信道縮短和基于編碼信道縮短

摘要：本文對比研究了信道縮短（Channel Shortening， CS）和基于編碼信道縮短（Code based Channel Shortening， CCS）兩種方法，發現它們在轉移概率函數上具有不同的特點。通過比較符號間干擾信道的最小歐式距離（Minimum Euclidean Distance ， MED）和可達信息速率（Achievable Information Rate， AIR），，找到了超奈奎斯特（Faster-Than-Nyquist， FTN）系統的可靠性能指標。在優化步驟方面，FTN-CCS先優化外碼再優化內碼，而FTN-CS先優化內碼再優化外碼。在保持相同頻譜效率（Spectrum Efficiency， SE）的條件下，比較了基于CS和CCS的FTN的AIR和BER性能。研究發現，在均衡復雜度相同或更低的情況下，FTN-CS比FTN-CCS具有更好的性能。

關鍵詞：信道縮短；編碼信道縮短；超奈奎斯特；歐式距離；可達信息速率

到2025年，全球將有三分之一的人口使用5G網絡。然而，隨著虛擬/增強現實、自動駕駛、物聯網和無線回傳等新應用的興起，人們需要比5G網絡更高的數據速率[1]。為了提高頻譜效率（Spectrum Efficiency，SE），超奈奎斯特（Faster-Than-Nyquist，FTN）將壓縮相鄰成型脈沖的傳輸間隔。然而，FTN傳輸違背了奈奎斯特定理，會造成符號間干擾（Inter-Symbol Interference，ISI）。由于嚴重的ISI會導致高復雜性傳輸，所以傳統的FTN傳輸方法沒有被廣泛使用。

對于FTN傳輸，基于最大后驗概率（Maximum Posterior Probability，MAP）準則的時域均衡復雜度為O（ψL），其中ψ表示星座圖的星座點數，L表示ISI長度。當FTN的ISI長度很大時，傳統BCJR均衡算法將由于高復雜度失去實用性。為了降低均衡復雜度，線性預均衡（Linear Pre-Equalization，LPE）[2]方法將FTN傳輸等效為Nyquist正交傳輸。但是當壓縮因子τ＜1/（1+β）時，其中β表示根升余弦（Root Raised-Cosine，RRC）的滾降因子，LPE方法將失效。為了降低復雜度[3]，提出了基于最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）準則的頻域均衡（Frequency-Domain Equalization，FDE）方法。盡管MMSE是次優準則[4]，但FDE無法可靠檢測到高速FTN，而時域均衡在這方面則表現良好[5]。

信道縮短（Channel Shortening，CS）方法通過減小時域均衡的ISI長度L降低MAP均衡的復雜度。Falconer和Magee在文獻[6]中提出了CS方法，文獻[7]則對一般線性信道進行了改進。為了進一步降低均衡復雜度，文獻[8]提出了基于編碼的信道縮短（Code based Channel Shortening，CCS）方法。然而，縮短CS或CCS的ISI長度可能會帶來性能損失，因此需要在復雜度和性能之間進行權衡。為了優化CS方法的ISI長度，可采用可達信息速率（Achievable Information Rate，AIR）接近真實信息速率的下限準則，以在不損失性能的情況下最小化ISI長度[9]。而[8]中CCS的ISI長度是基于最小歐式距離（Minimum Euclidean Distance，MED）度量進行優化的。本文旨在比較相同頻譜效率（Spectrum Efficiency，SE）條件下，基于CS和CCS的FTN系統的性能和復雜度。

一、系統模型

如圖1所示，基于CS的FTN發射機（FTN-CS）[7]可看作兩級的串行級聯碼（Serially Concatenated Code，SCC）。如圖2所示，基于CCS的FTN發射機（FTN-CCS）[8]可看作為三級級聯的SCC。圖中的灰色部分顯示FTN-CS和FTN-CCS的差異。FTN發射信號可表示為：

其中Ts=τT，τ為壓縮因子，是信號星座映射后的輸出序列，h（t）是T正交RRC成型脈沖。 星座映射使用與文獻[8]相同的BPSK調制。成型脈沖h（t）進行±ζT的截斷，ζ=15[8]。

接收信號為r（t）=s（t）+w（t），其中w（t）是單邊功率譜密度為N0的高斯白噪聲。在FTN均衡器之前，CS方法改造了整體信道響應g={gl}，其中，而CCS方法不改變整體信道響應g。

對于FTN-CS，前端濾波器hr取代了傳統 FTN系統的匹配濾波器。在時域，hr將ISI能量集中以減少ISI長度。FTN均衡器將目標響應 （gr）作為ISI信道并使用BCJR算法來處理ISI。gr為輔助通道，即均衡器實際使用的信道。hr的頻率響應文獻[10]。

其中是gr的頻率響應，Γk=|Hk|2+N0，[H0，...，HNF-1]= FFT（h），h={hk}，hk=h（kTs），表示匹配濾波器的頻率響應。

對于FTN-CCS，CCS均衡器使用聯合檢測與譯碼（Joint Detection and Decoding，JDD）來處理ISI。 截斷響應（gs）則是FTN-CCS的輔助通道。輸出保留了卷積碼（Output-Retainable Convolutional Code，ORCC），它具有M個序列輸入和N個序列輸出。ORCC通過提供編碼增益來降低均衡復雜度而不是補償截斷損失。FTN-CCS的三級SCC編碼結構需要兩級Turbo迭代，即FTN均衡器和ORCC譯碼器之間的Turbo迭代（TI1），以及ORCC譯碼器和信道解碼器之間的Turbo迭代（TI2）。通常使用TI1代替最佳JDD，并結合由FTN和ORCC構建的超級網格來降低復雜性。TI1和TI2聯合可以達到最優JDD的性能。ORCC當前輸出是ORCC的網格狀態的一部分和FTN均衡器下一次的網格狀態的一部分。因此，超級網格可折疊為ORCC的編碼網格。基于折疊網格的JDD復雜度較低，可取代了文獻[8]中的TI1。ORCC有兩種類型，完全可保留卷積碼（FRCC）和部分可保留卷積碼（Partially-Retainable Convolutional Codes，PRCC）。FTN-CCS使用PRCC代替FRCC來降低復雜性[8]。超級網格不等同于PRCC的編碼網格，因為PRCC的每個編碼網格狀態只能提供一些在當前時間對ISI有貢獻的先前符號。

二、方法比較

（一）CS和CCS的分支度量

FTN-CS的分支度量為

其中yk是hr的輸出，目標響應 有Lr+1個抽頭，Lr為ISI長度。hr和gr有給定ISI長度的解析解[7]。只要信噪比（Signal-to-Noise-Ratio，SNR）不是很高或很低 [10]，無需調整CS參數。 FTN-CS的檢測復雜度為，合理選擇Lr可降低復雜性而不顯著降低性能。

為了便于說明，假設N=1，FTN-CCS[8] 的分支度量為

其中，yk是匹配濾波器的輸出，是ORCC保留傳輸符號，LI是FTN-CCS的ISI長度，。具有超級網格的最優JDD算法具有最高復雜度（個狀態，其中m是ORCC的內存長度）。最優JDD算法可用復雜度較低的FTN均衡器（個狀態）和ORCC解碼器（2m個狀態）之間的TI1代替。超級網格折疊為ORCC的編碼網格（2m個狀態）。如果＞2m，基于PRCC的FTN-CCS以性能下降為代價降低了復雜性。

CCS雖然也進行了信道截斷，但它不同于CS。CCS的輔助通道是截斷響應，而CS的輔助通道是目標響應gr。CCS截斷不可避免地會引入信息丟失（由m決定的）。通過合理選擇Lr可以降低CS截斷的影響。

（二）CS和CCS的優化指標

兩個指標，MED和AIR[11]，可用于評估信號通過ISI信道的性能。FTN-CS可采用AIR準則來優化ISI長度即。FTN-CCS[8]使用 MED 準則優化其對應的ORCC。

首先比較較短ISI長度信道上的MED和AIR可靠性，以找到可靠的性能指標，并以此作為優化指標避免截斷或輔助通道引入的損失。本文給出一個很好的例子，短長度ISI信道C1和C2如表1所示。計算原始信道MED、AIR和BER，從而找到與BER更匹配的性能度量。表1列出了基于BPSK調制的ISI信道C1和C2的MED（）和對應的錯誤符號圖樣。圖3顯示了基于BPSK的C1和C2的AIR。圖4顯示了基于BPSK的C1和C2信道對應的BER（基于相同的5G-LDPC）。對于5G-LDPC，信息長度K=8000，碼率r=0.5；K=8001，r=0.75；對于r=0.89，K=8099。表2列出了C1與C2相比的AIR和BER增益。

通過上面的對比可以發現，更好的AIR性能揭示了更好的BER性能。然而，較大的不一定會帶來更好的BER性能。其實，AIR計算考慮了包括MED在內的歐式距離集合。AIR是漸近度量，因為其假設具有無限碼長的理想FEC。

可以看出，MED不是可靠的性能指標，而AIR是可靠的性能指標。

（三）基于CS和CCS的編碼調制FTN優化

編碼調制（Coded Modulation，CM）FTN-CS的優化步驟如下：①根據文獻[9][12]優化FTN-CS的ISI長度；②優化外碼，優化后的外碼與內碼對應的EXIT特性[13]能更好匹配。

CM-FTN-CCS [8]的優化步驟如下：①考慮SCC的權重分布性質確定外碼；②優化ORCC，使CCS均衡對應的EXIT特性與給定的外碼更好匹配。盡管文獻[8]基于MED優化了ORCC，但它沒有將這種優化的ORCC用于CM-FTN-CCS。

可以看出，CM-FTN-CS首先優化內碼（IS長度Lr）最后優化外碼。但是，CM-FTN-CCS則相反。 在EXIT特性曲線相切處，迭代譯碼的動態特性在確定SCC的性能方面比SCC的權重譜更重要。

三、性能評估

三級結構的FTN-CCS可等效為兩級結構：一方面ORCC（碼率Lorcc）可看作內碼的一部分，記為FTN-CS-I，等效壓縮因子τe=τ/rorcc；另一方面，ORCC也可看作外碼一部分，記為FTN-CS-II，等效碼率，re=r×rorcc其中r是FTN-CCS的信道編碼的碼率。

（一）兩級FTN-CCS vs. 兩級FTN-CS

表3列出了FTN-CS-I、FTN-CS-II和FTN-CCS的參數。FTN-CCS的參數來自文獻[8]中的圖5。三者具有相同的SE（0.7692 bit/s/Hz）。由于τe=1.0，FTN CS-I轉化為BPSK-Nyquist。圖5顯示了基于CS和CCS的FTN的SE。可以看出，在ISI長度相同的情況下，FTN-CS的SE性能優于FTN-CCS。對于CS，優化后的Lr=LoCpSt =4；對于CCS[8]，優化后的m=5。大致相同的SE，CS的復雜度低于CCS。當SE=1.5bit/s/Hz和0.7692bit/s/Hz時，FTN-CCS和FTN-CS-I（BPSK-FTN）之間的差距分別為0.34dB和0.01dB。可以看出，對于相同的ISI長度，rorcc<1.0（M/N<1）可以減小CCS和最優SE之間的差距。

當SE=0.7692 bit/s/Hz時，圖6展示了基于CS和CCS的FTN的BER性能，圖中ID1代表Turbo迭代次數為1，ID5代表Turbo迭代次數為5。

FTN-CS-II采用遞歸卷積碼（Recursive Convolutional Code，RCC）或LDPC碼作為外碼，FTN-CS-II-CCA采用RCC（13，15）8，FTN-CS-II-CCB采用RCC（67，117）8；FTN-CS-II-LDPC采用LDPC，最優度分布（λ2， λ3）=（0.6866，0.3134），Lr=4，m=5。當BER=10-4時，與FTN-CCS、FTN-CS-I（BPSK-Nyquist）、FTN-CS-II-CCA、FTN CS-II-CCB相比，FTN-CS-II-LDPC分別有0.9、4.7（或0.7，ID1）、5.8（或1.6，ID1）、6.1dB的增益。綜上，FTN-CS比FTN-CCS具有更好的BER性能和更低的均衡復雜度。

（二）三級FTN-CCS與兩級FTN-CS

表4列出了FTN-CS-I，FTN-CS-II和FTN-CCS的參數。FTN-CCS的參數來自文獻[8]中的圖7。三者具有相同的SE（0.5128bit/s/Hz）。圖7顯示了基于CS和CCS的FTN的SE，當τ=0.75時，BPSK-FTN（τ=0.75）是FTN的最優SE，當τ=0.75時，FTN的最低Eb=N0=0.51dB。對于FTN-CS-I（SE=0.5128bit/s/Hz），優化后的Lr=LoCpSt? ? ?=2。當SE=0.5128bit/s/Hz時，具有相同ISI長度的FTN-CS（I或II）具有比FTN-CCS更好的SE性能（約0.1dB增益）。

當SE=0.5128bit/s/Hz時，圖8顯示了基于CS和CCS的FTN的BER性能。CM-FTN-CCS采用rate-1/2RCC（57）8作為外碼[8]，CM-FTN-CS采用LDPC作為外碼。

FTN-CS-I采用LDPC碼其最優度分布為（λ2，λ3，λ10） =（0.3871，0.2903，0.3226），FTN-CS-II采用LDPC碼其最優度分布為（λ2， λ3）=（0.4，0.6），Lr=2，m=2。與FTN-CCS相比，FTN-CS-I和FTN-CS-II在BER=10-5時分別具有1.4和0.5dB的增益。在均衡復雜度相同的情況下，FTN-CS的BER性能優于FTN-CCS。

四、結束語

本文通過對FTN-CS和FTN-CCS包括系統模型、分支度量、優化度量、優化步驟、SE和BER性能的對比研究發現：CS可以改變整體信道響應（從g到gr），而CCS不會；FTN-CCS為降低復雜度需要以性能下降為代價，而FTN-CS則可以在不顯著降低性能的情況下降低復雜度；MED不是可靠的性能指標，而AIR（SE）是可靠的性能指標。 綜合對比分析可得，在均衡復雜度相同或更低的情況下，FTN-CS比FTN CCS具有更好的性能。

作者單位：彭鼎祥 銳捷網絡股份有限公司

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