求三棱錐(臺)外接球的體積、表面積以及球心到某個截面的距離等問題.解決此類問題的實質是通過化歸與轉化思想,最終轉化為求外接球半徑R.這類題能有效培養學生的空間想象能力、邏輯推理能力和數學思維品質,更好地加強學生直觀想象、數學建模、數學運算等數學核心素養的落實.

表1 考情分析

2 妙招展示,解類旁通

下面給出求簡單多面體外接球的兩個妙招.

妙招一:找支架

所謂找支架,就是把所給幾何體補形為一些比較容易求出外接球半徑的幾何體.該方法也叫補形法,適用的幾何體主要有正方體、正四面體、長方體、墻角型三棱錐(三條側棱兩兩互相垂直).求解此類題的要點是,正方體和長方體的體對角線為其外接球的直徑.

引例已知長、寬、高分別為3,4,5的長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點都在同一球面上,求該球的表面積.

解析:如圖1,設該長方體的體對角線長為l,外接球的半徑為R,則l=2R,則l2=32+42+52=50=4R2.

圖1

故球的表面積S球=4πR2=50π.

圖2

點評:該題既考查了多面體外接球半徑的求法,又很好地滲透了數學文化知識,可謂一舉兩得.

解析:由于給出的三棱錐滿足對棱相等,因此可將該三棱錐補形成為長方體,則只需要計算長方體的體對角線長即可.

如圖3所示,設該長方體的長、寬、高依次為a,b,c,其外接球的半徑為R,則

圖3

整理,得a2+b2+c2=29.

點評:這道題如果放到新課中學習,相信會難倒一大片學生,但放到高三復習備考,學生有了一定的知識積淀,很多學生會聯想到補形法,問題便可迎刃而解.

妙招二:交軌法

交軌法:簡單多面體外接球的球心是過各截面外接圓圓心,并且與各截面垂直的直線的交點.使用交軌法,先定截面圓圓心,再定球心,利用球的半徑、截面圓的半徑及球心到截面圓圓心的距離,構造直角三角形求解.

特別要注意的是:

(1)對于直棱柱或側棱垂直于底面的錐體,找出底面多邊形外接圓的圓心O1,其球心O在過點O1垂直于底面的直線上,且OO1的長度為側棱長的一半.

(2)若棱錐的頂點構成共斜邊的直角三角形,則斜邊的中點就是球心.

例3直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面積.

解析:如圖4,設△A1B1C1的外接圓半徑為r,圓心O1直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R,球心為O.

圖4

故外接球的表面積S球=4πR2=20π.

點評:此題用交軌法確定球心,思路流暢,運算簡潔,很好地滲透了直觀想象、數學運算等核心素養.

例4(2023年全國乙卷文16)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=______.

圖5

點評:解決此題的核心是明確OO1⊥圓O1,因為球心是過各截面外接圓圓心,并且與各截面垂直的直線的交點[1].

3 變式拓展,融會貫通

4 總結提升,精準備考

對于截面是一般三角形的問題,先利用正弦定理

對于簡單多面體的外接球問題,只要掌握上述兩個妙招,有關外接球的問題便可迎刃而解.