巧用導數定義求解一類含參問題*

? 福建省同安第一中學 范丹妮

1 引言

函數與導數是高中數學的重要內容之一,對函數與導數的學習與研究,能培養學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養,同時也向學生滲透方程與函數、化歸與轉化、分類討論、數形結合等重要的數學思想.縱觀近幾年的高考數學試題,壓軸題通常是考查函數與導數,而且含有參數的題型更是熱點[1],這類問題綜合性強、難度高,學生不易掌握.目前,解決含有參數問題的常見方法主要有分類討論法、分離參數法、數形結合法等[2].根據筆者平時教學工作中的觀察發現,學生對于含參數問題的討論常常找不到分類的標準,無從下手,或者是分類重復、缺漏,導致失分,故解這類題時學生往往更喜歡選擇分離參數法,然而該法在解題中有時也會碰到一些問題.本文旨在通過典型例題的對比解析,以期為學生在遇到相關的含參問題時提供解題思路參考.

2 典例解析

例1已知函數f(x)=lnx+a(x-1)2(a∈R),當x≥1時,f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,求a的取值范圍.

解法1:分離參數法.

當x≥1時,f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,即x≥1時,2a(x-1)≤lnx+ex-e恒成立.

①當x=1時,0≤0顯然成立.

對g(x)求導,得

解法2:分類討論法.

由題意得,當x≥1時,lnx+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.

故h′(x)≥h′(1)=1+e-2a.

點評:該方法條理清晰,分類不重不漏,討論有理有據,但實際情況是讓學生給出這樣的解答并不容易.對于高三第一輪復習中的學生來說,當一次求導不能解決問題,尚能想到二次求導,而該題的難點在于求導之后對參數的分類討論.

解法3:導數定義法.

由解法1可知g(x)在(1,+∞)上單調遞增.

點評:在解法1的基礎上分離參數后,具有導數定義式特征的函數,如果最值點取不到,可以巧用導數的定義和幾何意義求出極限值.

例2(2017年全國卷Ⅱ)已知f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.求a的值.

解法1:分離參數法+導數定義法.

f(x)的定義域為(0,+∞).由題意,知f(x)=ax2-ax-xlnx≥0,即a(x-1)≥lnx.

②當x=1時,0≥0顯然成立.

令g(x)=x-1-xlnx,則g′(x)=1-lnx-1=-lnx.當00,g(x)單調遞增;當x>1時,g′(x)<0,g(x)單調遞減.所以g(x)max=g(1)=0,故g(x)≤0恒成立,從而h(x)在(0,1)上單調遞減.然而x=1時,h(x)的分母無意義.

綜上可知,a=1.

點評:導數的定義和幾何意義在求解極限時具有獨特的不可替代的作用,給原本看似走到絕境的解答迎來了柳暗花明.有些問題并非只能借助高等數學的洛必達法則.該解法巧妙地回歸了課本導數的概念及其幾何意義,避開了洛必達法則.實用性在于分離參數時若出現分母分子均為0的形式,我們又多了一條解決策略.

3 結語

學無止境,數學的世界更是充滿了無限的奧妙,關于利用導數定義解決含參問題還有待深入研究.數學含參問題變化多端,需要靈活多變地采取應對策略,這就需要我們平時注重培養數學思維,以及剖析關鍵問題、靈活轉化問題的能力,以便在遇到含參問題時能更高效地解題.