求離散型隨機變量的均值與方差的四種方法

? 甘肅省白銀市第一中學 姜 雪

離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點.均值或數學期望,反映了離散型隨機變量取值的平均水平,方差或標準差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度,均值與方差是隨機變量的兩個重要的數字特征.求離散型隨機變量的均值與方差有定義分析法、性質求解法、圖象轉化法、特殊分布法四種方法.

1 定義分析法

ξi-101P14pi1-14pi-pi4pi4

A.D(ξ1)>D(ξ2) B.D(ξ1)

C.E(ξ1)>E(ξ2) D.E(ξ1)

分析:先求數學期望,再求方差,最后根據方差函數確定單調性.

解:根據分布列,可得

例2(2022·浙江湖州市菱湖中學模擬預測)設0

X012P2-a313b

則當a在(0,1)內增大時( ).

A.D(X)增大 B.D(X)減小

C.D(X) 先減小后增大 D.D(X)先增大后減小

分析:根據隨機變量分布列的性質,結合方差的公式,將方差用參數a來表示,應用二次函數的性質研究方差隨a的變化而增大或減小的規律.

因為0

評注:利用定義法解決此類問題易出現的錯誤有兩點.一是數學期望、方差以及二者之間的關系掌握不牢,無從著手;二是計算能力差,不能正確得到二次函數表達式.

2 性質求解法

利用離散型隨機變量均值、方差的性質求均值、方差,所用到的性質主要有:E(C)=C(C為常數);E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數);E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);如果X1,X2相互獨立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2),D(X±Y)=D(X)±D(Y);D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

例3設隨機變量X的分布列為

X-202P0.40.30.3

求D(X).

解:E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2.

又由隨機變量期望的公式,有

E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8.

故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.8-0.04=2.76.

例4一次測驗由25道選擇題構成,每題選對得4分,不選或錯選得0分,滿分100分.某學生選對任一題的概率是0.8,求該生在這次測試中成績的方差.

分析:由于每題選對得4分,故4乘選對的選擇題個數就是該生在這次測試的成績.

解:設選對的選擇題個數為ξ,則測試的成績為4ξ.

于是E(4ξ)=4E(ξ)=4×25×0.8=80,D(4ξ)=42D(ξ)=16×25×0.8×(1-0.8)=64.

故該生在這次測試中成績的方差為64.

評注:在該題中,測試成績4ξ被稱為是“復合型”的隨機變量.運用方差的運算性質去計算方差時,要把握好兩點.其一要記準方差有哪些性質;其二要判斷選取哪個變量為獨立的隨機變量,然后“復合”成所要求的隨機變量,這是最為關鍵的一步.

3 圖象轉化法

正態分布是自然界最常見的一種連續型概率分布,又稱為常態分布,許多分布都可以用正態分布來近似描述.與其相關的試題背景新穎、生活氣息濃厚,也倍受命題者青睞.

例5設隨機變量X～N(3,1),若P(X>4)=p,則P(2

分析:根據題目中“正態分布N(3,1)”,畫出其正態密度曲線圖(如圖1).根據對稱性,由P(X>4)=p可求P(2

圖1

解:因為X～N(3,1),所以觀察圖1可得P(24)=1-2p.

故選:C.

評注:X～N(μ,σ2)正態曲線關于直線x=μ對稱,且概率的和為1,在關于直線x=μ對稱的區間上概率相等.

例6(2022·新高考Ⅱ卷第13題)已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),且P(22.5)=______.

解:因為隨機變量X～N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5.因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2

評注:借助正態分布曲線直觀分析出曲線關于直線x=2對稱,得出P(X>2.5)與P(2

4 特殊分布法

利用常用特殊分布求有些實際問題中隨機變量X的均值與方差時,可首先分析X是否服從二項分布、超幾何分布等常見的典型分布,若是,可直接利用特殊分布的均值、方差公式求得.

例7(2022·新華區模擬)已知袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球,現從中有放回地摸球8次(每次摸出一個球,放回后再進行下一次摸球),規定每次摸出紅球計3分,摸出白球計0分,記隨機變量X表示摸球8次后的總分值,則D(X)=( ).

分析:此題中隨機變量X服從二項分布,利用二項分布方差公式即可求解.

又X=3Y,根據方差的性質,可得

故選:D.

評注:若離散型隨機變量X～B(n,p),則E(X)=np,方差公式D(X)=np(1-p).

分析:此題中隨機變量多服從超幾何分布,利用超幾何分布期望公式即可求解.

故選:C.